圆（知识点串讲）

【思维导图】圆概念画法应用圆面积，扇形，组合图形的面积【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以0点为圆心的圆记作◎0,读作圆0.特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.(1)圆心；(2)半径，(3)其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.1)圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2)圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3)半径相等的圆叫做等圆.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.三角形的外接圆1)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.2)三角形外心的性质：②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3)锐角三角形外接圆的圆心在它的内部(如图1);直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2);钝角三角形外接圆的圆心在它的外部(如图3).①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中，错误的说法有()3.(2018·上海中考模拟)下列说法中，正确的个数共有()(1)一个三角形只有一个外接圆；(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；(4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等，其中正确的有()考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算2.(2018·黑龙江中考模拟)如图，点A、B、C都在◎O上，若∠AOC=140°,则∠B的度数是()B3.(2019·四川省平昌中学中考模拟)如图，在◎O中，直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是()4.(2018·贵州中考模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°,◎O的半径为4,则AC的长等于()5.(2019·云南中考模拟)如图，已知：在◎O中，OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为()的度数是()考查题型二圆心角与圆周角的关系解题EC.(1)若∠AEC=28°,求∠AOB的度数；(2)若∠BEA=∠B,EC=3,求⊙O的半径.(1)求证；∠BDC=∠A.(2)若∠C=45°,⊙O的半径为1,直接写出AC的长.3.(2019.苏州高新区实验初级中学中考模拟)已知：如图，在◎O中，弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,如果∠BAD=30°,且BE=2,求弦CD的长.知识点二圆的基本性质垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法(考点):1)过圆心，作垂线，连半径，造RT△,用勾股，求长度；2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们圆周角定理(考点)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆周角推论1:在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.(在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角)【考查题型汇总】考查题型三运用垂径定理进行相关计算.求BC的长.连结EC.若AB=8,CD=2.(2)求EC的长.于点E,若AB=8,CD=2,求⊙O半径OA的长.考查题型四利用垂径定理解决实际问题圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.2.(2017·江西南昌二中中考模拟)用工件槽(如图1)可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°,尺寸如图(单位：cm),将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求，图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径.图2图1图2截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm,水面最深地方的高度为2cm,求这个圆形截面的半径.考查题型五圆心角、弧、弦的关系的应用(2)AE=CE.3.(2019·江西中考模拟)如图，正方形ABCD内接于◎O,M为弧CD的中点，连接AM,BM,求证：AM=BM.考查题型六圆周角定理求角的度数考查题型七圆周角定理推论的应用度数为,考查题型八利用圆内接四边形的性质定理求角的度数2.(2019.四川中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0,P为DE上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为()3.(2019.广东中考模拟)如图，△ABC内接于⊙O,ACACBBC知识点三与圆有关的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外r0P点在圆的外部d>r⇔点P在⊙0的外部，点在圆上0点在圆周上d=r⇔点P在⊙0的圆周上.点在圆内0点在圆的内部三点定圆的方法：1)经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.2)经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个.3)经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.反证法：首先假设某命题结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。【考查题型汇总】考查题型九点与圆的位置关系1.(2018·北京中考模拟)在平面直角坐标系xOy中，若点P(4,3)在◎O内，则⊙O的半径r的取值范2.(2017.辽宁中考模拟)矩形ABCD中，AB=8,BC=3√5,点P在边AB上，且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是().A.点B、C均在圆P外；B.点B在圆P外、点C在圆P内；3.(2019·上海中考模拟)在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是(3,2),点B的坐标是(3,-4).如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取()4.(2016·四川中考模拟)已知矩形ABCD的边AB=15,BC=20,以点B为圆心作圆，使A,C,D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在◎B外，则⊙B的半径r的取值范围是().关系图形定义性质及判定相离rd01直线与圆没有公共点相切0做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙0相切1做圆的割线切线的性质及判定(重点)定理：圆的切线垂直于过切点的半径.三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这【考查题型汇总】考查题型十直线与圆的位置关系的应用1.(2019.吉林中考模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心，以2cm2.(2014·福建中考模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16,◎A的半径为7,判断◎A与直线BC的位置关系，并说明理由.