数列高考大题的类型与解法-高考二轮复习专题讲义

数列高考大题的类型与解法数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前n项和；③等差数列与等比数列之间的综合，运用拆项求和法求数列的前n项和；④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：记为等差数列｛｝的前n项和，已知=11，=40。求数列｛｝的通项公式；求数列｛||｝的前n项和（2023全国高考乙卷文）设等差数列｛｝的公差为d，且d>1，令=，记，分别为数列｛｝，｛｝的前n项和。若3=3+，+=21，求数列｛｝的通项公式；若｛｝为等差数列，且-=99，求d（2023全国高考新高考I）3、数列｛｝为等差数列，=-6，n为奇数，记，分别为｛｝，｛｝的2，n为偶数，前n项和，=32，=16。求数列｛｝的通项公式；证明：当n>5时，>（2023全国高考新高考II）4、（理）已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.（1）证明数列｛+4｝是等比数列；（2）求数列｛｝的前n项和。（文）在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）5、已知数列｛｝的前n项和=(n)。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=+，求数列｛｝的前2n项和。〖思考问题1〗（1）【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。【典例2】解答下列问题：1、已知数列{}中，=1，设为{}的前n项和，2=n。（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和。（2023全国高考甲卷理）2、已知等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列。（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{n}的前n项和（成都市高2020级高三二诊）3、(理）设数列｛｝满足=3，=3-4n。（1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明；（2）求数列｛｝的前n项和（文）设等比数列｛｝满足+=4，-=8。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。4、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。（1）求数列｛｝的通项公式；(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）〖思考问题2〗（1）【典例2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是两个因式的积，其中一个因式分裂出来构成等差数列，另一个因式分裂出来构成等比数列的特征，然后利用错项相减法求出数列的前n项和。【典例3】解答下列问题：1、已知数列｛｝为等差数列，数列｛｝是公比为2的等比数列，且-=-=-。（1）证明：=；（2）求集合{k|=+，1m500}中元素个数（2022全国高考新高考II卷）2、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。（1）求数列{}的通项公式；（2）设=，求数列{}的前n项和（成都市2019级高三一诊）+1，n为奇数，3、已知数列｛｝满足：=1，=+2，n为偶数。（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。4、（理）已知数列{}的各项均为正数，记为{}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{}是等差数列；②数列{}是等差数列；③=3。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。（文）记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。5、（理）记为{}的前n项和，为数列{}的前n项积，已知+=2。（1）证明：数列{}是等差数列；（2）求数列{}的通项公式。（文）设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。（1）求数列{}，{}的通项公式；（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。6、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。（1）求数列{}的通项公式；（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。7、已知数列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）记=（+），数列｛｝的前n项和为，求（2021成都市高三三诊）。8、设｛｝是公比不为1的等比数列，为，的等差中项。（1）求｛｝的公比；（2）若=1，求数列｛｝的前n项和（2020全国高考新课标I理）。9、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）记为｛｝在区间（0，m]（m∈）中的项的个数，求数列{}的前100项和（2020全国高考新高考I）10、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求-+------+（2020全国高考新高考II）11、（文）记为等差数列{}的前n项和，已知=-。（1）若=4，求数列{}的通项公式；（2）若＞0，求使得的n的取值范围（2019全国高考新课标I）12、（理）已知数列{}和{}满足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。（1）证明：{+}是等比数列，{-}是等差数列；（2）求数列{}和{}的通项公式。（文）已知{}是各项均为正数的等比数列，=2，=2+16。（1）求数列{}的通项公式；（2）设=，求数列{}的前n项和（2019全国高考新课标II）〖思考问题3〗（1）【典例3】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题一般是求数列的前n项和，解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应的前n项和公式通过运算求出结果。