微积分第二章-复习-课件

总复习

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第二章极限与连续

正确理解数列极限与函数极限的定义，能用定义证明简单函数的极限.第二章极限与连续

正确理解数列极限与函数极限的定义，例1、用定义证明下列极限

(1)分析：对于任意给定的

要使只要

故可取当nN时

有所以

证明因为对于任意给定的

存在例1、用定义证明下列极限

(1)分析：对于任意给定的(2)

证明因为对于任意给定的0

存在

当0|x(

2)|

时

有所以(2)证明因为对于任意给定的0存2.熟练掌握极限存在的充要条件，会用充要条件判定分段函数在分段点的极限的存在性.2.熟练掌握极限存在的充要条件，会用充要条证明因为所以不存在

例2、证明

不存在

证明因为所以不存在例2、证明不存在设则有(2)(3)(4)(1)3熟练掌握极限的四则运算法则设则有(2)(3)(4)(1)3熟练掌握极限的四则运算法则熟练掌握极限存在的准则.

准则I设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的某空心邻域内满足条件（1）g(x)≤f(x)≤h(x)（2）则有准则II单调有界数列必有极限.熟练掌握极限存在的准则.

准则I设函数f(x)，g(x5、熟练掌握重要极限5、熟练掌握重要极限(1)用四则运算法则求极限.(2)用“适当变型法”求极限.(3)用重要极限求极限.(4)用无穷小量的性质求极限.(5)用极限存在的充要条件来确定分段函数在分段点处的极限.6、熟练掌握求极限的方法

(1)用四则运算法则求极限.6、熟练掌握求极限的7.理解无穷小量与无穷大量的定义。

(1)以零为极限的变量叫做无穷小量.(2)绝对值可以无限增大的变量叫做无限大量.8.熟记无穷小的性质，熟练掌握用性质求极限的方法.

性质1有限个无穷小量的和是无穷小量.

性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量.

性质3有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.7.理解无穷小量与无穷大量的定义。设f(x)和g(x)为同一变化过程中的无穷小量，(1)如果0<K<＋∞，则称f(x)和g(x)为此变化过程中的同阶无穷小量；

(2)如果K＝0，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的高阶无穷小量，记作f(x)＝o(g(x))；

(3)如果K＝∞，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)低阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的低阶无穷小量.9.理解无穷小的阶的概念，会比较无穷小的阶.

设f(x)和g(x)为同一变化过程中的无穷小量，例2、求下列各极限

(1)解

例2、求下列各极限

(1)解(2)解

(2)解(3)

解(3)解(4)解

(4)解(5)解(5)解(6)解(6)解(7)解(7)解(8)解(8)解若

求k的值所以当x3时

x3与x2

2xk是同阶的无穷小量

因此k3

例3、

解因为若求k的值所以当x3时x3与x2例4、

当x

0时

无穷小量xsinx2是x的几阶无穷小量？所以当x0时

xsinx2与x是等价无穷小量

解因为例4、

当x0时无穷小量xsinx2是x的几阶无穷1、下列极限存在的有()

(B)(C)

(D)例5、选择题

(B)

(C)

(D)(A)(A)

提示

答A

1、下列极限存在的有()(B)2

下列极限正确的有().(A)不存在

这是因为

(B)当x0

时

(C)当x0

时

(D)当x

时

(B)

(C)

(D)(A)答

B

C

D

2下列极限正确的有().(A)不存在这3

f(x)在点x

x0处有定义

是当x

x0时

f(x)有极限的()

(A)必要条件

(B)充分条件

(C)充分必要条件

(D)无关的条件

答

D

函数f(x)在x0点的极限与函数f(x)在x0点的定义情况无关

3f(x)在点xx0处有定义是当xx0时f((A)1

(B)0

(C)2

(D)答

C

(A)1(B)0十、函数在一点连续的定义；

定义1设函数)(xf在)(0xUd内有定义,如果0lim0=D®Dyx

,则称函数)(xf在点0x连续。

定义2设函数)(xf在)(0xUd内有定义,如果

,则称函数)(xf在点0x连续。

十、函数在一点连续的定义；

定义1设函数)(xf在)(02.间断点—函数的不连续点2.间断点—函数的不连续点十一．初等函数的连续性

(1)、连续函数经过有限次四则运算后得到的函数仍为连续函数．

(2)、连续函数经过有限次复合运算后得到的复合函数仍为连续函数．

(3)、严格单调的连续函数的反函数仍为严格单调的连续函数．

(4)、基本初等函数在其定义域内连续．

(5)、一切初等函数在其定义区间内都连续。十一．初等函数的连续性

(1)、连十二．闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续，则(1)有界性定理：若函数它在上有界．(2)最大值和最小值定理：若函数在闭区间上连续，则它在上必能取得最大值和最小值．(3)介值定理：若函数在闭区间上连续，则它必取得介于端点函数值f（a）与f（b）之间的一切值C.(4)根的存在定理：若函数在闭区间上连续，且，则方程在（a,b）内至少。有一个实根十二．闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续，则(1)有界性定例6、证明下列函数y3x2

1在(

)内是连续函数。从而y3x2

1在(

)内是连续函数

解因为所以y3x21在(

)内任意点处都连续

例6、证明下列函数y3x21在()内是连续函例7、函数在其定义域内是否连续？

解、函数的定义域为[

3,3]

因为f(1)

|

1|

1

而所以函数在x1处不连续因此函数在定义域内不连续

例7、函数例8、解因为所以令f(0)1能使f(x)在点x0处连续给f(0)补充定义一个什么数值

能使在点x0处连续？例8、解因为所以令f(0)1能使f(x)在例9、设问当k为何值时

函数f(x)在其定义域内连续？解因为函数在区间(,0)和(0,)内是连续，所以当k1时

函数f(x)在其定义域内连续

又在x0处

f(0)k

f(00)

f(00)

1，例9、设问当k为何值时函数f(x)在其定例10、设解因为函数在区间(,0)和(0,)内是连续，所以函数f(x)在x0处是连续的

问当k为值时

函数f(x)在其定义域内连续？所以当k2时

函数f(x)在其定义域内连续

又当k2时

f(0)2

并有例10、设解因为函数在区间(,0)和(0,例11、证明方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)内至少有一个实根证明设f(x)x4

3x2

7x

10

则f(x)是闭区间[12]上的连续函数，且f(1)5

0

f(2)18

0。根的存在定理知

至少有一点x

(1

2)使f(x)0

即方程y

x4

3x2

7x

10在(1

2)内至少有一个实根例11、证明方程yx43x27x10在(12)例12、解因为是初等函数且在x

0有定义求所以例12、解因为是初等函数且在x0有定义求所以例13、选择题(A)是连续函数

(B)有界函数

(C)有最大值与最小值

(D)有最大值无最小值

函数在x0处取得最大值

无最小值

所以(D)是正确的

1、

当|x|1时

()

答

A

B

D

是初等函数

在其定义域[1,1]内是连续有界当然在(1,1)内也是连续的有界的

所以(A)、(B)正确例13、选择题