2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2023）必修第一册2.1等式性质与不等式性质第2课时课件（共17张PPT）-

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2.1等式性质与不等式性质

第2课时不等式的性质

一、导入新课

等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？

（1）a＞b与b＜a是否等价？

（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c是否成立？

二、新知探究

等价

成立

为什么？能否证明？

可以用作差的方法证明.

不等式的性质：

性质1：如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，

即a＞bb＜a.（对称性）

性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c.

（传递性）

等式的两条基本性质：（1）如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c;

（2）如果a=b,那么ac=bc,(c≠0).

这两条性质是说，等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？

不等式的性质：

性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．

性质4：如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；

如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.

性质5：如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.

性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.

实数的运算还包括乘方运算，那么在不等式的两边能不能进行乘方运算呢？

可以

不等式的性质：

性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．

与等式的性质相比，在利用不等式的性质解决有关不等式问题时，要注意符号问题.

不等式的性质是求解或证明不等式的依据.

三、新知应用

例1.判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若，则a>b；

(3)若a>b，ab≠0，则；

(4)若a>b，c>d，则ac>bd.

解：(1)错误．当c＝0时不成立．

(2)正确．∵c2≠0且c2>0，在两边同乘以c2，∴a>b.

(3)错误．a>b成立的条件是ab>0.

(4)错误．a>b，c>dac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．

小结：在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．

例2.已知c>a>b>0，求证：.

证明：∵a>b，∴－aa>b>0，

∴0b>0，∴.

例3.已知－6解：∵－6则a－b的取值范围是－9又，①当0≤a<8时，0≤<4；

②当－6由①②得－3<<4.因此的取值范围是－3<<4.

四、随堂检测

1.已知m，n∈R，则成立的一个充要条件是()

A．m＞0＞nB．n＞m＞0

C．m＜n＜0D．mn(m－n)＜0

D

2.已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是()

①a＜b＜0a2＜b2；②＜ca＜bc；

③ac2＞bc2a＞b；④a＜b＜0＜1.

A．0B．1C．2D．3

解析：①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，

∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.

②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.

③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.

④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞＞0.

答案：C.

3.若1解析：∵－4<b<2，

∴0≤|b|<4，

∴－4<－|b|≤0.

又1∴－3－34.已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：.