【解析】贵州省黔西南州2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

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贵州省黔西南州2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】解：因为集合A={-1，0，1}，集合B={0，1，2}，

所以A∩B={0，1}，故选A.

【分析】利用交集的概念求解.

2．若（为虚数单位），则（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】复数代数形式的加减运算

【解析】【解答】解：因为z+2-3i=3-2i，

所以z=3-2i-2+3i=1+i，

故选：B.

【分析】运用复数的加减运算法则求解.

3．已知向量，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示

【解析】【解答】解：∵，

∴，故选：C.

【分析】运用向量的坐标运算求解.

4．将一组从小到大排列的数据如下：50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，这组数据的第60百分位数是（）

A．55B．55.5C．56D．56.5

【答案】B

【知识点】用样本的频率分布估计总体分布

【解析】【解答】解：因为这组数据共有10个，10×60%=6，

所以这组数据的第60百分位数为第6个数与第7个数的平均值，即，

故选：B.

【分析】利用百分位数的定义求解.

5．下列函数中，在定义域上单调递增的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】函数单调性的判断与证明

【解析】【解答】解：A、，由反比例函数的性质可得：在、上f(x)单调递减，故不选A；

B、，，由指数函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选B；

C、f(x)=-2x+1，由一次函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选C；

D、，2>1，由对数函数的性质可得：f(x)在上单调递增；故选D；

故答案是：D.

【分析】利用反比例函数、指数函数、一次函数、对数函数的性质分别判断A、B、C、D四个选项.

6．函数在上的最小值是（）

A．B．1C．2D．3

【答案】D

【知识点】函数的最值及其几何意义

【解析】【解答】解：因为x>0，所以，

所以，即在上的最小值是3，

故选D.

【分析】利用基本不等式求解.

7．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】【解答】解：如图：

正三棱锥S-ABC中，SO⊥底面ABC，O为正三角形ABC的中心，

连接AO并延长交BC与点E，则E为BC的中点，且SE⊥BC，

由题意可知：SO=1，AB=AC=BC=2，

所以，，

所以，

所以，

所以三棱锥的侧面积为，

故选B.

【分析】利用已知求得侧面三角形的高即可得解.

8．如图，在中，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（）.

A．2B．C．3D．4

【答案】C

【知识点】平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：因为△ABC中，2BD=CD，E为AC的中点，AD和BE相交于点F，

设：，

，

所以，解得：，

所以，

所以，即，

所以，

所以AF：DF=3，

故选C.

【分析】利用平面向量基本定理的推论求解。

二、多选题

9．（2023高一下·通州月考）复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A．z的实部是

B．z的共轭复数为

C．z的实部与虚部之和为2

D．z在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】A,C,D

【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示

【解析】【解答】由实部为，虚部为，共轭复数，对应点坐标为，且

故A，C，D正确，B错误.

故选：ACD

【分析】由复数的定义结合复数几何意义，逐一判断得出答案。

10．样本容量为100的样本，其数据分布在内，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）

A．样本数据分布在内的频率为0.32

B．样本数据分布在内的频数为40

C．样本数据分布在内的频数为40

D．估计总体数据大约有分布在内

【答案】A,B,C

【知识点】频率分布直方图

【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得：

A、样本数据分布在内的频率为：0.08×4=0.32，A正确；

B、样本数据分布在内的频数为：0.1×4×100=40，B正确；

C、样本数据分布在内的频数为：(0.02+0.08)×4×100=40，C正确；

D、估计总体数据大约有：0.1×4=40%分布在内，D错误；

故选ABC.