【典例4】解答下列问题：1、记为数列｛｝的前n项和，已知=1，{}是公差为的等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）证明：++------+<2（2022全国高考新高考I卷）2、（理）为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=，求数列｛｝的前n项和。（文）已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。（1）数列｛｝的通项公式；（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。3、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）4、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.（1）求数列｛｝的通项公式；（2）（理）若数列｛｝满足=，求证：++------+＜1。（文）若数列｛｝满足=，求数列｛｝的前n项和（2017成都市高三零珍）〖思考问题4〗（1）【典例4】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是一个分式，分式的分子为常数，分母是几个连续整数的积这一结果特征，然后利用裂项相消法求出数列的前n项和。【典例5】解答下列问题：1、记为数列{}的前n项和，已知+n=2+1。（1）证明：数列{}是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值（2022全国高考甲卷）2、设为等差数列｛｝的前n项和，已知=-7，=-15。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求，并求的最小值（2018全国高考新课标II卷（理））3、设{}是等差数列，=-10，+10，+8，+6成等比数列。（1）求数列{}的通项公式；（2）记{}的前n项和为，求的最小值（2019全国高考北京（文））〖思考问题5〗（1）【典例5】是等差数列，等比数列之间的综合与求等差数列前n项和的最值问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，运用求函数最值的基本方法就可求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是求等差数列前n项和的最值问题，解答时注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前n项和的最值。数列高考大题的类型与解法数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前n项和；③等差数列与等比数列之间的综合，运用拆项求和法求数列的前n项和；④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：1、记为等差数列｛｝的前n项和，已知=11，=40。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求数列｛||｝的前n项和（2023全国高考乙卷文）【解析】【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④拆项求和法及运用。【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{||}的通项公式，运用拆项求和的基本方法就可求出数列{||}的前n项和。【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=11，=40，+d=11①，10+45d=40②，联立①②解得：=13，d=-2，=+（n-1）d=13-2n+2=15-2n；（2）由（1）知，==15-2n，||=15-2n，1≤n≤7，=14n-，1≤n≤7，2n-15，n≥8，-14n+98，n≥8。2、设等差数列｛｝的公差为d，且d>1，令=，记，分别为数列｛｝，｛｝的前n项和。（1）若3=3+，+=21，求数列｛｝的通项公式；（2）若｛｝为等差数列，且-=99，求d（2023全国高考新高考I）【解析】【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④拆项求和法及运用。【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式，数列{}的通项公式和等差数列的性质，结合问题条件得到关于首项为，公差d的等式，从而得到首项为关于d的表示式，运用等差数列前n项和公式，拆项求和的基本方法得到关于d的方程，求解方程就可求出d的值。【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，等差数列｛｝的公差为d，且d>1，=，3=3+，+=21，3+3d=4+2d①，3+3d+++=21②，联立①②解得：=3，d=3，=+3（n-1）=3n；（2）设等差数列｛｝的首项为，等差数列｛｝的公差为d，且d>1，=，=，=，=，｛｝为等差数列，=+，（-d）（-2d）=0，=d或=2d，当=d时，===+，=99d+9949d=9950d，=（1+2+------+99）+=，-=9950d-=99，50d-=1，（50d-51）(d+1)=0，d=；=2d时，===，=299d+9949d=9951d，=（1+2+------+99）=，-=9951d-=99，51d-=1，（51d+50）(d-1)=0，d=1与题意不符，综上所述，若｛｝为等差数列，且-=99，则d=。3、数列｛｝为等差数列，=-6，n为奇数，记，分别为｛｝，｛｝的2，n为偶数，前n项和，=32，=16。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）证明：当n>5时，>（2023全国高考新高考II）【解析】【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④拆项求和法及运用。【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{}的通项公式，运用拆项求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和关于n的表示式，运用等差数列前n项和公式得到关于n的表示式，就可证明结论。【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=32，=16，2+3d=16①，+d-3=4②，联立①②解得：=5，d=2，=+（n-1）d=5+2n-2=2n+3；（2）当n为奇数时，=-6=2n+3-6=2n-3，当n为偶数时，=2=4n+6，当n为奇数时，=2（1+3+------+n-2）++4(2+4+-------+n-1)++2n-3=+n-8，当n为奇数时，=2（1+3+------+n-1）+n+4(2+4+-------+n)+3n=+n，=5n+2=+4n，当n为奇数时，-=+n-8--4n=+n-8>+-8=20-8=12>0；当n为偶数时，-=+n--4n=+n>0，综上所述，当n>5时，>。