湖南省湘潭市县中路铺荷塘中学2022-2023学年高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省湘潭市县中路铺荷塘中学2022-2023学年高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若在区间中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：C2.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有

（

）

A．240种

B．180种

C．120种

D．60种参考答案：A3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（

）A．72 B．86 C．98 D．128参考答案：C

考点：程序框图,4.已知,且，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A5.已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，∴该几何体的侧视图可能是C，故选：C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．6.执行图中的程序框图，若，则输出的（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.函数.若该函数的两个零点为，则（

）A.

B.

C.

D.无法判定参考答案：C8.设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．fp=f B．fp=f C．fp=f D．fp=f参考答案：B考点： 分段函数的应用．专题： 新定义；函数的性质及应用．分析： 由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答： 解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．fp=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．fp=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，fp=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，fp=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评： 本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．9.设是双曲线的左右焦点，P是双曲线C右支上一点，若，则双曲线C的渐近线方程是A． B． C． D．参考答案：A解析：因为P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得，cos30°＝＝＝.

则有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，则b＝＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x，故选A.

10.如图，若N=5时，则输出的数等于（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的结果是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入N=5，k=1，S=0，S=0+=；k＜N，是，k=2，S=+；k＜N，是，k=3，S=++；k＜N，是，k=4，S=+++；k＜N，是，k=5，S=++++，k＜N，否，输出S=++++=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=．故选：D．【点评】本题考查了程序框图与数列求和的应用问题，解题的关键是得出该程序运行后输出的算式是什么，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于

.

参考答案：略12.

设集合,若,且的最大值为9,则的值是

.参考答案：答案：313.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是

.

参考答案：略14.若实数x，y满足x2+2cosy=1．则x﹣cosy的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1+]．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=

．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知可求得cosA，sinB，sinC，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值．解答： 解：因为C=π，sinA=，所以cosA==，由三角形内角和得B=，所以sinB=sin（）=sincosA﹣cossinA==，已知C=，所以sinC=，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，所以c=5，a=，由sinB=，所以b===，故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．16.已知点P是双曲线：右支上一点，C的左、右顶点分别为A、B，C的右焦点为F，记，，当，且时，双曲线C的离心率e=

．参考答案：2由已知得，，则又，则有或（舍）．17.设数列的前项和为，且，则

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．解答： 解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．19.如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD?平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD?平面EDC，CE?平面EDC，∴AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD，同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG?平面BCD，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一点，∴EP?平面EFG，∴EP∥平面BCD．20.（本题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求第四小组的频率；(Ⅱ)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求这两人的成绩在内的人数的分布列及期望.参考答案：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

．…………….4分(Ⅱ)设人数为，x012PEx=．

……………12分21.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；

生二孩不生二孩合计头胎为女孩60

头胎为男孩

合计

200

（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望.附：0.150.050.010.0012.0723.8416.63510.828

（其中）参考答案：（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，【分析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出列联表，计算出的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求的分布列及数学期望.【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为.列联表如下：

生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩455510合计10595200

，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则的可能取值为1，2，3，4.；；；.的分布列为1234

.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.22.如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(Ⅰ)证明CA是△ABC外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

参考答案：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠BCB=∠A，由题设知：=,

故△CDB∽△AEF，所