【分析】利用频率分布直方图求解各个数值。

11．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）

A．B．直线与面所成角为45°

C．线段D．直线面

【答案】A,B,D

【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角

【解析】【解答】解：A、由已知可得：底面ABC为正三角形，D是AC的中点，CC'⊥面ABC，

所以BD⊥AC，CC'⊥BD，

又因为AC、CC'都在面ACC'内，所以BD⊥面ACC'，

又因为AC'在面ACC'内，所以BD⊥AC'，A正确；

B、因为CC'⊥面ABC，AC在面ABC内，所以CC'⊥AC，

所以∠CAC'是直线AC'与面ABC所成的角，

又因为AC=CC'，所以∠CAC'=45°，即直线AC'与面ABC所成的角为45°，B正确；

C、因为AB=AC=BC=2，D是AC的中点，

所以，C错误；

D、由已知得：面ABC∥面A'B'C'，BD在面ABC内，

所以BD∥面A'B'C'，D正确；

故选ABD.

【分析】利用正三棱柱的性质，由线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理判断A选项，先确定哪个角是直线与平面所成的角，再利用解三角形的知识求出这个角即可判断B选项，解三角形求BD的长进而判断C选项，利用面面平行的性质判断D选项.

12．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（）

A．

B．，

C．当，，时，则

D．

【答案】A,C,D

【知识点】平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】解：A、因为，所以，

因为A、O、D三点共线，B、O、E三点共线，

所以设，

，

则，解得：，

所以，故A正确；

B、由A选项已得：，

所以

整理得：，即，

又因为，

所以，故B错误；

C、因为，AB=1，AC=2，

所以，

因为，

，

所以，

，

，

所以，故C正确；

D、因为A、F、B三点共线，所以设，

因为C、O、F三点共线，设，

所以，

由因为，

所以，解得：，

所以，

，即，

又因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以，故D正确；

故选：ACD.

【分析】由A、O、D三点共线，B、O、E三点共线，利用平面向量基本定理的推论，设方程组，求参数的值，进而判断A选项，利用向量的分解求得向量的关系式进而判断B选项，求转化为求向量的夹角的余弦值即可，求△DEF与△ABC的面积的比值转化为分别求△AEF与△ABC、△CDE与△ABC、△BDF与△ABC的面积的比值，进而得解.

三、填空题

13．计算：.

【答案】

【知识点】两角和与差的正弦公式

【解析】【解答】解：

，

故答案是：.

【分析】利用两角差的正弦公式求解.

14．已知与的夹角为60°，，，.

【答案】1

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：因为与的夹角为60°，，，

所以，故答案是：1.

【分析】利用向量数量积的公式求解.

15．在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为.

【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：根据题意，一共有5个球，从中摸出1个球的基本事件有5个，

5个球中有2个红球，3个黄球，所以事件“摸到红球”有2个基本事件，概率为，

故答案是：.

【分析】利用古典概型的概率公式求解.

16．如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是.

【答案】

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式

【解析】【解答】解：根据已知条件，以点C为原点，以CB、CC'、CA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为四边形是正方形，则BB'∥CC'，

因为BB'不在平面AA'C'C内，CC'在平面AA'C'C内，所以BB'∥面AA'C'C，

又因为BB'在平面AA'B'B内，面AA'B'B∩面AA'C'C=AA'，所以AA'∥BB'，

又因为，，

所以点A的坐标为(0，0，4)，点B的坐标为(4，0，0)，点A'的坐标为(0，2，4)，

所以，

设平面A'BC的法向量为，则

，即，令y=2，则z=-1，所以平面A'BC的一个法向量为，

所以点A到平面A'BC的距离，

故答案是：.

【分析】根据题意建立空间直角坐标系，运用点到平面的距离公式求解.

四、解答题

17．已知函数，

（1）求的最小正周期；

（2）求的最大值和最小值.

【答案】（1）解：因为，

所以的最小正周期为.

（2）解：因为，所以，则，即，

当，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值2；

所以的最大值是2，最小值是.

【知识点】正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值；辅助角公式

【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简解析式，进而求最小正周期；

（2）利用正弦函数的性质求最值.

18．已知分别为三个内角的对边，且，

（1）求；

（2）若，且，求的面积.

【答案】（1）解：因为，显然，则，

又，故.