4、（理）已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.（1）证明数列｛+4｝是等比数列；（2）求数列｛｝的前n项和。（文）在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）【解析】【考点】①等比数列定义与性质；②证明数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式及运用；④等差中项定义与性质；=5\*GB3⑤等比数列前n项和公式及运用；=7\*GB3⑦拆项求和法及运用。【解题思路】（理）（1）根据等比数列的性质，运用证明数列是等比数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列｛+4｝是等比数列；（2）根据（1）得到数列数列｛｝的通项公式，运用等比数列前n项和公式与拆项求和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）根据等比数列和等差中项的性质，运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据（1）得到数列{-4}的通项公式，运用等比数列前n项和公式与拆项求和的基本方法就可求出数列{|-4|}的前n项和。【详细解答】（理）（1）=2+4.，+4=2+8+2（+4），=2，=-2，+4=-2+4=2，数列｛+4｝是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知，+4=2=，=-4，=-4n+（2++-----+）=-4n+=-4n-2。（文）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，=8，且，+1，成等差数列，=8①，2q+2=+②，联立①②解得：=2，q=2，数列｛｝的通项公式为=2=；（2）由（1）知，-4=-4，=-4n+（2++-----+）=-4n+=-4n-2。5、已知数列｛｝的前n项和=(n)。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=+，求数列｛｝的前2n项和。【解析】【考点】①数列通项公式与前n和公式之间的关系及运用；②已知数列前n项和公式，求数列通项公式的基本方法；③拆项求和法及运用。【解题思路】（1）根据数列通项公式与前n和公式之间的关系，运用已知数列前n项和公式，求数列通项公式的基本方法，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）得到数列数列｛｝的通项公式，运用等比数列前n项和公式与拆项求和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。【详细解答】（1）①当n=1时，===1，②当n≥2时，=-===n，当n=1时，=1成立，数列｛｝的通项公式为=n；（2）=+=+n，=（-1+2-3+4---------（n-1）+n）+=+-2（n为偶数）或=（-1+2-3+4--------+（n-1）+n）+=+-n-2=--2（n为奇数）。〖思考问题1〗（1）【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。【典例2】解答下列问题：已知数列{}中，=1，设为{}的前n项和，2=n。（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和。（2023全国高考甲卷理）【解析】【考点】①数列定义与性质；②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用；③数学叠乘法及运用；④错项相减求和法及运用。【解题思路】（1）根据数列的性质，运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，利用数学叠乘法就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{}的通项公式，运用错项相减求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。【详细解答】（1）当n=1时，2=2=，=0；当n2时，2=n①，2=（n-1）②，①-②得：2（-）=2=n-（n-1），（n-2）=（n-1），=，=，-------，=，=，=n-1，=n-1(n2)，当n=1时，=1-1=0成立，数列{}的通项公式为=n-1；（2）数列{}={}={}，=+2+3+------+（n-1）+n①，①得：=+2+3+------+（n-1）+n②，①-②得：=+++------++-n=1--n=1-（n+2），=2-（n+2）。2、已知等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列。（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{n}的前n项和（成都市高2020级高三二诊）【解析】【考点】①等比数列定义与性质；②等差中项定义与性质；③等比数列通项公式及运用；④错项相减法求数列前n和的基本方法。【解题思路】（1）根据等比数列和等差中项的性质，运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于的等式，从而求出的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{n}的结构特征，运用错项相减法求数列前n和的基本方法，就可求出数列{n}的前n项和。【详细解答】（1）等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列，2（3+3）=+3-6，=-6，=-6=-2；（2）n=-2n，=-2（3+2+3+-------+（n-1）+n）①，①3得：3=-2（+2+3+-------+（n-1）+n）②。①-②得：-2=-2（3++++-------+-n）=-2（-n），=（-n）-。3、（理）已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.（1）证明数列｛+4｝是等比数列；（2）求数列｛｝的前n项和。