2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期末教学质量验收数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期末教学质量验收数学试题一、单选题1．各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】先根据，得到递增，充分性成立，再推导出必要性成立.【详解】因为各项为正数，且，所以，即，所以为递增数列，充分性成立，若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立.故选：C2．下列命题正确的是（

）A．在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B．已知，当不变时，越大，X的正态密度曲线越高瘦C．若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面平面D．若平面平面，直线，，则【答案】A【分析】根据相关概念及定理逐项分析即可.【详解】对选项A，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A正确；对选项B，当不变时，越大，X的正态密度曲线越矮胖，故B错误；对选项C，当平面与平面相交时，在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等（在平面的两侧，一侧两个点，一侧一个点），故C错误；对选项D，若平面平面，直线，，则直线n有可能在平面内，故D错误.故选：A3．袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（

）①取出的最大号码服从超几何分布；②取出的黑球个数服从超几何分布；③取出2个白球的概率为；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故④正确．故选：B4．已知函数，则（

）A． B． C．9 D．12【答案】D【分析】根据极限的定义求解.【详解】；故选：D.5．已知等差数列的前n项和为，，则（

）A．92 B．94 C．96 D．98【答案】A【分析】由等差数列的性质有，得，则，可求值.【详解】等差数列中，，则，所以.故选：A．6．已知数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到数列是以为首项，公差为的等差数列，求出，化简整理即得解.【详解】由题意，可得，即.又，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，所以.故选：.7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.8．，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数令，再由已知得到的奇函数，单调性，画出的示意图，再得到的解集，得到答案.【详解】令，则，得是上的奇函数，当时，有，即在单调递减，且，作出的示意图如图所示：故的解集为.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用，考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想，转化思想的应用，属于中档题．二、多选题9．等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中正确的是（

）A．当时， B．C．当时， D．【答案】BCD【分析】由条件结合等差数列的性质，求得，结合等差数列的通项公式和等差数列的单调性和等差数列的性质，等差数列求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差，前项和为，因为，可得，即，对于A中，由，可得数列单调递减，由，可得，故当时，，当时，，因为，所以，所以，A错误；对于B中，由等差数列的前项和公式，可得，所以B正确；对于C中，因为，，故，C正确；对于D中，因为，所以，所以，因为，所以，即，所以D正确.故选：BCD.10．若方程恰有一个实数根，则实数a的值为（

）A．e B．－e C．1 D．－1【答案】BCD【分析】把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.【详解】令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，当x趋向正无穷大时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示：

由题意，方程恰有一个实数根，即函数的图象与直线的图象有一个公共点，易知点为函数的图象与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，所以，显然也成立，故实数a的值为或，故选：BCD11．已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】令，求导后可判断函数为增函数，利用单调性可依次判断各选项.【详解】由题意得：令，于是其导数．又函数是其导函数，恒有，即，所以，即函数为增函数．对于选项A：由，有，即，于是，故A正确；对于选项B：由，有，即，于是，故B正确；对于选项C：由，有，即，于是，无法比较与的大小关系，故C错误；对于选项D：由，有，即，于是，即，故D正确.故选：ABD．12．在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（

）A．等比数列一定是比等差数列，且比公差B．等差数列一定不是比等差数列C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列【答案】ABC【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D.【详解】若为等比数列，公比，则，，所以，故选项A错误；若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；令，，则，此时无意义，故选项C错误；因为数列满足，，所以，，故，所以不是比等差数列，故选项D正确.故选：ABC.三、填空题13．公比为2的等比数列中，若，则的值为．【答案】24【分析】借助等比数列通项公式求解.【详解】因为等比数列{an}的公比q=2，a1+a2=3，则a4+a5=a1q3+a2q3=（a1+a2）q3=3×23=24．故答案为：24．14．函数的极大值为.【答案】0【分析】先求导求解函数单调性，再结合极值定义求解即可.【详解】函数的导数，令，则或，所以在单调增，在单调递减，所以的极大值为.故答案为：015．已知函数，则.【答案】【分析】求出，再将代入，即可求出答案.【详解】由于，于是导函数，因此，解得.故答案为：16．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求的取值范围.【详解】由，可得.两式相减，可得，所以数列为等差数列.因为，，所以，所以，，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，所以数列中的最大项为1，故，即实数的取值范围为.故答案为:.四、解答题17．已知等差数列的前项为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）解：设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，，即可求得数列的通项公式；（2）由，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得，又因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，，因为，可得，即，解得或.18．设函数，其中．(1)当时，求在区间上的最大值与最小值；(2)求函数的单调递增区间．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用导数可确定在上的单调性，进而确定最值点和最值；（2）求导后，根据的两根可确定的解集，由此可得单调递增区间.【详解】（1）当时，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，，.（2）由题意知：定义域为，；令，解得：或；，，当时，，的单调递增区间为.19．如图，在四棱雉中，平面，，，，．为的中点，点在上，且，点在上，且．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出、、共面，再由平面，即可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）证明：因为点在上，且，即，即，所以，，因为，，，则，因为，，所以，，所以，、、共面，又因为平面，所以，平面.（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，因为点在上，且，则，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，.因此，平面与平面的夹角的余弦值为.20．三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为类青蟹(1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用表示其中类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望；(2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有只，若，试给出蟹池中青蟹数目的估计值（以使取得最大值的为估计值）.【答案】(1)分布列见解析，(2)或200【分析】（1）的取值为0，1，2，由古典概型概率公式求出对应概率，从而可得分布列，进而可求的数学期望；（2）设，判断增减性，可得时，，时，，进而可得答案.【详解】（1）由题意的取值为0，1，2，，分布列为012（2）设，所以时，时，，时，所以当或200时，最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只21．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.(1)求的方程；(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论的焦点在或轴上，设出抛物线的方程，将点代入即可得出答案；（2）设，分别求出直线，的方程，由题意可得，，再求出直线的方程，代入化简即可得出直线过的定点.【详解】（1）若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，将点代入，得，解得，故的方程为；若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，将点代入，得，解得，故的方程为，综上，的方程为或.（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.若直线不过点，如图，

设，由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，所以直线的方程为，即，同理直线的方程分别为，由直线过定点，可得，由直线过焦点，可得，直线的方程为，由，得，所以，即，又因为，所以.令解得故直线恒过定点.若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.综上，直线过定点.22．已知，．(1)求的单调区间；(2)当时，函数有2个零点，分别为且满足，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先对求导，分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）利用同构法，结合导数研究函数与的图像，从而推得，再利用导数将双变量问题转化为恒成立问题，由此得解.【详解】（1）因为，所以，当时，在单调递减；当时，当时，单调递减；当时，单调递增；故当时，的单调递减区