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数学（第1册）集合不等式函数三角函数三角计算及其应用复数逻辑代数初步数列平面向量计数原理概率论初步直线二次曲线立体几何全套(共四册)可编辑PPT课件集合第一

章集合的概念第一节集合之间的关系第二节集合的运算第三节逻辑关系第四节目录CONTENTS全称量词与存在量词第五节第一节集合的概念集合和元素一、我们日常生活中的哪些事物可以汇集在一起构成一个集合呢？日常生活中，我们所看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的实物或一些抽象的符号都可以视作对象，由某些指定的对象集在一起所组成的整体就叫作集合，简称集.组成集合的每个对象称为元素.例如，把所有小于10的自然数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各个数都看成对象，所有这些对象汇集在一起就构成了一个集合，其中的每个数即为这个集合中的元素.第一节集合的概念集合一般采用大写英文字母A、B、C、…来表示，它们的元素一般采用小写英文字母a、b、c、…来表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A.一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作.例如方程x-2=x-3的解所组成的集合即为空集，因为这个集合不含任何元素.第一节集合的概念关于集合的概念有如下说明：（1）集合的元素具有确定性，即作为一个集合的元素，必须是确定的.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的.（2）集合的元素具有互异性，即给定一个集合，则集合的元素一定是互不相同的.第一节集合的概念下列语句能否确定一个集合？（1）一切很大的数；（2）方程x2=4的所有解；（3）不等式x-5>0的所有解.解（1）因为很大的数没有具体的标准，“一切很大的数”所指的对象是不确定的，所以不能构成集合.（2）方程x2=4的解为-2和2，是确定的对象，所以可以构成集合.（3）解不等式x-5>0可得x>5，它们是确定的对象，所以可以构成集合.【例1】第一节集合的概念根据集合所含有的元素个数可以将其分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集.例如上述例1中的（2）所构成的集合即为有限集，（3）所构成的集合即为无限集.

在例1的（2）中，集合的元素是-2和2，它们都是方程x2=4的解，像这样，方程的所有解组成的集合叫作这个方程的解集；同样，在例1的（3）中，由不等式的所有解所组成的集合叫作这个不等式的解集.第一节集合的概念由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：所有非负整数所组成的集合叫作自然数集，记作N；所有正整数所组成的集合叫作正整数集，记作N*；所有整数组成的集合叫作整数集，记作Z；所有有理数组成的集合叫作有理数集，记作Q；所有实数组成的集合叫作实数集，记作R.第一节集合的概念课堂练习

1.用符号“∈”或“”填空：（1）-3

N；（2）3.14

Q；（3）π

Q；（4）0.5

Z；（5）1.8

R；（6）-1

N*.2.判断下列语句是否正确：（1）由1，2，4，2构成一个集合，这个集合共有4个元素；（2）方程x2+1=0的所有解组成的集合为空集.第一节集合的概念集合的表示方法二、用列举法表示集合时，一般不考虑元素的排列顺序，如集合{1,2}与集合{2,1}表示的是同一个集合.如何表示一个集合呢？常用的表示方法有列举法和描述法两种.第一节集合的概念列举法1.把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号“｛｝”中用来表示集合，这种方法即为列举法.例如，由小于5的自然数所组成的集合可表示为｛0，1，2，3，4｝；方程x2=4的所有解组成的集合可表示为｛-2，2｝.第一节集合的概念当集合为无限集或元素很多的有限集时，可以在花括号内只写出几个元素，其他用省略号表示即可，但所写出的元素必须能让人明白省略号表示哪些元素.例如，自然数集N为无限集，可表示为｛0，1，2，3，…，n，…｝；不大于100的全体自然数所组成的集合为有限集，可表示为｛0，1，2，3，…，100｝.第一节集合的概念用列举法表示下列集合：（1）大于1小于10的所有偶数组成的集合；（2）方程x2+x-6=0的解集.解（1）大于1小于10的所有偶数有2、4、6、8，它们所组成的集合可表示为｛2，4，6，8｝.（2）解方程x2+x-6=0得x1=-3，x2=2，所以该方程的解集为｛-3，2｝.【例2】第一节集合的概念课堂练习用列举法表示下列集合：（1）小于10的正奇数组成的集合；（2）我国古代四大发明组成的集合；（3）大于2小于8的自然数组成的集合.第一节集合的概念描述法2.有的集合用列举法表示起来是很不方便的，如“由大于2的所有实数组成的集合”，大于2的实数有无穷多个，显然无法用列举法将该集合的元素一一列出，此时用描述法来表示该集合则比较方便.

把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫作描述法.例如上述“由大于2的所有实数组成的集合”，可以看出该集合的元素都具有如下性质：都是实数，都大于2.因此，该集合可用描述法表示为

｛x︱x>2，x∈R｝.第一节集合的概念花括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任意一个元素，元素x从实数集R中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.

