回归正交试验设计

王中来：回归正交试验设计王中来：回归正交试验设计#因素水平编码与一次回归正交试验设计类似，对因素的取值作线性变换:z一z一z二亍心=np）39)则变量尊的变化范围为［-r,r］,如表7所示。表7因素水平编码表Xj-1-rZXj-1-rZ21Z22•••2Pz“+A,Z°c+Ac•••zn+A011022OpPz…z“•••Ze0102Opz“—A’Zee—Ac•••Ze—A011022Oppz〜z“•••zu12Z2、根据因素个数p,选择相应的组合设计（查参考文献中的二次回归正交试验表），并按式（35）或查表得到星号臂r,进行N二叫+2p+mo次试验。例如：对于p=3,m=23,mo=1的情况，由表6中的xl>x2、x3所占的列构c0123成试验计划；对于p=4,mc=24,m0=1的情况，则试验计划由相应的组合表中的X］、x2、x3、x4所占的列构成。3、回归系数的计算与检验根据试验结果，利用结构矩阵X的正交性,很容易写出信息矩阵A=X'X、常数项矩阵B=X'Y和相关矩阵C=A-1。在组合设计中，信息矩阵A是对角矩阵，回归系数的计算很简单，与一

次回归正交设计的回归系数计算类似。信息矩阵A为：SpS12A=X'X(A=X'XSP-1,PS11Spp其中，S=£x2,j=1,2,...,pjiji=1S=€(xx)2,k主jkjikiji=lS仝(x')2,(i二1,2...N,j=1,2...p)jjiji=1常数项矩阵B为

其中B0B其中B0B1BpB12■■Bpj,pB11■■Bpp(41)NBy0ii=1NB=Exy,j=1,2,...,pjijii=1B=》xxy,k丰jkjikijii=1B=丈x'y,(i=1,2N,j=1,2,...,p)jjijii=1相关系数矩阵C为1NS-11S-1pS-1C=A-1=C=A-1=(42)S-1p-1,pS-111S-1pp于是，二次回归方程的回归系数矩阵b=A-1B=CB,即1vnB-乂y=a=yNiN，i=1迓xyiji,(i=1,2N,j=1,2...p)x2iji=1bkjBkjkjxxybkjBkjkjxxyikiji,k丰jbjjBjjSjji=1K(XX)2ikiji=1KNx'yijii=1,(i=1,2N,j=1,2...p)K(X')2iji=1此时，回归方程为y二bo+Ybxjjj=i+Ybxx+kjkjk<jYbx'jjjj=1(43)将式（36）代入上式，可得回归方程的另一形式=b+Y=b+Ybx0jjj=1+Ybxxkjkjk<j+Ybx2jjjj=1(44)其中YNx2iYp_i=1bNjjj=1二次回归正交设计的基本缺点是没有旋转性，这是因为回归系数的方差不全相等。4、回归方程与回归系数的显著性检验回归方程与回归系数的显著性检验，与一次回归正交试验设计类似。表8是二次回归试验设计的方差分析表。表8二次回归正交设计方差分析表方差来源I偏差平方和自由度f~~均方和F比一次效应Qi=B2/S1iiQ=B2/S一次效应Qi=B2/S1iiQ=B2/SpppQiqpQp/Ve交互效应2211212211Qe厂11QJ

1±-2J2“B--J

1±-s'p11Qe/V11Q二次效应"211…2"1111QPPQe11QS严他+…叫s二次效应"211…2"1111QPPQe11QS严他+…叫s剩-$回'总二为yi2-令为yi）2i=1i=1（S回/f回）/Vef=N-C2回p+2f「NTS回/f回V=S/f剩剩TOC\o"1-5"\h\z若在中心点处有m0次重复试验，试验结果分别为y01，y02，…，y0m，贝U可先用由此产生的误差平方和S对失拟平方和s进行检验，然后按表8对回误lf归系数进行检验。这里Sg=£（y-y）2=见y2-丄（见y）2误0i00im0ii=1i=1i=1f=m-1误0S=S-Slf剩误—1艮—1艮y=「y0m0i0i=1S:f若F1=sy<f（f，/误），则说明失拟误差基本由试验误差引起;误误_S汀若F2=S回f回>F（f回"剩），则说明回归方程在a水平上高度显著。剩；J剩二次回归正交设计主要用于寻求最佳工艺条件（对回归方程求极值得到）和建立生产过程的数学模型。（正交试验结果仅仅是较佳试验条件，因为在所取水平的左右两侧还可以取更细的水平进行试验！）（三）二次回归正交试验设计应用实例参见：1、《试验设计方法》（林维宣主编），1995,p277,例12—32、《回归分析及其试验设计》（茆诗松等），1981，p177，例33、《现代试验设计优化方法》（栾军），1995，p211，例9—2上述文献2（茆诗松等）