近五年北京中考数学真题试卷2023

2023年北京中考数学真题及答案考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如图，，，则的大小为（

）

A． B． C． D．4．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C． D．96．十二边形的外角和为（

）A． B． C． D．7．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（

）A． B． C． D．8．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10．分解因式：=__________________.11．方程的解为______．12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．14．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

15．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．

16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：．18．解不答式组：．19．已知，求代数式的值．20．如图，在中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；(2)，，，求的长．21．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．23．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mn(1)写出表中m，n的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．24．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．(1)若对于，有，求的值；(2)若对于，，都有，求的取值范围．27．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．(1)如图，点，，①在点，，中，弦的“关联点”是______．②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；(2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．参考答案1．B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：，故选：B．2．A【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A．3．C【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵，，∴，∵，∴．故选：C．4．B【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B．5．C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴．解得：．故选：C．6．C【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴十二边形的外角和是360°．故选：C．7．A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．【详解】

如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为.故选：A8．D【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，∵，∴，①正确，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正确，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正确，故符合要求；故选：D．9．【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：若代数式有意义，则，解得：，故答案为：．10．【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=11．【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以，得，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．12．3【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．【详解】解：∵函数的图象经过点和∴把点代入得，∴反比例函数解析式为，把点代入得：，解得：，故答案为：3．13．460【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只），故答案为：460．14．【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.【详解】，

，，，，，，；故答案为：.15．【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．16．5328【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【详解】解：由题意得：（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，28；17．【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得：解不等式②得：不等式的解集为：19．2【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式，由可得，将代入原式可得，原式．20．(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形；（2）解：由（1）知四边形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．21．边的宽为，天头长为【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，由题意可得：解得，∴，答：边的宽为，天头长为．22．(1)，；(2)．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．【详解】（1）解：把点，代入得：，解得：，∴该函数的解析式为，由题意知点C的纵坐标为4，当时，解得：，∴；（2）解：由（1）知：当时，，因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，所以如图所示，当过点时满足题意，代入得：，解得：．

23．(1)，；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择．【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，∴中位数，∴，；（2）解：甲组身高的平均数为，甲组身高的方差为乙组身高的平均数为，乙组身高的方差为，∵∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；（3）解：168，168，172的平均数为∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170，172，且选择170，172时，平均数会增大，故答案为：170，172．24．(1)见解析，(2)【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径，∴；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．25．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：<．26．(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵对于，有，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为．∴；（2）解：∵当，，∴，，∵，，∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，∴，即．27．(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中点；（2）；证明：如图2，延长到H使，连接，，∵，∴是的中位线，∴，，由旋转的性质得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，设，，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

28．(1)，；(2)或．【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”，∵点，，，，，∴直线经过点O，且与相切，∴是弦的“关联点”，又∵和横坐标相等，与都位于直线上，∴与相切，经过点O，∴是弦的“关联点”．②∵，，设，如下图所示，共有两种情况，a、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，∴，b、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，∴，综上，．（2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示，①当S位于点时，为的切线，作，∵，的半径为1，且为的切线，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根据勾股定理得，，根据勾股定理，，同理，，∴当S位于点时，的临界值为和．②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，∵点，，∴，∴，又∵的半径为1，∴，∴三角形为等边三角形，∴在此情况下，，，∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，综上所述，t的取值范围为或，

2022年北京中考数学试题第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学计数法表示应为（）A. B. C. D.3.如图，利用工具测量角，则的大小为（）A.30° B.60° C.120° D.150°4.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A. B. C. D.6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.7.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A. B. C. D.8.下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．10.分解因式：______．11.方程的解为___________．12.在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．14.如图，在中，平分若则____．15.如图，在矩形中，若，则的长为_______．16.甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：18.解不等式组：19.已知，求代数式的值．20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：方法一证明：如图，过点A作方法二证明：如图，过点C作21.如图，在中，交于点，点在上，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若求证：四边形是菱形．22.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．（1）求该函数的解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．24.如图，是的直径，是的一条弦，连接（1）求证：（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y轴交点坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．27.在中，，D为内一点，连接，延长到点，使得（1）如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．①在图中画出点；②连接交线段于点求证：（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）

2021年北京中考数学试题一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012 B．1.692×1012 C．1.692×1011 D．16.92×10103．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．下列多边形中，内角和最大的是（）A．B． C． D．5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜06．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A． B． C． D．7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．468．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题(共16分，每题2分)9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：5x2﹣5y2＝．11．方程＝的解为．12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．18．解不等式组：．19．已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

2020年北京中考数学试题一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱B.圆锥C.三棱锥D.长方体2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为（）A.B.C.D.3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1＞∠4+∠5D.∠2＜∠54.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）5.正五边形的外角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数满足，则的值可以是（）A.2B.-1C.-2D.-37.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A.B.C.D.8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.二次函数关系D.反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式有意义，则实数的取值范围是.10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是.11.写出一个比大且比小的整数.12方程组的解为.13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为.14.在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：（填“＞”，“＝”或“＜”）16.下图是某剧场第一排座位分布图甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序.三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：18.解不等式组：19.已知，求代数式的值.20.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB.求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=.作法：=1\*GB3①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；=2\*GB3②连接BP.线段BP就是所求作线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵CD∥AB，∴∠ABP=.∵AB=AC，∴点B在⊙A上.又∵∠BPC=∠BAC（）（填推理依据）∴∠ABP=∠BAC21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）.（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.23.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的长.24.小云在学习过程中遇到一个函数.下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而，且；对于函数，当时，随的增大而，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而.（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：012301综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大.在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象.（3）过点（0，m）（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是.25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为.直接写出的大小关系.26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中.（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的对称轴为.若对于，都有，求的取值范围.27.在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点.E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1.给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围.

2019年北京中考数学真题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为 （A） （B） （C） （D）2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是 （A） （B） （C） （D）3．正十边形的外角和为 （A）180° （B）360° （C）720° （D）1440°4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为 （A）﹣3 （B）﹣2 （C）﹣1 （D）15．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A）∠COM=∠COD （B）若OM=MN，则∠AOB=20° （C）MN∥CD （D）MN=3CD6．如果，那么代数式的值为 （A）﹣3 （B）﹣1 （C）1 （D）37．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．人数时间学生类别人数时间学生类别0≤t＜1010≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间=3\*GB3③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间=4\*GB3④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间所有合理推断的序号是 （A）①=3\*GB3③ （B）=2\*GB3②=4\*GB3④ （C）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③ （D）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则的值为.10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则°（点A，B，P是网格线交点）.13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上．点A关于x轴的对称点B在双曲线上，则的值为.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则.(填“”，“”或“”)16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，=1\*GB3①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；=2\*GB3②存在无数个四边形MNPQ是矩形；=3\*GB3③存在无数个四边形MNPQ是菱形；=4\*GB3④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：.18．解不等式组：19．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指