（2）解：根据余弦定理可得，

又，，所以，则，

所以的面积.

【知识点】弦切互化；解三角形；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用弦切互化公式求正切值，进而求得角的大小；

（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求解.

19．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：

甲班813283239

乙班1225262831

如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．

（1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

（2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．

【答案】（1）解：甲班样本数据的平均值为，

由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；

乙班样本数据的平均值为，

由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．

（2）解：由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为，

从中任取2人，有，共10种可能，

其中都来自甲班的有，共3种可能，

所以所求概率．

【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式

【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式求解；

（2）用古典概型的概率计算公式求解.

20．如图，在正方体中，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图，

因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，

又是的中点，则是的中位线，故，

又面，面，所以平面.

（2）解：因为正方体中，平面，

所以.

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；

（2）先确定三棱锥的底面和高，再利用体积公式求解.

21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值．

【答案】（1）证明：证法一：

在正方形中，

又侧面底面，侧面底面，底面，

所以平面，因为平面，所以，

因为是正三角形，是的中点，所以，

又，平面，所以平面，

证法二：

在正方形中，

又侧面底面，侧面交底面于，所以平面，

又平面，故平面平面，

是正三角形，是的中点，所以

又平面交平面于，平面，故平面．

（2）解：取，的中点分别为，，连接，，，

则，，因为，所以，

又在正中，，

因为，平面，平面，

正方形中，，平面，

所以是侧面与底面所成二面角的平面角，

因为平面，，所以平面，

因为平面，所以，

设正方形的边长，则，，

所以，所以，

即侧面与底面所成二面角的余弦值为.

【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）证法一：利用线面垂直的判定定理证明；

证法二：利用面面垂直的性质定理证明；

（2）先确定二面角的平面角，再解三角形求得余弦值.

22．在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答.

在中，角的对边分别为，且____.

（1）求外接圆半径；

（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.

【答案】（1）解：若选①：

由正弦定理得：，即，

又因为，则，

所以，又，则，

所以，又，所以，

因为，所以由正弦定理得，故.

若选②：

由正弦定理得：，化简得：，

又由余弦定理得：，

因为，所以，

因为，所以由正弦定理得，故.

若选③：

因为，则，

则，

又由正弦定理得：，

又，，

所以，即，

又因为，则，

所以，又，则，

所以，又，所以，

因为，所以由正弦定理得，故.

（2）解：由正弦定理得：，则，，

所以，又，，

所以，

则，

∵为锐角三角形，

∴，即，解得：，

∴，则，

∴，即，故，

所以周长的取值范围.

【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）选择条件①或②：利用正弦定理化简已知条件，求得∠A，再利用正弦定理求得外接圆半径；选择条件③：先利用面积公式和正弦定理化简已知条件，求得∠A，再利用正弦定理求得外接圆半径；

（2）利用正弦定理得到，再利用角A、B、C的关系和辅助角公式，求得b+c的取值范围，进而得到周长的取值范围.

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贵州省黔西南州2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（）

A．B．

C．D．

2．若（为虚数单位），则（）

A．B．

C．D．

3．已知向量，，则（）

A．B．C．D．

4．将一组从小到大排列的数据如下：50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，这组数据的第60百分位数是（）

A．55B．55.5C．56D．56.5

5．下列函数中，在定义域上单调递增的是（）

A．B．C．D．

6．函数在上的最小值是（）

A．B．1C．2D．3

7．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（）

A．B．C．D．

8．如图，在中，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（）.

A．2B．C．3D．4

二、多选题

9．（2023高一下·通州月考）复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A．z的实部是

B．z的共轭复数为

C．z的实部与虚部之和为2

D．z在复平面内的对应点位于第一象限

10．样本容量为100的样本，其数据分布在内，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）

A．样本数据分布在内的频率为0.32

B．样本数据分布在内的频数为40

C．样本数据分布在内的频数为40

D．估计总体数据大约有分布在内

11．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）

A．B．直线与面所成角为45°

C．线段D．直线面

12．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（）

A．

B．，

C．当，，时，则

D．

三、填空题

13．计算：.