如果从上下文可以明显看出集合的元素为实数，则x∈R也可以省略不写，如上述的集合可表示为

｛x︱x>2｝.第一节集合的概念由第一象限所有的点组成的集合怎么表示？想一想第一节集合的概念用描述法表示下列集合：（1）｛-3，3｝；（2）大于3的全体偶数构成的集合；（3）不等式10x+1≥0的解集.解（1）该集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于3的实数，即︱x︱=3，所以这个集合可表示为｛x︱︱x︱=3｝.（2）该集合的一个性质可描述为x>3，且x=2k，k∈N，所以这个集合可以表示为｛x︱x>3，且x=2k，k∈N｝.【例3】第一节集合的概念用列举法表示集合可以明确地看到集合的每个元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在具体的应用中要根据实际情况灵活选用.第一节集合的概念课堂练习用描述法表示下列集合：(1)方程3x-5=0的组成的集合；(2)绝对值大于7的实数组成的集合；(3)全体奇数组成的集合.第二节集合之间的关系子集一、观察下列集合：（1）A=｛2，4，6｝，B=｛2，4，6，8｝；（2）A=｛x︱x是长方形｝，B=｛x︱x是平行四边形｝.可以看出，上述集合A中的任意一个元素都是集合B的元素.一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫作集合B的子集，记作A

B或B

A，读作“A包含于B”或“B包含A”.第二节集合之间的关系由上述子集的定义可知，任意一个集合A都是它自身的子集，即A

A.

规定：空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有ØA.

如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作A≦B或B≦A，第二节集合之间的关系符号“∈”与符号“”表达的含义相同吗？有什么区别？思考与讨论第二节集合之间的关系读作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用图1-1所示图形来直观地表示.图1-1第二节集合之间的关系写出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集.分析集合A中共有三个元素，要想一字不漏地写出其所有的子集，可按以下步骤来写：（1）因为空集是所有集合的子集，所以首先写出Ø；（2）写出由一个元素组成的子集，即｛1｝，｛2｝，｛3｝；（3）写出由两个元素组成的子集，即｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝；（4）写出由三个元素组成的子集，即｛1，2，3｝.

【例1】第二节集合之间的关系解

集合A的所有子集为Ø，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝.在上述子集中除了集合A本身，即｛1，2，3｝，其余的全为集合A的真子集.第二节集合之间的关系课堂练习1.用符号“”“”“∈”或“”填空：（1）N

Q；（2）{2，3}

{2}；（3）{a,b}

{c,d};(4){0}

Ø.2.设集合A表示{x|x<6},集合B表示{x|x<0},指出集合A与集合B之间的关系.第二节集合之间的关系集合的相等二、观察集合A=｛1，2，3｝，B=｛x︱0<x<4，x∈N｝，可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是两个集合的表达方式不同.集合A={x︱x∈B

}与集合B相等吗？一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，或者集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.第二节集合之间的关系判断下列各组集合的关系：（1）A=｛2，3｝，B=｛1，2，3，4，5｝；（2）M=｛-3，3｝，N=｛x︱x2-9=0｝.解（1）A≦B.（2）由x2-9=0解得x1=3，x2=-3，所以集合N用列举法表示为｛-3，3｝，则可看出这两个集合相等，即M=N.【例2】第二节集合之间的关系课堂练习（1）{1，3，5}

{1，2，3，4，5}；（2）{x|x2=9}

{-3,3}；(3)a

{a};（4）{2，4，6}

{4，6}.第三节集合的运算过去我们只对数或式子进行算术运算或代数运算，那么集合与集合之间可以进行运算吗？

由两个已知的集合按照某种指定的法则构造出一个新的集合即为集合的运算.第三节集合的运算交集一、观察集合：两个非空集合的交集可能是空集吗？试举例说明.A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝，可以看出，集合C的元素恰好是集合A与集合B的所有共同元素.一般地，像上述那样，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有共同元素构成的集合叫作集合A与B的交集，记作A∩B，第三节集合的运算读作“A交B”，可用图1-2所示的阴影部分来形象地表示.图1-2第三节集合的运算已知A=｛-1，0，1，2，3｝，B=｛1，3，5，7｝，求A∩B.解A∩B=｛1，3｝，可用图1-3来表示.【例1】图1-3第三节集合的运算已知A=｛x︱x是等腰三角形｝，B=｛x︱x是直角三角形｝，求A∩B.解A∩B=｛x︱x是等腰三角形｝∩｛x︱x是直角三角形｝=｛x︱x是等腰直角三角形｝.由交集的定义可知，对于任意两个集合A、B，都有A∩B=B∩A；A∩A=A，A∩Ø=Ø；

A∩BA，A∩BB.

【例2】第三节集合的运算课堂练习求下列每组集合的交集：（1）A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3，4，5，6｝；（2）P=｛1，3，5｝，Q=｛2，4，6｝.第三节集合的运算已知A=｛x︱-2<x≤1｝，B=｛x︱0<x<4｝，求A∩B.分析集合A、B是用描述法表示的集合，并且集合的元素没法一一列举出来，因此可以结合数轴来进行解题.解在数轴上表示集合A、B，如图1-4所示.从图中易看出，阴影部分即为集合A、B的交集，即A∩B=｛x︱-2<x≤1｝∩｛x︱0<x<4｝=｛x︱0<x≤1｝.【例3】图1-4第三节集合的运算已知A=｛（x，y）︱4x+y=6｝，B=｛（x，y）︱x+y=3｝，求A∩B.分析集合A、B的元素是有序实数对（x，y），A、B的交集就是二元一次方程组4x+y=6x+y=3的解集.解解方程组4x+y=6x+y=3得x=1，y=2.所以A∩B=｛（x，y）︱4x+y=6｝∩｛（x，y）︱x+y=3｝=（x，y）4x+y=6x+y=3=｛（1，2）｝.【例4】第三节集合的运算例4中集合A、B的交集｛（1，2）｝能否写成｛1，2｝？有什么区别呢？思考与讨论第三节集合的运算并集二、观察下面三个集合：M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝，可以看出，集合P是集合M与集合N的所有元素组成的.

