四川省广安市酉溪中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省广安市酉溪中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则（

）A.30° B.45° C.60° D.75°参考答案：C【分析】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.2.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则的取值范围是(

)A. B.C. D.参考答案：B试题分析：设正方体的棱长为1，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于90°，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.3.在中，。若点D满足=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（

）A． B．C． D．参考答案：C5.已知函数，则不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，p:A、B的体积不相等，q:A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以是的充分条件，另一方面，显然、在等高处的截面积不恒相等，、的体积可能相等，因此不是的必要条件，所以答案选A.7.设，则的图像的一条对称轴的方程是A.

B.

C.

D.

参考答案：B由得，,所以当时，对称轴为，选B.8.函数的图象大致是参考答案：A函数，所以函数图象为A.9.已知且，则复数

A.必为实数

B.必为虚数C.是虚数但不一定是纯虚数

D.可能是实数，也可能是虚数参考答案：A10.已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.【详解】当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[a+2,-a+2],因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],当a≥时，-a+2≤2a,由题得.当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知∠B=45°，,则∠A=

参考答案：75°或15略12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是___________.参考答案：略13.集合，，则等于

.参考答案：14.已知，且，则

参考答案：略15.若实数x、y满足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），则2x+y的最小值为．参考答案：9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可．【解答】解：实数x、y满足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+≥=9，当且仅当x=y=3时，取得最小值．故答案为：9．【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用，考查计算能力．16.在中，角所对的边分别为，已知，则的面积是_____________________;参考答案：【知识点】解三角形．C8

【答案解析】解析：∵a=1，A=60°，c=，∴由余弦定理可得：1=+b2﹣2××b×cos60°∴b2﹣b﹣=0，∴b=，∴=，故答案为：【思路点拨】由余弦定理计算b，再利用三角形的面积公式，可得结论．17.已知函数f（x）=+alnx，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】方法一：由题意可知：当x＞0时，f′（x）＞2恒成立，则a＞2x﹣2x2，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导，由题意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，则a＞h（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：方法一：对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则当x＞0时，f′（x）＞2恒成立f′（x）=x+＞2，在（0，+∞）上恒成立，则a＞2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为g（x）max=1，∴a＞1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．方法二：设g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导g′（x）=f′（x）﹣2，由＞2，则g′（x）=f′（x）﹣2＞0，则f′（x）＞2，即f′（x）=x+≥2，在（0，+∞）上恒成立，则a≥2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为h（x）max=1，∴a≥1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，且。（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.参考答案：解：（1）的定义域为设，则等价于因为，故，而，得;若，则当时，单调递减；当时，单调递增所以是的极小值点，故综上，（2）由（1）知设，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，.因为，所以是的唯一极大值点.由得，故.由得.19.如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角大小的余弦值.参考答案：（1)如图取的中点，连接，依题，所以四边形是平行四边形，所以.因为是中点，所以，故，所以为等边三角形，所以，因为，所以所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平面.(2)由（1)知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以，所以.设平面的法向量，则，令，则，所以.同理可得平面的法向量，所以，所以二面角大小的余弦值为.20.（14分）f(x)是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f()且f(1)=1，在每个区间（i=1，2，…）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。（I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f()（i=1，2，…）的表达式；（II）设直线x=，x=，x轴及y=f(x)的图象围成的梯形的面积为ai

(i=1，2，…)，记S(k)=(a1+a2+…+an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。参考答案：解析：（I）由f(0)=2f(0)，得f(0)=0.

由f(1)=2f()及f(1)=1，得f()=f(1)=.

同理，f()=f()=.

归纳得f()=(i=1，2，…).（II）当<x≤时，f(x)=+k(x-)，ai=[++k(－)](－)

=(1－)(i=1，2，…).所以{an}是首项为(1－)，公比为的等比数列，所以S(k)=(a1+a2+…+an)=(1－).S(k)的定义域为0<k≤1，当k=1时取得最小值.21.已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为（﹣3，4），求点A的坐标．参考答案：【考点】O5：旋转变换．【分析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵，从而得出在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵．再设A（a，b），求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．【解答】解：根据题意知，在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：=，设A（a，b），则由=，得，∴，即A（﹣2，3）．22.如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为，试求的值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BE，设BD交CE于O，只需证明CD⊥AE，BC⊥AE，BC∩CD=C，即可得所以AE⊥平面BCDE（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）设（t＞0），G（x，y，z）由可得，则，易知平面CEG的一个法向量为，求出平面DEG的一个法向量为．利用向量的夹角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，设BD交CE于O，因为△BCD是等腰直角三角形CO⊥BD，所以，又EC=BD，所