14．已知与的夹角为60°，，，.

15．在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为.

16．如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是.

四、解答题

17．已知函数，

（1）求的最小正周期；

（2）求的最大值和最小值.

18．已知分别为三个内角的对边，且，

（1）求；

（2）若，且，求的面积.

19．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：

甲班813283239

乙班1225262831

如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．

（1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

（2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．

20．如图，在正方体中，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.

21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值．

22．在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答.

在中，角的对边分别为，且____.

（1）求外接圆半径；

（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】解：因为集合A={-1，0，1}，集合B={0，1，2}，

所以A∩B={0，1}，故选A.

【分析】利用交集的概念求解.

2．【答案】B

【知识点】复数代数形式的加减运算

【解析】【解答】解：因为z+2-3i=3-2i，

所以z=3-2i-2+3i=1+i，

故选：B.

【分析】运用复数的加减运算法则求解.

3．【答案】C

【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示

【解析】【解答】解：∵，

∴，故选：C.

【分析】运用向量的坐标运算求解.

4．【答案】B

【知识点】用样本的频率分布估计总体分布

【解析】【解答】解：因为这组数据共有10个，10×60%=6，

所以这组数据的第60百分位数为第6个数与第7个数的平均值，即，

故选：B.

【分析】利用百分位数的定义求解.

5．【答案】D

【知识点】函数单调性的判断与证明

【解析】【解答】解：A、，由反比例函数的性质可得：在、上f(x)单调递减，故不选A；

B、，，由指数函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选B；

C、f(x)=-2x+1，由一次函数的性质可得：f(x)在R上单调递减，故不选C；

D、，2>1，由对数函数的性质可得：f(x)在上单调递增；故选D；

故答案是：D.

【分析】利用反比例函数、指数函数、一次函数、对数函数的性质分别判断A、B、C、D四个选项.

6．【答案】D

【知识点】函数的最值及其几何意义

【解析】【解答】解：因为x>0，所以，

所以，即在上的最小值是3，

故选D.

【分析】利用基本不等式求解.

7．【答案】B

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】【解答】解：如图：

正三棱锥S-ABC中，SO⊥底面ABC，O为正三角形ABC的中心，

连接AO并延长交BC与点E，则E为BC的中点，且SE⊥BC，

由题意可知：SO=1，AB=AC=BC=2，

所以，，

所以，

所以，

所以三棱锥的侧面积为，

故选B.

【分析】利用已知求得侧面三角形的高即可得解.

8．【答案】C

【知识点】平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：因为△ABC中，2BD=CD，E为AC的中点，AD和BE相交于点F，

设：，

，

所以，解得：，

所以，

所以，即，

所以，

所以AF：DF=3，

故选C.

【分析】利用平面向量基本定理的推论求解。

9．【答案】A,C,D

【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示

【解析】【解答】由实部为，虚部为，共轭复数，对应点坐标为，且

故A，C，D正确，B错误.

故选：ACD

【分析】由复数的定义结合复数几何意义，逐一判断得出答案。

10．【答案】A,B,C

【知识点】频率分布直方图

【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得：

A、样本数据分布在内的频率为：0.08×4=0.32，A正确；

B、样本数据分布在内的频数为：0.1×4×100=40，B正确；

C、样本数据分布在内的频数为：(0.02+0.08)×4×100=40，C正确；

D、估计总体数据大约有：0.1×4=40%分布在内，D错误；

故选ABC.

