中职教育数学《双曲线》教案

授课3.2双曲线题目授课4课时时长

选用教材授课类型

高等教育出版社《数学》〔拓展模块一上册〕授课本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个试验展现了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足教学 的几何条件，为建立双曲线的标准方程制造条件.然后，与椭圆标准方程的推导提示 类比进展双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在y轴上的双曲线标准方程.最终，借助双曲线的图像，分别争论焦点不同坐标轴的双曲线的几何性质.知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能教学区分不同焦点坐标对应的不同方程；会依据双曲线的方程说出双曲线的几何性目标质，能依据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学依据条件求双曲线的标准方程，依据标准方程分析双曲线的几何性质．重点教学 双曲线标准方程的推导与化简．难点教师学生教师学生设计活动活动意图提出思考帮助问题学生分析形成引发思考答复双曲线形状的直观感受讲解理解通过试验展现说明思考画双教学内容环节广州塔是目前世界上已经建成情境导入 的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延长，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个试验来完成.(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.曲线把长的一条的端点固定在点F1的过知F2处；(2)M处，随着拉链的拉开或闭程，为建探究 合笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一

立双展现结合曲线图形图形的标引发思考准方思考问题条的端点固定在点F2处.类似 程创地，笔尖可面出另一条曲线 造条(图中左边的曲线). 件1 (即点M)在移动过程中与两个点FF 的距离之差确实定值始终保特不变1 F 一般地，把平面内与两个定点、的距离之差的绝F 1 2对值为常数(对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点焦距.3.2.1双曲线的标准方程提出思考渗透情境我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系，并推问题类比导入导了椭圆的标准方程.引发分析的思求它的方程呢？思考答复想、Fx轴，以线段以经过双曲线两焦点F1 2讲解理解通过F1F2y轴，建立平面直角坐标系，如图所把几示.何问说明思考题转化为代数展现领悟问题从而使几何问题可讲解理解以通过代数运M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为算来2c(c>0)，则焦点F1 F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0).、解决探究又设双曲上的点M2a知(a>0)，即||MF1|-|MF2||=2a，则有|MF1|-|MF2|=±2a.于是，有展现结合(xc)2y2 (xc)2y22a，图形图形移项得 (xc)2y2 (xc)2y22a引发思考思考两边平方得(xc)2y2(xc)2y24a (xc)2y24a2，整理得 cxa2a (xc)2y2，两边再平方，整理得a4+c2x2a2x2a2c2a2y2，移项并整理得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).由双曲线的定义可知 2c＞2a＞0，即a＞c＞0，因此c2a20.令c2a2b2(b0)，则上式可化为b2x2a2y2a2b2.两边同时除以a2b得 展现数形x2y2

1

图形结合a2 b2方程称为双曲的标准方程.此时双曲线的焦点F1和F2x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).

引发争论思考问题如下图以经过双曲线两焦点FF的直线为y轴, 类比1 2 介绍线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系.类 焦点似地，可以求得双曲线的标准方程为 在y轴上的双y2x21 (a＞0,b＞0).的双a2 b2F1

的坐标分别为(0,-c)、(0,c). 曲线的标准方程1依据条件，求双曲线的标准方程.(1)x14，双曲线上的一点到两个6；提问引导思考分析例1让学(2焦点为F1(06和F2(0,6M的坐标讲解解决解求为(2,-5).强调沟通双曲解(1由于2=1aa3b=-²4.线的x轴上，故双曲线的标准方程为x2 y2

指导主动 标准求解 方程9

1； 的关(2)由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即 键是求出2a 202562典型例题 化简得2a4 5，即a2 5.

，

a²和b²c=6b²c²-a²=36-20=16.y轴上.标准方程为y2x2

1.20 162双曲线的方程，求焦点坐标和焦距.例3(1)

x2y2

1；(2)x²-y²=-8. 是求32 4 焦点解(1)由于含x项的系数为正所以椭圆的焦点在x轴上， 和焦并且a²=32，b²=4.于是有 距的a²+b²=32+4=36， 问从而可得 c=6，2c=12． 题，引导(2)将双曲线的方程化成标准方程，为 学生y2y2

先将1．8 8 双曲由于含y项的系数为正所以双曲线的焦点在y轴上， 线方并且a²=8，b²=8.于是有 c²=a²+b²=16， 为标从而可得 c=4，2c=8. 准形所以，双曲线的焦点分别为(0,-4)、(0,4)，焦距为8. 式温馨提示要推断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程.xy项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上.3.2.11.1.依据条件，求双曲线的标准方程.提问思考准时(2)b=3y轴上，且分别为F1(0,-5)、F2(0,5).把握学生2.213，双曲线上的点到两个焦巡察动手把握点的距离之差确实定值为4，求双曲线的标准方程.求解状况练习 3.写出以下双曲线的焦点坐标和焦距. 查漏(1)9x²-7y²=63；(2)