一般地，像上述那样，对于两个给定的集合A、B，由集合A和集合B的所有元素组成的集合叫作集合A和集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.第三节集合的运算例如，集合A=｛-2，0，2｝与B=｛0，3，5｝的并集为A∪B=｛-2，0，2｝∪｛0，3，5｝=｛-2，0，2，3，5｝.由并集的定义可知，对于任意两个集合A、B，都有A∪B=B∪A；A∪A=A，A∪Ø=A；A

A∪B，B

A∪B.第三节集合的运算在求并集时，两个集合中相同的元素只列举一次，不能重复列举.学习提示第三节集合的运算集合A和集合B的并集可以用图1-5中阴影部分来表示.图1-5第三节集合的运算已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B.

解A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝.【例5】第三节集合的运算已知A=｛x︱-1<x≤2｝，B=｛x︱0<x≤3｝，求A∪B.分析本题结合数轴进行解题比较直观.解将集合A和集合B在数轴上表示出来，如图1-6所示：则可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3｝.【例6】图1-6第三节集合的运算课堂练习1.设集合A={a,b,c,d,e}，B={f,g}，求A∪B.2.设集合A={-2，2}，B={-5,4}，求A∪B.第三节集合的运算补集三、在研究集合与集合的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示.例如，在研究数集时，常常把实数集R作为全集.如果给定某一集合A是全集U的一个子集，则U中不属于A的所有元素组成的集合叫作A在全集U中的补集，记作第三节集合的运算如果全集U为实数集R，则集合A在U中的补集也可写成CA.学习提示第三节集合的运算读作“A在U中的补集”，即

UA=｛x︱x∈U且x∈A｝.用图形表示集合时，通常用矩形区域表示全集.全集U与它的任意一个真子集A之间的关系可用图1-7来表示，其中阴影部分表示A在U中的补集.由补集的定义可知，对于任意集合A，都有图1-7第三节集合的运算【例7】第三节集合的运算【例8】第三节集合的运算课堂练习1.设U={不大于5的自然数}，A={1，3，4}，求CUA.2.设U={-3，15}，A={-1，3}，求CA.第四节逻辑关系命题一、用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题.其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.例如：(1)1+1=2;(2)河北的省会是石家庄；（3）所有的自然数都大于0；（4）Ø={0}.这些语句都是命题，其中（1）、（2）是真命题，（3）、（4）是假命题.第四节逻辑关系又如：1+1=2吗？姚明长得真高！请不要迟到.这些语句都不是命题，因为疑问句、感叹句和祈使句都不可以判断真假，不满足命题的定义.为方便起见，常用大写字母P,Q,R等作为命题的记号.第四节逻辑关系课堂练习指出下面语句哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，请指出其真假：（1）我国四大发明不包括造纸术；（2）42不能被3整除；（3）5是偶数；（4）请你现在来一下办公室.第四节逻辑关系四种命题二、原命题和逆命题1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．例如，将命题“若a=b，则a2=b2”的条件和结论互换，就得到它的逆命题“若a2=b2，则a=b”．第四节逻辑关系否命题2.如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题称为互否命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个称为原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若非p，则非q”．为书写简便，常将否命题记为“若p，则q”．例如，如果原命题是“若a=b，则a2=b2”，那么它的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”．第四节逻辑关系如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题和逆否命题是真命题吗？想一想第四节逻辑关系逆否命题3.如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题称为互为逆否命题．如果把其中的一个命题称为原命题，那么另一个称为原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若非q，则非p”．同理，常将逆否命题记为“若q，则p”．第四节逻辑关系例如，如果原命题是“若a=b，则a2=b2”，那么它的逆否命题是“若a2≠b2，则a≠b”．综上可知，设命题“若p，则q”为原命题，那么命题“若q，则p”是原命题的逆命题；命题“若p，则q”是原命题的否命题；命题“若q，则p”是原命题的逆否命题．第四节逻辑关系四种命题间的相互关系4.原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的相互关系如图1-9所示．图1-9第四节逻辑关系一般地，四种命题的真假性之间具有如下关系：如果两个命题互为逆否命题，那么它们具有相同的真假性(即同为真命题或同为假命题)；如果两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．例如，在以下四个命题中，若设命题(1)是原命题，显然命题(2)、(3)、(4)分别是它的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若a，b都是偶数，则a+b是偶数；(2)若a+b是偶数，则a，b都是偶数；(3)若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数；(4)若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数．第四节逻辑关系此外，我们发现，命题(2)、(3)互为逆否命题，命题(2)、(4)为互否命题，命题(3)、(4)为互逆命题．不难判断，原命题(1)是真命题，它的逆命题(2)是假命题，它的否命题(3)是假命题，而它的逆否命题(4)是真命题．总结而言，命题(1)、(4)互为逆否命题，它们同为真命题；命题(2)、(3)互为逆否命题，它们同为假命题；其他两两命题的真假性之间没有关系．第四节逻辑关系下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?(1)矩形的对角线相等；(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?(3)对角线互相垂直的四边形是菱形；(4)两个全等三角形的面积相等；(5)若方程x2+a=0无实根，则a≥0；(6)x>13．【例1】第四节逻辑关系分析判断一个语句是不是命题，要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．解上面6个语句中，(2)不是陈述句，所以它不是命题；(6)虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以也不是命题；其余4个都是陈述句，而且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)、(4)是真命题，(3)、(5)是假命题．第四节逻辑关系写出命题“若xy=0，则x=0或y=0”的逆命题、否命题和逆否命题．解原命题：若xy=0，则x=0或y=0.逆命题：若x=0或y=0，则xy=0.否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0．【例2】第四节逻辑关系将下列命题改写成“若p，则q”的形式，同时写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．(1)负数的立方是负数；(2)个位上数字为0的整数能被5整除.解(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则这个数的立方是负数．逆命题：若一个数的立方是负数，则这个数是负数.否命题：若一个数不是负数，则这个数的立方不是负数.逆否命题：若一个数的立方不是负数，则这个数不是负数．原命题、逆命题、否命题和逆否命题均是真命题．【例3】第四节逻辑关系(2)原命题可以改写成：若一个整数的个位上数字为0，则它能被5整除．逆命题：若一个整数能被5整除，则它的个位上数字为0.否命题：若一个整数的个位上数字不为0，则它不能被5整除.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则它的个位上数字不为0．原命题和逆否命题是真命题，逆命题和否命题是假命题．第四节逻辑关系课堂练习

