五年级奥数奇数与偶数及奇偶性的应用讲解

五年级奥数：奇数与偶数及奇偶性的应用1•奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类■能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数°_偶数通常可以用2k@为整数）表示，奇数则可以用2k+l（k为整数）表特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。£奇数与偶数的运算性质性质1：偶数士偶数二偶数，奇数士奇数二偶数。性质2；偶数士奇数二奇数。性质决偶数个奇数相加得偶数。性质4’奇数个奇数相加得奇数，性质5：偶数X奇数二偶数，奇数X奇数二奇数。二例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例11+2+3+-+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求岀和，再判别和是奇数，还是偶数•但是如杲从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以肴两种辭法。解法1：V1+2+3+-+1993(1+1993)X1993 彳 =997X1993,又T997和1993是奇数，奇数X奇数二奇数，••・原式的和是奇数。解法2：V1993-^2=996-1,.'.1-1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。V996个偶数之和一定是偶数，又•・•奇数个奇数之和是奇数，••・997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数二奇数，所以原式之和一定是奇数。例2—个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？解法1：•・•相邻两个奇数相差2,•••150是这个要求数的2倍。••・这个数是150*2二75。解法2：设这个数为x,设相邻的两个奇数为2吐1,2a-l（a>l）•则有（2a+l）x-（2a-l）x二150,2ax+x-2ax+x=150,2x=150,x二75。•••这个要求的数是75。例3兀旦前夕，同学们相互送贺年卡•每人只姜按到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送岀贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送岀了偶数张贺年卡的人：他们送岀贺年卡总和为偶数。另一种是送岀了奇数张贺年卡的人：他们送吕的贺年卡总数二所有人送出的賀年卡总数-所有送岀了偶数张贺年卡的人送岀的贺年卡总数二偶数T禺数二偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送岀的负年卡总数为偶数。所以，送岀奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4已知a、b、c中有一个是5,—个是6,—个是7.求证8-1,b-2,c-3的乘积一定是偶数。证明：S、b、c中有两个奇数、一个偶数,••・&、c中至少有一个是奇数，•*.a-1,c-3中至少有一个是偶数。又•・•偶数X整数二偶数，•••(a-1)x(b-2)x(c-3)是偶数。例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a，b，c'。假设原数与新数之和为999,即赢+/VL=999。则有寸8；二b+b:二c+c；=9,因为9不会是逬位后得到的又因为J、『、C，是3、b、C调换顺序得到的，所以3+b+c=8'+b'+c'°因此，又有)+(b+b1)+(c+cf)二9+9+9,即2(a+b+c)二3X9。可见：等式左边是偶数，等式的右边(3X9=27)是奇数.偶数弄奇数.因此，等式不成立•所以，此假设"原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法•先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。例6用代表整数的字母玉b、c、d写成等式组：aXbXcXd-a=1991aXbXcXd-b二1993aXbXcXd-c=1995aXbXcXd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。解：由原题等式组可知：a(bcd-l)=1991,b(acd-1)二1993,c(abd-1)二1995,d(abc-1)二1997。V1991.1993、1995、1997均为奇数，且只有奇数x奇数二奇数，.•.8、b、c、d分别为奇数。•••aXbXcXd二奇数。•••a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、诟，一定为偶数.这与原题等式组矛盾。・••不存在满足题设等式组的整数不b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时"翻转"•请说明：无T,鬻页熬9不馨思訝芻需篁”豔次翥鶴/霞彎规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次'‘翻转”，翻转的总次数只能是偶数T,鬻页熬9不馨思訝芻需篁”豔次翥鶴/霞彎规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次'‘翻转”，翻转的总次数只能是偶数次•因此无论经过多少次“翻转”，者b不能使9只杯子全部口朝下。鸚饗豐瞬蟲I魏1議攜釁鶴賞"个开关'肌否把所有证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。由于n是奇数，所以n个奇数的和二奇数，因此要把所有的灯(彊)都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。但因为规定每次拉动n-l个开关，且n-l是偶数，故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。•・•奇数弄偶数,・••当n为奇数时，不能技规定将所有灯都关上。当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：设灯的编号为1,2,3,4,•••,“.做如下操作：第一次，1号灯不动，拉动其余开关；第二次，2号灯不动，拉动其余开关；笫三次，3号灯不动，拉动其余开关；•••第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。例9在圆周上有198了个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝•最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色•设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色•则染红色次数为2ro次。•/2m^l987（偶数壬奇数）・•・假设不成立。・•・至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块''爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以氷为单位），这是为什么？解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距然，笫二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b氷，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c-a+b（米）（如下图）,如果&b中有一个是偶数，题目己得证；如果壬b都是奇数，因为奇数+奇数二偶数，所以C必为偶数，那么题目也得证。....纽S......金伞....牟伞....,眯 b氷 |八 _]C氷例11草校六年级学生参加区数学竞赛，试題共40道，评分标准是：答对一題给3分，答错一题倒扣1分•某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。解：对每个学生来说，40道题都答对共得分，是个偶数.如杲答错一直相当于从120分中扣4分•不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分•从120里减去偶数•差仍是偶数•同样，如杲有某题不答，应从120里减去（3-1）分•不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数•所以从120里减去偶数，差仍是偶数•因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数.牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米j（如卞图），如杲玉b中有一个是橋薮，题目包得证；如果玉b都是奇数，因为奇数+奇数二偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。....创S......*申....伞卑....咪例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分•某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。解：对每个学生来说，40道题都