极坐标与参数方程

极坐标与参数方程

第三组起源、考纲要求、重要性基本知识点与性质高考中的极坐标与参数方程高等数学中的极坐标与参数方程极坐标与参数方程一、希腊人最早使用了角度和弧度的概念。◆天文学家喜帕恰斯制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。◆在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。二、极坐标系概念的引入◆格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。◆圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。◆卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。三、极坐标的正式应用和扩展◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。◆克莱罗和欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。

考试大纲要求1.理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置。理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；⒋了解参数方程及其意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；5.能选择适当的参数，写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。关于教材编排参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解学习参数方程的缘由。

数与形的结合、运动与变化、相对与绝对、分解与综合等思想方法十分突出，是培养学生辩证唯物主义观点的好素材。

学习本部分知识的意义◆掌握极坐标系和参数方程的基本概念，对曲线有多种表现方式也会有深刻认识；◆重温坐标法思想，拓宽了学生思维宽度；◆体会从各种生产生活问题中抽象出数学问题的过程，激发学生的探究精神，了解数学的实用意义，提高学生的数学应用意识和实践能力。

极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已学知识融会贯通极坐标系定义：平面内的一条有规定有单位长度的射线0x,0为极点，0x为极轴，选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向)，这就构成了极坐标系。OxP（ρ,θ）ρθ1

极坐标系内一点P的极坐标平面上一点P到点O的距离|OP|称为极径P，OP与OX轴的夹角θ称为极角，有序数对P（ρ，θ），就叫做点P的极坐标P（ρ，θ）xyθOρ（1）一般情况下。不特加以说明时P表示非负数：当ρ=0时表示极点：当ρ<0时，点P（ρ，θ）的位置这样确定，作射线OP,使∠xOP=θ，在OP的反向延长线上取一点P＇，使得|OP＇|=ρ，点P＇即为所求的点。（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均表示同一个点3.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标私（x,y），极坐标是（ρ,θ）（ρ≥0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限最小正角xyMρOθNyx点M直角坐标（x,y）极坐标（ρ,θ）互化公式Ρ2=x2+y2

tanθ=y/x(x≠0)x=ρcosθy=ρsinθ4.直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为α的直线：θ=α（ρ∈R）或写成θ=α及θ=α+π（2）过A（a,α）垂直于极轴的直线：ρcosθ=acosα5.圆的极坐标方程：（1）以极点为O为圆心，a（a>0）为半径的圆：ρ=a.（2）过O（0,0），A（2a,0）（a>0）,以OA为直径的圆：ρ=2acosθ参数方程1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数：并且对于每个t的每一个允许值，方程所确定的点M（x,y）都是在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y间的关系,变数t叫做参变数（简称参数）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标关系的方程F（x,y）=0，叫做曲线的普通方程。x=f(t)y=g(t)x=f(t)y=g(t)2.参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以听过消去参数而从参数方程得到普通方程。（2）如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t)把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么x=f(t)y=g(t)注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值保持一致。注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一，应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。就是曲线的参数方程。3.圆的参数圆心为（a，b），半径为r的圆的普通方程是（x-a）2+（y-b）2=r2参数方程为x=a+rcosθ(θ为参数)。y=b+rsinθ4.椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程是（a>b>0）,其参数方程为x=acos

ψ(ψ为参数)，其中参数ψ

称为离心角y=bsinψ焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（a>b>0）,其参数方程为x=bcosψ(ψ)为参数，其中参数ψ仍为离心