【分析】利用频率分布直方图求解各个数值。

11．【答案】A,B,D

【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角

【解析】【解答】解：A、由已知可得：底面ABC为正三角形，D是AC的中点，CC'⊥面ABC，

所以BD⊥AC，CC'⊥BD，

又因为AC、CC'都在面ACC'内，所以BD⊥面ACC'，

又因为AC'在面ACC'内，所以BD⊥AC'，A正确；

B、因为CC'⊥面ABC，AC在面ABC内，所以CC'⊥AC，

所以∠CAC'是直线AC'与面ABC所成的角，

又因为AC=CC'，所以∠CAC'=45°，即直线AC'与面ABC所成的角为45°，B正确；

C、因为AB=AC=BC=2，D是AC的中点，

所以，C错误；

D、由已知得：面ABC∥面A'B'C'，BD在面ABC内，

所以BD∥面A'B'C'，D正确；

故选ABD.

【分析】利用正三棱柱的性质，由线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理判断A选项，先确定哪个角是直线与平面所成的角，再利用解三角形的知识求出这个角即可判断B选项，解三角形求BD的长进而判断C选项，利用面面平行的性质判断D选项.

12．【答案】A,C,D

【知识点】平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】解：A、因为，所以，

因为A、O、D三点共线，B、O、E三点共线，

所以设，

，

则，解得：，

所以，故A正确；

B、由A选项已得：，

所以

整理得：，即，

又因为，

所以，故B错误；

C、因为，AB=1，AC=2，

所以，

因为，

，

所以，

，

，

所以，故C正确；

D、因为A、F、B三点共线，所以设，

因为C、O、F三点共线，设，

所以，

由因为，

所以，解得：，

所以，

，即，

又因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以，故D正确；

故选：ACD.

【分析】由A、O、D三点共线，B、O、E三点共线，利用平面向量基本定理的推论，设方程组，求参数的值，进而判断A选项，利用向量的分解求得向量的关系式进而判断B选项，求转化为求向量的夹角的余弦值即可，求△DEF与△ABC的面积的比值转化为分别求△AEF与△ABC、△CDE与△ABC、△BDF与△ABC的面积的比值，进而得解.

13．【答案】

【知识点】两角和与差的正弦公式

【解析】【解答】解：

，

故答案是：.

【分析】利用两角差的正弦公式求解.

14．【答案】1

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】解：因为与的夹角为60°，，，

所以，故答案是：1.

【分析】利用向量数量积的公式求解.

15．【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：根据题意，一共有5个球，从中摸出1个球的基本事件有5个，

5个球中有2个红球，3个黄球，所以事件“摸到红球”有2个基本事件，概率为，

故答案是：.

【分析】利用古典概型的概率公式求解.

16．【答案】

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式

【解析】【解答】解：根据已知条件，以点C为原点，以CB、CC'、CA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为四边形是正方形，则BB'∥CC'，

因为BB'不在平面AA'C'C内，CC'在平面AA'C'C内，所以BB'∥面AA'C'C，

又因为BB'在平面AA'B'B内，面AA'B'B∩面AA'C'C=AA'，所以AA'∥BB'，

又因为，，

所以点A的坐标为(0，0，4)，点B的坐标为(4，0，0)，点A'的坐标为(0，2，4)，

所以，

设平面A'BC的法向量为，则

，即，令y=2，则z=-1，所以平面A'BC的一个法向量为，

所以点A到平面A'BC的距离，

故答案是：.

【分析】根据题意建立空间直角坐标系，运用点到平面的距离公式求解.

17．【答案】（1）解：因为，

所以的最小正周期为.

（2）解：因为，所以，则，即，

当，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值2；

所以的最大值是2，最小值是.

【知识点】正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值；辅助角公式

【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简解析式，进而求最小正周期；

（2）利用正弦函数的性质求最值.

18．【答案】（1）解：因为，显然，则，

又，故.

（2）解：根据余弦定理可得，

又，，所以，则，

所以的面积.

【知识点】弦切互化；解三角形；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用弦切互化公式求正切值，进而求得角的大小；

（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求解.

19．【答案】（1）解：甲班样本数据的平均值为，

由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；

乙班样本数据的平均值为，

由此估计乙