考查题型十一利用切线的判定定理判定直线为切线的方法(2)若AC//DE,当AB=8,CE=2时，AC=30°.考查题型十二三角形内心的应用1.(2018.河北中考真题)如图，点I为△ABC的内心，AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为()2.(2019.台湾中考真题)如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何?()3.(2019.安徽中考模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心，∠AIC=124°,点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为()考查题型十三利用切线长定理进行计算1.(2019.河南中考模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的◎O与AB边交于点D,过点D作◎O的切线.交BC于点E.②当∠B=度时，以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.2.(2019·陕西高新一中中考模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°,◎O与边AC相切于点E,与边BC交于点F,过点E作EH⊥AB点D是AB边上一点，以BD为直径的3.(2019·山东中考模拟)如图，CD是◎O的切线，点C在直径AB的延长线上.(1)求证：∠CAD=∠BDC;考查题型十四直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用(1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根为x、x₂,满足,求k的值；(3)若Rt△ABC的斜边为5,另外两条边的长恰好是方程的两个根X₁、x₂,求Rt△ABC的内切圆半径.2.(2017·江苏中考模拟)实践操作如图，∠△ABC是直角三角形，∠ACB=90,利用直尺和圆规按下列要①作∠BAC的平分线，交BC于点0(2)若圆O的半径为3,求C的长.位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外d>R+r⇔两圆外离外切R两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部.d=R+r⇔两圆外切两个圆有两个公共点.R-r<d<R+r⇔内切两个圆有唯一公共点，并且除的点都在另一个圆的内部.d=R-r⇔两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例.圆内含【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况.【考查题型汇总】考查题型十六圆与圆的位置关系1.(2019.上海中考真题)已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB=5,AC=6,BC=7,那么⊙C的半径长是()2.(2019·福建中考模拟)如图，已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与◎A相交，那么OB的取值范围是()3.(2019.上海市南塘中学中考模拟)已知◎A的半径AB长是5,点C在AB上，且AC=3,如果⊙C与◎A有公共点，那么◎C的半径长r的取值范围是()4.(2011·江苏中考真题)在△ABC中，∠C=90°.AC=3cm.BC=4cm,若⊙A.⊙B的半径分别为1cm,4cm.则⊙A与⊙B的位置关系是()5.(2019.上海中考模拟)已知⊙O₁和◎O₂,其中◎O为大圆，半径为3.如果两圆内切时圆心距等于2,那么两圆外切时圆心距等于()考查题型十七利用圆的相关知识解决动态问题1.(2019.河南中考模拟)如图，AB为◎O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D,已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE,DE与AB交于点P,再连(2)填空：①当∠DAE=时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE=时，四边形BFDP是正方形.知识点四正多边形和圆正多边形正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.>正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，>正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.>正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。>正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.12半径²=边心距²12边长)2(作法操作复杂，但作图较准确)2)量角器+圆规(作法操作简单，但作图受取值影响误差较大)(适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形….)圆锥设⊙O的半径为R,n°圆心角所对弧长为l,备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【考查题型汇总】考查题型十八正多边形的有关计算考查题型十九弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法径r=2cm,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的母线长l为cm.3.(2019-内蒙古中考模拟)如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB,且点考查题型二十应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题得到△BOD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(将△AOC绕点O顺时针旋转90°后A.AC.CD.D2.(2018.广东中考模拟)如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB'C',点B经过的路径为弧BB',若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是()3.(2019.天津中考模拟)如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在OO内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使OOABCDcmD运动的路径长为()的圆心角为60°,点E为CD上一动点，P为AE的中点，当点E从点C运动至点D,则点P的运动路径长A.AB.BD.DABCD绕其对称中心O旋转180°,则点D在旋转过程中所经过的路径长为()考查题型二十一不规则图形的面积的计算则图中阴影部分的面积是()4.(2019.河北中考模拟)如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E,B,E是半圆弧的三等分点，弧AB的长为,则图中阴影部分的面积为()考查题型二十二求圆锥侧面上两点之间的最短距离圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹(虚线)在侧面展开图中的位置是()AACCB.BD.D2.(2015·黑龙江中考模拟)一圆锥体形cmcm底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用()厘米(接口处重合部分忽略不计)考查题型二十三运用圆锥侧面积知识解决实际问题点，点D在弧AB上，CD//OB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是【】贴纸部分的宽BD为15cm,若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()C.C专题23圆答案及解析说法有()④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确.3.