y2x2

补缺1.4 x2

指导沟通4.求证双曲线 1与椭圆9x²+25y²=225的焦点一样.3.2.2点一样.3.2.2双曲线的几何性质提出思考提示前面，我们借助于椭圆的标准方程争论了椭圆的几何问题分析学生性质.那么，如何借助与双曲线的标准方程来争论双曲线引发答复与椭的几何性质呢？思考圆类比情境导入x2a2

y2b2

1a0，b0为例．范围探究知 将双曲线的标准方程化为x2a2

1y2b2

.由于

y2≥0，b2x2≥1x2a2.于是有a2x≤-a或x≥a.x=-a讲解理解椭圆x=a的右侧，如下图.说明思考的范围和对称性易展现领悟展现领悟于直观推断运用讲解理解代数方法进展界定可以帮助学生习得讲解理解几何类似于前面关于椭圆对称性的争论，借助于方程x2y2a2 b2

1a0，b0可以觉察，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的.xy轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).顶点探究y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交知A1(-a,0)A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交A1、A2称为双曲线的顶点，线段A1A2称为双曲线的实轴2a，a是双曲线的实半轴长.x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解.因此，双y轴没有交点.我们仍将点B1(0,-b)B2(0,b)画在y轴上，如下图.线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等2b，b是双曲线的虚半轴长.明显,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．AA问题代数说明AA问题代数说明思考化的思想方展现领悟法，培育学生讲解理解科学严谨的科学精神．经过点 、1

2分别作y轴的 双曲B1平行线x=-a，x=a,经过点B、2 线范B1分别作x轴的平行线-y=.这 围的四条直线围成一个矩形，如下图. 矩 目的形的两条对角线所在直线的方 是用b程为y x. 描点a 法画观看右图可以看出双曲线 图时的两支向外延长时分别与这两 可以条直线渐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线 不取范围x2a2

y2b2

1的渐近线.借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质.将双曲线的标准方程变为b|x|无限增大时，y的值无限接近于x或abx的值这说明，当|x|无限增大时，双曲线与直线ab by x或y x无限接近(但不能相交).a a离心率c双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，ae.即ce .ac＞a＞0e＞1.由b c2a2 c2 1 e21a a a2

b越大，的值越大，从而渐近线

by xa a.因此，离e反映了双曲线的“张口”大小.探究与觉察为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的外形？例3 求双曲线4y²-16x²=64实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.

表达外的点，外的点，这为后续介绍画双曲线的大致曲线奠定基础在介绍顶点、实轴、虚轴讲解理解的同时，要帮说明思考助学生理展现领悟清ab、c在图形讲解理解中的呈现数学图片图形学问引发特征的应思考争论用沟通提问思考 强调引导分析 先将解x2y2

双曲1.由此可知，双典型 16 4

讲解解决 线化为标b=2，c=2 5. 准方于是，双曲线的实轴长2a=8，虚轴长2b=4，焦点坐标 程，为0,-2 心率 解题步骤ec 5yb2x.a 2 a例4求满足以下条件的双曲线的标准方程. 提问思考 再次一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为 引导分析 强调3x-4y=0； 先确312,

讲解解决 定双2离心率为. 强调沟通2曲线解(1)由题设可知，双曲线的焦点在x轴上，渐近线的方 的焦程为 y3x. 点位4 置，于是有 再求a2b2

100, 出 b 3 a2 . a 4 和解得 b2a28,b6.因此，所求的双曲线的标准方程为x2y2

1；64 36c 3(2)由条件可知2c=12，因此c=6.又e ，故a 2a=4b²=c²-a²=20.x轴上时，所求双曲线的标x2y21.y轴上时，所求双16 20y2x2

1.16 205x2y21的图形.

提问思考 留意引导分析引导分析强化学生讲解解决动手强调沟通作图的能力，特别要介绍双曲线分析双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形.解y≥0y34

x216(x≤-4x≥4).在[4,+∞,x的值，计算出对应的y值，列表以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标，在直角 大致坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接 图像各点得到双曲线在第一象限中的图形.然后利用对称性， 的画画出全部图形. 法温馨提示我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：a²=16a=4，得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；b²=9b=3B1(0,-3)、B2(0,3)；x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；依据双曲线经过实轴端点，且渐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.例6A、B两个哨所相距1600m，在A哨所听到炮弹提问思考表达爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点全部可能位置构成引导分析学问的曲线的方程(声速为340m/s). 分析依据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出讲解解决际应A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值.因此，爆炸强调沟通用点全部可能的位置都在某双曲线上，又由于爆炸点距离AB处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.解A、B两点在xAB的中点.M的坐标为(x,y)，则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020，a=510，a²=260100.由于 |AB|=1600，所以 2c=1600，c=800，b²=c²-a²=379900.又|MA|-|MB|=1020>0.M在双曲线的右支x≥510.因此，所求曲线方程为探究与觉察能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？3.2.2求以下双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标，离心率与渐近线方程.(1)x²-9y²=81；(2)9x²-4y²=-36.求满足以下条件的双曲线的标准方程.4x8