（文）在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）【解析】【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③证明数列是等比数列的基本方法；④求等比数列通项公式的基本方法；⑤拆项求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（理）（1）运用证明数列是等比数列的基本方法就可证明数列｛+4｝是等比数列；（2）根据（1）的结论，求出数列｛｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列｛｝的前n项和.；（文）（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）的结果，求出数列｛-4｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列｛-4｝的前n项和。【详细解答】（理）（1）证明：=2+4.，+4=2+8=2（+4），=2，=-2，+4=-2+4=2，数列｛+4｝是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知+4=2=，=-4，=2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2；（文）（1）设等比数列｛｝的公比为q，==8①，，+1，成等差数列，2q+2=+②，联立①②解得=2，q=2，数列｛｝的通项公式为：=2=；（2）由（1）知-4==-4，==2-4+-4+-4+-----+-4=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2。4、已知数列｛｝的前n项和=(n)。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=+，求数列｛｝的前2n项和。【解析】【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。【解题思路】（1）运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到数列｛｝的通项公式：=（n+1）+，将每一项分成两项，从而可知数列｛｝由两个基本数列（等差数列或等比数列），利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。【详细解答】（1）数列｛｝的前n项和=(n∈)，当n=1时，===1；当n2时，=-=-==2n-1，当n=1时，=21-1=1成立，=2n-1(n∈)；（2）由（1）得=2n-1，=+，=+（2n-1），=（2+++---------+）-（1+5+9+-------+4n-3）+（3+7+11+-------+4n-1）=-+=--（2-n）+（2+n）=+2n-。〖思考问题2〗（1）【典例2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。【典例3】解答下列问题：1、已知数列｛｝为等差数列，数列｛｝是公比为2的等比数列，且-=-=-。（1）证明：=；（2）求集合{k|=+，1m500}中元素个数（2022全国高考新高考II卷）【解析】【考点】①等差数列定义与性质；②等比数列定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等比数列通项公式及运用；⑤表示集合的基本方法。【解题思路】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等比数列｛｝首项为，根据等差数列和等比数列的性质，运用等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到关于，d，的方程组，求解方程组求出，就可证明结论；（2）由（1）知==，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到k关于m的表示式，由m的取值范围，求出k的取值范围，从而就可求出求集合{k|=+，1m500}中元素个数。【详细解答】（1）证明：设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等比数列｛｝首项为，-=-=-，+d-2=+2d-4，d-2=0①，+2d-4=8--3d，12-2-5d=0②，联立①②得：2-2=0，=；（2）由（1）知==，=.=d.，+=+(m-1)d+=md，=+，d.=md，=m，1m500，1500，0k-28，2k10，集合{k|=+，1m500}={2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{k|=+，1m500}中元素个数是9个。2、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。（1）求数列{}的通项公式；（2）设=，求数列{}的前n项和（成都市2019级高三一诊）【解析】【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列前n项和定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式得到关于等差数列{}的首项，公差的方程组，求解方程组求出数列{}的首项，公差的值就可得出数列{}的通项公式；（2）根据数列前n项和的性质，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公差为d，2+=0，=2-2，3+6d=0①，+6d=2+6d-2②，联立①②解得：=2，d=-1，数列{}的通项公式为=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）===，数列{}的前n项和为=+2+1+++------+==8（1-）=8-。+1，n为奇数，3、已知数列｛｝满足：=1，=+2，n为偶数。（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。【解析】【考点】①数列递推公式及运用；②等差数列的定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等差数列前n项和公式及运用；⑤判断一个数列是等差数列的基本方法。【解题思路】（1）根据数列递推公式，结合问题条件求出，，运用判断一个数列是等差数列的基本方法，判断数列{}为等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）知求数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，运用等差数列的前n项和公式就可求出｛｝的前20项和。【详细解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，数列{}是以2为首项，3为公差的等差数列，=2+3（n-1）=3n-1，即数列{}的通项公式为：=3n-1；（2）由（1）知数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，=101+3+102+3=30+1093=300，即数列｛｝的前20项和为300。