1．下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?(1)(-3)2=3；(2)x2-1=0；(3)1+1>2；(4)等边三角形不是等腰三角形；(5)201450是个大数；(6)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等．第四节逻辑关系2．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断它们的真假：(1)若x，y互为倒数，则xy=1；(2)若一个数是负数，则它的平方是正数；(3)若a>6，则ac2>bc2．3．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)若｜x｜=｜y｜，则x=y；(2)若x=2，则x2=4；(3)若x2+y2≠0，则x，y不全为0．第四节逻辑关系逻辑联结词三、在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”，来联结两个命题，以构成一个新的命题.下面介绍逻辑联结词“且”“或”“非”的含义和用法.为叙述方便，通常用小写字母p,q,r,s,…表示命题.第四节逻辑关系且（and）1.一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.例如，在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）、（2）使用联结词“且”联结而得到的新命题.（1）10能被2整除；（2）10能被5整除；（3）10能被2整除且能被5整除.第四节逻辑关系我们规定：当p,q都是真命题时，p∧q是真命题；当p,q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.在上述三个命题中，命题（1）、（2）都是真命题，所以命题（3）是真命题.第四节逻辑关系或（or）2.一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.例如，在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）、（2）使用联结词“或”联结而得到的新命题.（1）21是4的倍数；（2）21是7的倍数；（3）21是4的倍数或是7的倍数.第四节逻辑关系如果p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？想一想第四节逻辑关系我们规定：当p,q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p,q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.在上述三个命题中，命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，所以命题（3）是真命题.第四节逻辑关系非（not）3.一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”.例如，在下列两个命题中，命题（2）是命题（1）的否定.（1）正方形是矩形；（2）正方形不是矩形.显然，若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题.在上述两个命题中，命题（1）是真命题，命题（2）是假命题.第四节逻辑关系用逻辑联结词“且”联结或改写下列命题，并判断它们的真假：（1）p:矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（2）p：15是3的倍数，q：15是10的倍数；（3）1既是奇数，又是质数；（4）12能被2和3整除.解（1）p∧q：矩形的对角线相等且互相平分.由于p是真命题，q是真命题，所以p∧q是真命题.【例4】第四节逻辑关系（2）p∧q：15是3的倍数且是10的倍数.由于p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.（3）命题“1既是奇数，又是质数”可以改写为“1是奇数且1是质数”.因为“1是奇数”是真命题，“1是质数”是假命题，所以这个命题是假命题.（4）命题“12能被2和3整除”可以改写为“12能被2整除且12能被3整除”.因为“12能被2整除”与“12能被3整除”都是真命题，所以这个命题是真命题.第四节逻辑关系命题的否定与否定命题有什么区别？想一想第四节逻辑关系充分条件和必要条件四、观察下列推论是否成立：

（a）x=2，则x2=4；

（b）xy=0，则x=0.

显然，由（a）中的“x=2”则一定能推断出“x2=4”；由（b）中的“xy=0”则不能推断出“x=0”，因为有可能y=0.

像上述那样，已知条件p和结论q：

（1）如果由条件p成立可推出结论q成立，则说条件p是结论q的充分条件，记作“p=q”.上述（a）中，条件p：x=2，结论q：x2=4，即“x=2”是“x2=4”的充分条件.第四节逻辑关系若p:x=y,q:x2=y2，则p是q的充要条件，这种说法对吗？想一想第四节逻辑关系（2）如果由结论q成立可推出条件p成立，则说条件p是结论q的必要条件，记作“q=p（或p=q）”.上述（b）中，条件p：xy=0，结论q：x=0，即“xy=0”是“x=0”的必要条件.

如果p=q，且p=q，那么p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作“p=q”.第四节逻辑关系指出下列各组中的条件p是结论q的什么条件：（1）p：x=3，q：（x-1）（x-3）=0；（2）p：x>1，q：x>3；（3）p：x=y，q：（x-y）2=0.解（1）由条件x=3成立能够推出结论（x-1）（x-3）=0成立，因此p是q的充分条件；而由结论（x-1）（x-3）=0成立则不能够推出条件x=3成立，因为当x=1时（x-1）（x-3）=0也成立，所以p不是q的必要条件.

