一类非线性偏微分方程的解析解

一类非线性偏微分方程的解析解

1.使用一个变换非线性方程的分析解和数值解一直是大多数物理和数学科学家致力于研究的重要课题。目前，已经发展了许多成熟的方法[1、2、3、4、5、6、7、8、9和10]，用于解决非线性微分方程，但不能说是非线性微分方程的解。本文通过引入一个变换,只要选准试探函数,就可简洁地求得非线性偏微分方程的解析解.2.非线性偏微分方程程序本文基于Hopf_Cole变换和文献所提出的“试探函数法”的思想,研究如下一类非线性偏微分方程的解析解:∂u∂t+u∂u∂x+α∂2u∂x2+β∂3u∂x3+γ∂4u∂x4+\:=0,(1)∂u∂t+u∂u∂x+α∂2u∂x2+β∂3u∂x3+γ∂4u∂x4+\:=0,(1)为了求解上述方程,引入变换u=∂v∂x,v=v(y),y=y(x,t)‚(2)其中v(y)和y(x,t)为试探函数.只要试探函数v(y)和y(x,t)选得准确,就可将非线性偏微分方程(1)化为代数方程,从而求解相当简洁.考虑到非线性偏微分方程一般为波动方程,其解含有相位因子(kx-ωt),因此,把试探函数y(x,t)选为如下形式:y=e(kx-ωt).(3)至于试探函数v(y)则应根据具体的方程灵活选择,下面应用这个思想来求解几个非线性偏微分方程.3.使用示例3.1.波速计算3考虑KdV方程∂u∂t+u∂u∂x+β∂3u∂x3=0,(4)选取试探函数v(y)为v=ay21+y2,(5)其中a为待定常数.由(2),(3),(5)式得u=∂v∂x=2aky2(1+y2)2,(6)∂u∂t=4akω(y4-y2)(1+y2)3,(7)∂u∂x=4ak2(y2-y4)(1+y2)3,(8)∂3u∂x3=8ak4(2y2-22y4+22y6-2y8)(1+y2)5.(9)将(6)—(9)式代入(4)式得代数方程(4βk3-ω)y2+(2ak2-ω-44βk3)y4+(ω-2ak2+44βk3)y6+(ω-4βk3)y8=0.(10)要使(10)式对任意y都成立,必有4βk3-ω=0,(11)2ak2-ω-44βk3=0.(12)联立(11),(12)式解得ω=4βk3,a=24βk.(13)将(13)式代入(6)式求得u=48βk2y2(1+y2)2=48βk2e2(kx-ωt)[1+e2(kx-ωt)]2.(14)利用双曲正割函数的定义,可将(14)式化为u=12βk2sech2(kx-ωt),(15)由(13)式还可求得波速为c=ωk=4βk2.(16)3.2.波速计算yBurgers方程的形式为∂u∂t+u∂u∂x-α∂2u∂x2=0,(17)选取试探函数v(y)为v=aln(1+y).(18)由(2),(3),(18)式得u=∂v∂x=aky1+y,(19)∂u∂t=-akωy(1+y)2,(20)∂u∂x=ak2y(1+y)2,(21)∂2u∂x2=ak3(y-y2)(1+y)3.(22)将(19)—(22)式代入(17)式得-(ω+αk2)y+(ak2+αk2-ω)y2=0.(23)要使(22)式对任意y都成立,必有ω+αk2=0,(24)ak2+αk2-ω=0.(25)联立(24),(25)式解得ω=-αk2,a=-2α.(26)将(26)式代入(19)式得u=-2αke(kx-ωt)1+e(kx-ωt).(27)利用双曲正切函数的定义,可将(27)式化为u=-αk[1+tanh12(kx-ωt)],(28)由(26)式还可求得波速为c=ωk=-αk.(29)3.3.函数2+y+bln1+y为vy型KdV_Burgers方程为∂u∂t+u∂u∂x-α∂2u∂x2+β∂3u∂x3=0,(30)选取试探函数v(y)为v(y)=ay1+y+bln(1+y),(31)仿照前面相同的方法可求得ω=-αk2+βk3,a=12β,b=-125α,c=-αk+βk2,(32)u=3α225β{4-[1+tanhα10βk(kx-ωt)]2},(33)不再赘述.以上一些结果与文献的结果完全一样,说明本文的方法是可行的.4.元解析函数的验证本文将Hopf-Cole变换法和“试探