(2018·上海中考模拟)下列说法中，正确的个数共有()(1)一个三角形只有一个外接圆；(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；(4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；【详解】(1)一个三角形只有一个外接圆，正确；(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；(4)三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有()弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对综上所述，正确的结论有2个，故应选B.【解析】故选D.【考查题型汇总】考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算【解析】B2.(2018·黑龙江中考模拟)如图，点A、B、C都在◎O上，若∠AOC=140°,则∠B的度数是()【解析】3.(2019.四川省平昌中学中考模拟)如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是()A.AC=ABB.【详解】故选B.4.(2018·贵州中考模拟)如图，◎O是△ABC的外接圆，∠B=60°,◎O的半径为4,则AC的长等于()【解析】试题解析：连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D,故选A.5.(2019·云南中考模拟)如图，已知：在◎O中，OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为()【详解】故选C.的度数是()【详解】考查题型二圆心角与圆周角的关系解题EC.(1)若∠AEC=28°,求∠AOB的度数；(2)若∠BEA=∠B,EC=3,求⊙O的半径.【答案】(1)56°,(2)3.【详解】(1)求证；∠BDC=∠A.(2)若∠C=45°,⊙O的半径为1,直接写出AC的长.【答案】(1)详见解析；(2)1+√2【详解】∵cD与◎0相切于点D,∴∠ADB=90°,即∠1+∠2=90°,如果∠BAD=30°,且BE=2,求弦CD的【详解】解：连接OD,设⊙O的半径为r,则OE=r-2,知识点二圆的基本性质对称性3.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法(考点):2)过圆心，作垂线，连半径，造RT△,用勾股，求长度；2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们圆周角定理(考点)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆心角圆周角推论1:在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.(在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角)考查题型三运用垂径定理进行相关计算1.(2019.苏州高新区第四中学校中考模拟)如图，等腰△ABC内接于半径为5的◎O,AB=AC,tan∠ABC求BC的长.【详解】连接AO,交BC于点E,连接BO,在Rt△ABE中，,2.(2019·四川省平昌中学中考模拟ODABAO连结EC.若AB=8,CD=2.【答案】(1)5(2)2√13【详解】解：(1)设⊙O半径为r,则OA=OD=r,OC=r-2,于点E,若AB=8,CD=2,求⊙O半径OA的长.【详解】设◎O的半径OA=r,考查题型四利用垂径定理解决实际问题圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这【解析】(1)如图，作线段AB的垂直平分线l,与弧AB交于点C,作线段AC的垂直平分线I与直线1交于点O,点O即为所求作的圆心.(2)如图，过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D,设半径为r,则,OD=r-2,答：这个圆形截面的半径是5cm.考查题型五圆心角、弧、弦的关系的应用1.(2019·富顺县赵化中学校中考真题)如图，◎0中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.(2)AE=CE.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【详解】【答案】见解析【详解】3.(2019.江西中考模拟)如图，正方形ABCD内接于◎O,M为弧CD的中点，连接AM,BM,求证：AM=BM.【答案】见解析.【详解】考查题型六圆周角定理求角的度数【详解】故选A.【答案】40【详解】连接BD,如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，故答案为：40.【答案】30【详解】故答案为：30.4.(2019·黑龙江中考真题)如图，在◎0中，半径OA垂直于弦BC,点D在圆上且∠ADC=30°,则∠AOB的【详解】考查题型七圆周角定理推论的应用【解析】详解：∵CB=CD,故答案为：70°【详解】故答案为30°故答案为1.【详解】连接AC,故选A.连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72°,即∠COD=72°,【详解】故选D.【详解】知识点三与圆有关的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外r0点在圆的外部d>r⇔点P在⊙0的外部.点在圆上0点在圆周上d=r⇔点P在⊙0的圆周上.点在圆内r0P点在圆的内部d<r⇔点P在⊙0的内部.1)经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.3)经过三点时：情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点0是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.反证法：首先假设某命题结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),然后推理出与定【考查题型汇总】考查题型九点与圆的位置关系故选D.是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是().【详解】∵AB=8,点P在边AB上，且BP=3APPC=√PB²+BC⁴=√6²+(3√5)²=√6²+3.(2019.上海中考模拟)在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是(3,2),点B的坐标是(3,-4).如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取()∵点A的坐标是(3,2),点B的坐标是(3,-4), ∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，4.(2016-四川中考模拟)已知矩形ABCD的边AB=15,BC=20,以点B为圆心作圆，使A,C,D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是().关系图形定义性质及判定相离rd01直线与圆没有公共点相切0直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线[与②0相切rd1做圆的割线【详解】∴AB与⊙C相切.的位置关系，并说明理由.【答案】⊙A与直线BC相交.理由见解析.【解析】过A作AD⊥BC,垂足为点D.∵⊙O的半径为7,∴AD<r,◎A与直线BC相交.考查题型十一利用切线的判定定理判定直线为切线的方法【答案】(1)证明见解析；(2)AC的长为【解析】(1)如图，连接BD,=30°.【解析】∴点C在⊙O上，(2)解：∵AB=2,,∵在Rt△COD中，∠OCD=90°,∠D=30°,考查题型十二三角形内心的应用1.(2018·河北中考真题)如图，点I为△ABC的内心，AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为()【详解】连接AI、BI,∵点I为△ABC的内心，∴△DIE的DEDIEIDEADBEAB即图中阴影部分的周长为4,故选B.2.