【例7】第四节逻辑关系（2）由条件x>1成立不能推出结论x>3成立，如x=2时，2>1但2<3，因此p不是q的充分条件；而由结论x>3成立则能够推出条件x>1成立，所以p是q的必要条件.（3）由条件x=y成立能够推出结论（x-y）2=0成立，而由结论（x-y）2=0成立也能够推出条件x=y成立，因此p是q的充要条件.第四节逻辑关系课堂练习指出下列各组中条件p是结论q的什么条件：（1）p：x=-1，q：|x|=1；(2)p：x>5，q：x>0；(3)p：x=0，q：xy=0；(4)p：x2=4，q：x-7=0.第五节全称量词与存在量词全称量词一、观察下面的语句：（1）x<5;(2)3x+2是整数；(3)对所有的x∈R，x<5；(4)对任意一个x∈Z，3x+2是整数．不难发现，语句(1)、(2)无法判断真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)、(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)、(4)是命题．第五节全称量词与存在量词“对所有的”“对任意一个”等短语在逻辑中通常称为全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，称为全称命题．例如，命题“所有的等边三角形都相似”“对任意的k∈Z，2k是偶数”都是全称命题．一般地，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为

x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．第五节全称量词与存在量词存在量词二、观察下面的语句：(1)2x-3=1；(2)x能被3和5整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0-3=1;(4)至少有一个x0∈Z，x0能被3和5整除．容易判断，语句(1)、(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)、(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)、(4)是命题．第五节全称量词与存在量词“三角形的内角和为180°”是全称命题还是特称命题？想一想第五节全称量词与存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常称为存在量词，并用符号“϶”表示．含有存在量词的命题，称为特称命题．例如，命题“有一个质数是偶数”“有的平行四边形是矩形”都是特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(xo)成立”可用符号简记为

x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．第五节全称量词与存在量词含有一个量词的命题的否定三、含有一个量词的全称命题的否定1.写出下列命题的否定：(1)所有的菱形都是平行四边形；(2)每一个质数都是奇数；(3)

x∈R，x2-x+1>0．易知，上面三个命题都是全称命题，即符合形式“x∈M，p(x)”．命题(1)的否定是“并非所有的菱形都是平行四边形”，也就是说：存在一个菱形不是平行四边形；第五节全称量词与存在量词命题(2)的否定是“并非每一个质数都是奇数”，也就是说：存在一个质数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x2-x+1>0”，也就是说：϶x0∈R，x20-x0+1≤0．从命题形式看，这三个全称命题的否定都变成了特称命题．一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：对于全称命题p：

x∈M，p(x)，它的否定p为：϶x0∈M，p(x0)，全称命题的否定是特称命题．第五节全称量词与存在量词含有一个量词的特称命题的否定2.写出下列命题的否定：(1)有些整数的绝对值是正数；(2)某些矩形是正方形；(3)϶x0∈R，x20+1<1．易知，上面三个命题都是特称命题，即符合形式“϶x0∈M，p(x0)”．命题(1)的否定是“不存在一个整数，它的绝对值是正数”，也就是说：所有整数的绝对值都不是正数；第五节全称量词与存在量词命题(3)的否定是“不存在x0∈R，x20+1<1”，也就是说：

x∈R，x2+1≥1．从命题形式看，这一个特称命题的否定都变成了全称命题．一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：对于特称命题p：϶x0∈M，p(x0)，它的否定p为：

x∈M，p(x)．特称命题的否定是全称命题．第五节全称量词与存在量词判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假：(1)所有的三角形都是直角三角形；(2)有些实数小于零；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；(4)有一个实数x0，使x20+4x0+7=0．

【例1】第五节全称量词与存在量词解(1)该命题是全称命题．等边三角形不是直角三角形，因此它是假命题．(2)该命题是特称命题．存在实数-1小于零，因此它是真命题．(3)该命题是全称命题．2是无理数，但(2)2=2是有理数，因此它是假命题．(4)该命题是特称命题．由于x∈R，x2+4x+7=(x+2)2+3≥3,因此使x2+4x+7=0的实数x不存在，所以它是假命题．第五节全称量词与存在量词判断下列命题的真假：(1)x∈N，x2≥2x；(2)所有的质数是奇数;(3)϶x0∈Q，x20=5;(4)有些整数只有两个正因数．

【例2】第五节全称量词与存在量词解(1)因为x=1时，x2≥2x不成立，所以“x∈N，x2≥2x”是假命题．(2)因为2是质数，但2不是奇数，所以“所有的质数是奇数”是假命题．

(3)因为使x20=5成立的数只有x0=5和x0=-5，而它们都不是有理数，所以“϶x0∈Q，x20=5”是假命题．(4)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以“有些整数只有两个正因数”是真命题．第五节全称量词与存在量词写出下列命题的否定：(1)所有的自然数都是正数；(2)有的三角形是等腰三角形；(3)所有能被3整除的整数都是奇数；(4)϶x0∈R，x20+2x0+3<0．【例3】第五节全称量词与存在量词解(1)该命题的否定是“存在一个自然数不是正数”．(2)该命题的否定是“所有三角形都不是等腰三角形”．(3)该命题的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”．(4)该命题的否定是“x∈R，x2+2x+3≥0”．阅读材料

