第七讲 正则坐标与主振型

第七讲正则坐标与主振型第1页，课件共25页，创作于2023年2月22第一章振动理论基础1.1振动系统简介1.2单自由度系统1.3多自由度系统1.4连续振动系统1.5随机振动第2页，课件共25页，创作于2023年2月复习：多自由度系统固有频率和主振型一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。

第3页，课件共25页，创作于2023年2月对应于ωi可以求得A(i)，它满足返回首页A(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型第4页，课件共25页，创作于2023年2月在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。令，于是可得第i阶主振型矢量为第5页，课件共25页，创作于2023年2月例1图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为将M和K代入频率方程第6页，课件共25页，创作于2023年2月解方程得到求出系统的三个固有频率为=0代入第7页，课件共25页，创作于2023年2月可得主振型第8页，课件共25页，创作于2023年2月主坐标和正则坐标主振型的正交性主振型矩阵与正则振型矩阵主坐标和正则坐标第9页，课件共25页，创作于2023年2月返回首页n自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。对应于两边左乘转置，然后右乘

相减

第10页，课件共25页，创作于2023年2月表明，对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。

Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。令j=i,第11页，课件共25页，创作于2023年2月可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。第12页，课件共25页，创作于2023年2月以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质主质量矩阵主刚度矩阵第13页，课件共25页，创作于2023年2月使MP由对角阵变换为单位阵正则振型的正交关系是第i阶正则振型第i阶固有频率第14页，课件共25页，创作于2023年2月以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即由正交性可导出正则矩阵两个性质谱矩阵

第15页，课件共25页，创作于2023年2月在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。第16页，课件共25页，创作于2023年2月2.正则坐标用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设正则坐标矢量前乘以由正则振型矩阵的两个性质第17页，课件共25页，创作于2023年2月例5试求例1中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。由质量矩阵

，可求出主质量矩阵解：将在例1中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵第18页，课件共25页，创作于2023年2月于是，可得各阶正则振型以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵第19页，课件共25页，创作于2023年2月由刚度矩阵可求出谱矩阵可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为第20页，课件共25页，创作于2023年2月固有频率相等的情况在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。可写出线性组合说明对应于ω0的主振型不能唯一地确定

两个任意常数第21页，课件共25页，创作于2023年2月因此，当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。不仅所选定的A(1)和A(2)之间应满足对M、K的正交关系，而且还必须满足与其它振型间关于M、K的正交关系。例6图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。第22页，课件共25页，创作于2023年2月解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1,x2

。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为得到特征矩阵得到频率方程解出系统的两个固有频率，是重根。

第23页，课件共25页，创作于2023年2月需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设然后用两振型关于M、