(2019·台湾中考真题)如图，直角三角形ABC中标示的长度与角度，求AD的长度为何?(的内切圆分别与AB、BC)相切于D点、E点，根据图【答案】D【详解】解：设AD=B.BC.CD.D∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，3.(2019.安徽中考模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心，∠AIC=124°,点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为()【解析】故选C.考察题型十三利用切线长定理进行计算1.(2019.河南中考模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的◎O与AB边交于点D,过点D作◎O的切线.交BC于点E.②当∠B=度时，以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形，【答案】(1)见解析；(2)①3;②45.【详解】(1)证明：连接DO.故答案为3;②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：∴四边形DECO是矩形，∴矩形DECO是正方形.故答案为45.2.(2019·陕西高新一中中考模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°,点D是AB边上一点，以BD为直径的◎O与边AC相切于点E,与边BC交于点F,过点E作EH⊥AB于点H,连接BE【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)如图，连接OE,∴设OE=2a,AO=3a,(a≠0)(1)求证：∠CAD=∠BDC;【答案】(1)证明见解析；(2)CD=2.【解析】(1)证明：连接OD,如图所示.考查题型十四直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用(1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根为x₁、x₂,满足,求k的值；(3)若Rt△ABC的斜边为5,另外两条边的长恰好是方程的两个根x、x₂,求Rt△ABC的内切圆半径.【答案】(1)详见解析；(2)2;(3)1【详解】(1)证明：∵△=(k+4)²-16k=k²-8k+16=(k-4)²≥0,∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根.即3根据题意得：4²+k²=5²,即k=3设直角三角形ABC的内切圆半径为r,如图，由切线长定理可得：(3-r)+(4-r)=5,∴直角三角形ABC的内切圆半径①作∠BAC的平分线，交BC于点0(1)直线AB与②0的位置关系是(3)若AC=5,BC=12,求◎0的半径【答案】实践操作，作图见解析；综合运用：(1)相切；(2)证明见解析；(3)【解析】实践操作，如图所示：综合运用：综合运用：(1)AB与◎O的位置关系是相切.(3)因为AC=5,BC=12,所以DB=13-5=7,设半径为x,则OC=OD=x,BO=(12考查题型十五圆内接四边形综合【答案】(1)证明过程见解析；(2)π【解析】(1)∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DCB+∠BAD=180°,∵∠BAD=105°,3),M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°,求⊙C的半径.【答案】3.【详解】∵点A的坐标为(0,3),圆和圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定外离R两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外d>R+r⇔两圆外离外切Rb了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部.d=R+r⇔两圆外切R两个圆有两个公共点.R-r<d<R+r⇔内切两个圆有唯一公共点，并且除的点都在另一个圆的内部.d=R-r⇔两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例.圆内含【详解】故选C为2的◎A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与◎A相交，那么OB的取值范围是()【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD,当◎B与⊙A相内切时，设切点为C,如图1,当◎A与◎B相外切时，设切点为E,如图2,∴半径长为3的◎B与◎A相交，那么OB的取值范围是：5<0B<9,故选A.图13.(2019.上海市南塘中学中考模拟)已知◎A的半径AB长是5,点C在AB上，且AC=3,如果◎C与◎A有公共点，那么◎C的半径长r的取值范围是()【详解】解：∵◎A的半径AB长是5,点C在AB上，且AC=3,∴点C到◎A的最大距离为8,最小距离为2,故选D.4cm.则◎A与⊙B的位置关系是()【详解】又∵1+4=5,故选A.那么两圆外切时圆心距等于()【详解】解：已知◎O,为大圆，半径为3.如果两圆内切时圆心距等于2,故◎O₂半径为1,故两圆外切时圆心距等于3+1=4.从而从而考查题型十七利用圆的相关知识解决动态问题1.(2019.河南中考模拟)如图，AB为◎O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切◎O于点D,已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE,DE与AB交于点P,再连接FP、FB,且∠AED=45°.(2)填空：②当∠DAE=时，四边形BFDP是正方形.【答案】(1)详见解析；(2)①67.5°;②90°.【分析】(1)要证明CD//AB,只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD,(2)①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数.【详解】(1)证明：连接OD,如图所示，∵射线DC切◎O于点D,(2)①连接AF与DP交于点G,如图所示，∵四边形ADFP是菱形，∠AED=45°,OA=OD,②∵四边形BFDP是正方形，∴此时点P与点O重合，∴此时DE是直径，知识点四正多边形和圆正多边形正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形，正多边形的相关概念：>正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，>正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.>正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。>正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.半径、边心距，边长之间的关系：半径²=边心距²+(1边长)22(作法操作复杂，但作图较准确)5)量角器+圆规(作法操作简单，但作图受取值影响误差较大)设◎0的半径为R,n°圆心角所对弧长为l,备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【考查题型汇总】考查题型十七正多边形的有关计算【解析】设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴四边形ABCO是菱形，故选C.2.(2015·广东中考模拟)正多边形的中心角是36°,那么这个正多边形的边数是()【解析】试题分析：设这个正多边形的边数是n,∵正多边形的中心角是36°,解得n=10.故选A.考查题型十八弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法1.(2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟).如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6,圆心角∠ACB=120°,则此圆锥高OC的长度是【详解】径r=2cm,