维恩与维恩图著名教育家苏霍姆林斯基说过“直观是认识的途径，是照亮认识途径的光辉”，数学中的直观往往有助于人们对抽象概念的理解.“集合”是一种抽象的概念，用图形来表示集合则可以有助于大家更直观地理解一些集合问题.阅读材料1880年，英国数学家维恩在《论命题和推理的图表化和机械化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题（如图1-11所示），这种图形即为维恩图.这一表示方法，让逻辑学家无比激动，以致19世纪后期、整个20世纪直到今天，还有许许多多的逻辑学家都对此潜心钻研.在大量逻辑学著作中，维恩图占据着十分重要的位置，而且维恩图还被应用于数学学科中，尤其是被应用于集合论当中.阅读材料图1-11阅读材料维恩图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系，在本章的运用中已经有所体现．用维恩图解一些有关集合的问题常常可以得到意料之外的效果.例如，判断：所有勤奋的学生都爱学习，有些爱学习的学生视力不好，那么有些勤奋的学生视力不好.我们可以令：A=｛爱学习的学生｝，B=｛勤奋的学生｝，C=｛视力不好的学生｝，阅读材料上述判断中A、B、C之间的关系有三种可能，用维恩图表示如图1-12中的（a）、（b）、（c）所示：图1-12阅读材料从图中可以很直观地看出，如果A、B、C之间的关系如图1-12（a）中的情形，则上述判断中的结论“那么有些勤奋的学生视力不好”是不正确的，因为“B=｛勤奋的学生｝”与“C=｛视力不好的学生｝”没有重叠交叉的部分.利用维恩图可以帮助我们形象而又简捷地解决问题，因此，同学们要逐步形成利用维恩图解题的意识，提高自己解决问题的能力．感谢聆听批评指导数学（第1册）不等式第二

章不等式的概念与性质第一节区间第二节一元二次不等式及解法第三节分式不等式和绝对值不等式第四节目录CONTENTS线性规划的有关概念第五节二元线性规划问题的解法第六节第一节不等式的概念与性质不等式的概念一、用等号(=)连接两个代数式所成的式子称之为等式，比如2+3=5，2x+1=3等都是等式.那么什么是不等式呢?很明显，用不等号(>，≥，<，≤，≠)连接两个代数式所成的式子叫作不等式.比如5+2<8，3x-1>4，4a-2≠6等都是不等式.第一节不等式的概念与性质用不等式表示下列关系：(1)x与2的和大于3；(2)实数a乘以b小于等于5；(3)任意一个实数a的平方为非负数.解(1)x+2>3；(2)ab≤5；(3)a2≥0.

【例1】第一节不等式的概念与性质比较3x2-2x+5与3x2-2x-1的大小.解∵(3x2-2x+5)-(3x2-2x-1)=6>0∴3x2-2x+5>3x2-2x-1.【例2】第一节不等式的概念与性质课堂练习

1.用不等式比较下列关系：（1）a与2的差比它的3倍大；（2）实数a和实数b的平方和不小于它们的乘积的2倍；（3）设三角形的三边长分别为a,b,c，任意两边之和大于第三边.2.比较x2-3x+4与x2-3x-6的大小.第一节不等式的概念与性质实数大小的比较二、如果没有任何度量工具，怎么才能知道高矮差不多的两个同学的身高之间的不等关系呢？我们一般采用的比较方法是让这两个同学背靠背地站在同一高度的地面上，这时两个同学谁高谁低一看便知.在数学中，我们比较两个实数的大小，只要考察它们的差即可.对于任意两个实数a、b，有a-b＞0=a＞b ；a-b＜0=a＜b；a-b=0=a=b.第一节不等式的概念与性质已知实数a、b，且a＞b＞0，试比较a2b与ab2的大小.思考与讨论第一节不等式的概念与性质课堂练习第一节不等式的概念与性质不等式的基本性质三、在初中我们已经学习了不等式的三条基本性质，本小节将进一步阐述并证明不等式的基本性质.性质1如果a＞b，且b＞c，则a＞c.证明a＞b=a-b＞0，b＞c=b-c＞0，因此，根据两正数之和为正数得（a-b）+（b-c）＞0，即a-c＞0，所以a＞c.性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.第一节不等式的概念与性质性质2如果a＞b，则a+c＞b+c.证明

因为a＞b，所以a-b＞0.又因为（a+c）-（b+c）=a-b＞0，所以a+c＞b+c.性质2表明，不等式两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变，因此将性质2称为不等式的加法性质.第一节不等式的概念与性质性质3怎么证明呢？想一想第一节不等式的概念与性质性质3如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.

性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变.因此将性质3称为不等式的乘法性质.第一节不等式的概念与性质用“＞”或“＜”填空，并指出应用了不等式的哪条性质：（1）已知a＜b，则a+3

b+3；（2）已知a＞b，则2a

2b；（3）已知a＞b，则-2a

-2b.解（1）a+3＜b+3，应用了不等式的性质2.（2）2a＞2b，应用了不等式的性质3.（3）-2a＜-2b，应用了不等式的性质3.

【例4】第二节区间区间是数集的一种表示形式，其表示形式与集合的表示形式相同.第二节区间有限区间一、我们知道，实数集是与数轴上的点集一一对应的，如集合｛x︱1＜x＜3｝可以在数轴上表示如图2-1所示.图2-1第二节区间由数轴上两点之间的所有实数所组成的集合叫作区间，这两个点叫作区间端点.不含端点的区间叫作开区间，如图2-1中，集合｛x︱1＜x＜3｝即表示的是开区间，记作（1，3）.其中1表示区间的左端点，3表示区间的右端点.在数轴上表示区间时，开区间的两个端点用空心点表示（见图2-1）.第二节区间含有两个端点的区间叫作闭区间，如图2-2中，集合｛x︱1≤x≤3｝表示的区间即为闭区间，记作［1，3］.在数轴上表示闭区间时，其两个端点用实心点表示.图2-2第二节区间只含左端点的区间叫作右半开区间，如集合｛x︱1≤x＜3｝表示的区间即为右半开区间，记作［1，3）；只含右端点的区间叫作左半开区间，如集合｛x︱1＜x≤3｝表示的区间即为左半开区间，记作（1，3］.第二节区间已知集合A=（0，3），B=［1，5），求A∪B，A∩B.解集合A、B用数轴表示如图2-3所示，由图可看出A∪B=（0，5），A∩B=［1，3）.

【例1】图2-3第二节区间课堂练习已知集合A=［-1，3），B=(0，5），求A∪B，A∩B.第二节区间无限区间二、集合｛x︱x＞3｝可在数轴上表示如图2-4所示.图2-4“+∞”与“-∞”只是符号，而不是表示具体的数.学习提示第二节区间将实数集R看成一个大区间，怎么用区间来表示呢？表示出的是闭区间还是开区间？想一想第二节区间由图2-4可以看出，集合｛x︱x＞3｝表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可将其记作（3，+∞），其中“+∞”读作“正无穷大”，表示右端点可以没有具体的数，可以任意大.同样，集合｛x︱x＜3｝表示的区间可记作（-∞，3），其中“-∞”读作“负无穷大”.第二节区间集合｛x︱x≥3｝表示的区间为［3，+∞），是右半开区间；集合｛x︱x≤3｝表示的区间为（-∞，3］，是左半开区间.由上可以看出，一般可以用区间来表示的集合用区间表示会更方便.第二节区间已知全集为实数集R，集合A=（-∞，4），B=［1，6），求：（1）A∪B，A∩B；（2）A，B；（3）B∩A.解集合A、B在数轴上表示如图2-5所示.

【例2】图2-5第二节区间课堂练习1.已知集合A=（-∞，2］，B=（-∞，4），求A∩B，A∩B.2.设全集为R，集合A=（0，3］，B=（2，+∞），求（1）CA，CB；（2）A∩CB.第三节一元二次不等式及解法观察下面两个不等式：（1）x2-2x+1＞0；（2）x2-3x+10≤0.可以看出，这两个不等式的共同特点是：（1）都只含一个未知数x；（2）未知数x的最高次数都是2.

一般地，像上述那样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫作一元二次不等式，它的一般形式为ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c为常数，且a≠0.第三节一元二次不等式及解法上述一元二次不等式的一般形式的左边恰好是自变量为x的一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式.下面我们将通过实例来研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的函数、方程之间的关系.例如，求不等式x2-x-2＞0与x2-x-2＜0的解集.

首先，解方程x2-x-2=0得x1=-1，x2=2.第三节一元二次不等式及解法然后，画出函数y=x2-x-2图像，如图2-6所示.图2-6第三节一元二次不等式及解法由图2-6可看出：（1）函数y=x2-x-2的图像与x轴的交点为（-1，0）和（2，0），这两点的横坐标恰好是方程x2-x-2=0的两个解；（2）当x=-1或x=2时，函数图像与x轴相交，y=0；（3）当-1＜x＜2时，函数图像位于x轴下方，y＜0；（4）当x＜-1或x＞2时，函数图像位于x轴上方，y＞0.第三节一元二次不等式及解法第三节一元二次不等式及解法第三节一元二次不等式及解法由上可知，可以利用一元二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图像来解一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0，一般可分为如下三种情况：（ⅰ）当方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根x1、x2（x1＜x2），此时函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图像与x轴有两个交点，即（x1，0）、（x2，0），如图2-8（a）所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-∞，x1）∪（x2，+∞）;不等式ax2+bx+c＜0的解集为（x1，x2）.第三节一元二次不等式及解法如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即a＜0，则可以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以-1，使其二次项系数化为正数，然后再求解.学习提示第三节一元二次不等式及解法（ⅱ）当方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根，此时函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图像与x轴没有交点，如图2-8（b)所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为实数集R，不等式ax2+bx+c＜0的解集为Ø.图2-8第三节一元二次不等式及解法（ⅲ）当方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根x0，此时函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图像与x轴只有一个交点，即（x0，0），如图2-8(c)所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-∞，x0）∪（x0，+∞），不等式ax2+bx+c＜0的解集为Ø.第三节一元二次不等式及解法不等式x2+x-2≥0的解集是什么？不等式x2+x-2≤0的解集是什么？想一想第三节一元二次不等式及解法解下列一元二次不等式：（1）x2+x-2＞0；（2）x2+x-2＜0.解方程x2+x-2=0的判别式为Δ=12-4×1×（-2）=9＞0，解方程得x1=-2，x2=1.（1）不等式x2+x-2＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）；（2）不等式x2+x-2＜0的解集为（-2，1）.

【例1】第三节一元二次不等式及解法不等式-x2-3x-5≥0的解集与不等式x2+3x+5≤0的解集有什么区别？思考与讨论第三节一元二次不等式及解法课堂练习1.解下列一元二次不等式.（1）x2-x≥0；（2）x2-3x+2>0.2.当x为何值时，6+x-x2有意义.第四节分式不等式和绝对值不等式分式不等式一、第四节分式不等式和绝对值不等式【例1】第四节分式不等式和绝对值不等式课堂练习第四节分式不等式和绝对值不等式绝对值不等式二、在初中我们已经学过，对任意实数x，都有︱x︱≥0，且有︱x︱的几何意义是在数轴上表示实数x的点到原点的距离.

绝对值符号内含有未知数的不等式叫作含绝对值的不等式.第四节分式不等式和绝对值不等式︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式1.根据绝对值的几何意义，不等式︱x︱＞1表示的是数轴上到原点的距离大于1的所有点的集合，在数轴上表示如图2-9（a）所示；︱x︱＜1表示的是数轴上到原点的距离小于1的所有点的集合，在数轴上表示如图2-9（b）所示.图2-9第四节分式不等式和绝对值不等式由图2-9（a）可看出，不等式︱x︱＞1的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；由图2-9（b）可看出，不等式︱x︱＜1的解集为（-1，1）.一般地，不等式︱x︱＞a（a＞0）的解集为（-∞，-a）∪（a，+∞），不等式︱x︱＜a（a＞0）的解集为（-a，a）.第四节分式不等式和绝对值不等式【例3】第四节分式不等式和绝对值不等式课堂练习解下列不等式：（1）1-︱x︱≤0；（2）3︱x︱-2≥0.第四节分式不等式和绝对值不等式︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式2.对于︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式可以转化为︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型来求解.例如，解不等式︱2x+1︱＜1，可先设2x+1=m，则不等式︱2x+1︱＜1可化为︱m︱＜1，可解得-1<m<1，即-1<2x+1<1，根据不等式的性质可得-1<x<0，第四节分式不等式和绝对值不等式则原不等式︱2x+1︱＜1的解集为（-1，0）.像上述那样，将︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式转化为︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式来求解的方法称为“变量替换法”或“换元法”，即用新的简单的变量（如上述的“m”）来替换原来的变量（如上述的“2x+1”），从而将复杂的问题简单化.在实际的运算过程中，变量替换的过程可以省略不写.第四节分式不等式和绝对值不等式不等式︱2-x︱＞5的解集与不等式︱x-2︱＞5的解集一样吗？想一想第四节分式不等式和绝对值不等式解不等式︱2-x︱＞5.解由原不等式可得2-x＞5或2-x＜-5，解得x＜-3或x＞7，所以不等式︱2-x︱＞5的解集为（-∞，-3）∪（7，+∞）.

【例4】第四节分式不等式和绝对值不等式【例5】第四节分式不等式和绝对值不等式课堂练习解下列各不等式：（1）|2x+7|>1；（2）2≤|1-x|.第五节线性规划的有关概念线性规划是运筹学中研究最早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支.它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，而提高经济效益一般通过两种途径：一是技术方面的改进，如改善生产工艺、使用新设备和新型原材料等；二是生产组织与计划的改进，即合理分配人力、物力、财力等资源.第五节线性规划的有关概念引例1某工厂需要生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要A原料和B原料.已知每一件甲产品需要A原料10kg和B原料15kg，每一件乙产品需要A原料12kg和B原料8kg.现在该工厂共有A原料300kg和B原料250kg，见表2-2.甲产品获利200元，乙产品获利150元，则该工厂生产甲、乙产品各多少件时才能保证利润最大？第五节线性规划的有关概念分析

设该工厂生产甲产品x件，乙产品y件，可获利润为Z元，则Z=200x+150y.（1）由于生产一件甲产品需要A原料10kg，生产一件乙产品需要A原料12kg，而该工厂共有A原料300kg，这是一个限制产量的条件，因此在确定甲、乙产品的产量时，必须考虑A原料的用量不能超过该工厂的总量，即可用不等式表示为10x+12y≤300.（2）第五节线性规划的有关概念同理，由于生产一件甲产品需要B原料15kg，生产一件乙产品需要B原料8kg，而该工厂共有B原料250kg，可以用不等式表示为15x+8y≤250.（3）又由于产品的产量x,y不可能为负数，且都是产品的件数，所以x≥0,y≥0，且x,y都为整数.（4）第五节线性规划的有关概念因此，问题变为怎样选择x,y，在满足上述一系列限制条件下，使得利润Z取得最大值，即满足10x+12y≤300,15x+8y≤250,x≥0,y≥0,且x,y为整数

（5）的x,y，使得利润Z=200x+150y取得最大值.这个最大值通常记为maxZ=200x+150y.第五节线性规划的有关概念引例1中，甲、乙产品的生产量x,y称为决策变量.式（5）中的几个不等式称为约束条件.由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件.Z关于x,y的函数式（1）称为目标函数.一般地，制约变量取值的关于x,y的二元一次不等式组称为线性约束条件.函数式（1）就是引例1中的目标函数，不等式组（5）就是引例1的线性约束条件，则引例1就是求目标函数Z=200x+150y在线性约束条件（5）下的最大值问题.满足线性约束条件（5）的变量x,y的值有许多组.例如，x=1,y=2和x=3,y=5就是两组解.第五节线性规划的有关概念

max表示最大的意思，是英文maximum的缩写.学习提示第五节线性规划的有关概念第五节线性规划的有关概念引例2某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A,B,C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数见表2-3.第五节线性规划的有关概念某顾客需要A,B,C三种规格的成品分