4、（理）已知数列{}的各项均为正数，记为{}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{}是等差数列；②数列{}是等差数列；③=3。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。（文）记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。【解析】【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④证明数列是等差数列的基本方法。【解题思路】（理）由题意，不妨选择①③为条件，证明②成立，根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差d的等式，从而把首项表示为关于公差d的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于公差d的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。（文）根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}公差d，的等式，从而把公差d表示为关于首项的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于数列首项的式子，从而得到关于数列首项的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。【详细解答】（理）设等差数列{}的公差为d，=+d，=3，=，=n+d=(+-)d=d，数列{}的各项均为正数，d>0，==，当n=1时，=，当n2时，=，=，-=（-）=为常数，数列{}是以为首项，为公差的等差数列。（文）证明：设等差数列{}的公差为d，>0，=3，=，==2，d=-=2-=，=+（n-1）=n，=，当n=1时，==，当n2时，=-=-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1]=（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)]=2为常数，-=3-=2，数列{}是以为首，2为公差的等差数列。5、（理）记为{}的前n项和，为数列{}的前n项积，已知+=2。（1）证明：数列{}是等差数列；（2）求数列{}的通项公式。（文）设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。（1）求数列{}，{}的通项公式；（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。【解析】【考点】①等差数列的定义与性质；②判断一个数列是等差数列的基本方法；③数列通项与前n项和之间的关系；④等比数列的定义与性质；⑤等差中项的定义与性质；⑥等比数列通项公式及运用；⑦等比数列前n项和公式及运用；⑧裂项相消法求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（理）（1）根据判断一个数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列{}是等差数列；（2）根据数列通项与前n项和之间的关系，运用（1）的结论就可求出数列｛｝的通项公式。（文）根据等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于等比数列｛｝公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出数列{}，{}的通项公式；（2）根据等比数列前n项和公式与裂项相消法求数列前n项和的基本方法分别求出数列｛｝，{}的前n项和与就可证明结论。【详细解答】（理）（1）证明：当n2时，=，+=2，+=2，2（-）=1，-=，当n=1时，+=2，=2，=，数列{}是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得：=+（n-1）=，+=2，+=2，=，=，当n=1时，==，当n2时，=-=-=-，当n=1时，=-，数列{}的通项公式为：=，n=1，-，n2。（文）设等比数列{}的公比为q，数列{}首项为1，，3，9成等差数列，6q=1+9，=0，q=，=，==n，数列{}，{}的通项公式分别为：=，=n；（2）==-，=+2+3+------+（n-1）+n①，=+2+3+-----+（n-1）+n②，①-②得：=+++-----+-n=-n=--n=-（+），=-（+），-=-（+）-+=（--）=-<0，<。6、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。（1）求数列{}的通项公式；（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。【解析】【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差的方程组，求解方程组求出等差数列{}首项，公差的值就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到等差数列{}的通项公式与前n项和公式，从而得到关于n的不等式，求解不等式就可求出使>成立的n的最小值。【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公比为q，=，.=，+2d=3+3d①，（+d）（+3d）=4+6d②，联立①②解得：=0，d=0或=-，d=，d0，=-，d=，=-+（n-1）=n-，数列{}的通项公式=n-；（2）由（1）得：=-n+=-n，>，-n>n-，-4n+3>0，n<1或n>3，n，n>3，即使>成立的n的最小值为4。7、已知数列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）记=（+），数列｛｝的前n项和为，求（2021成都市高三三诊）。【解析】【考点】①等比数列的定义与性质；②判断一个数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式及运用；④对数的定义与性质；⑤等差数列前n项和公式及运用。【解题思路】（1）根据等比数列的性质和判断一个数列是等比数列的基本方法，结合问题条件得到数列｛｝是等比数列，运用等比数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）求出关于n的式子，从而得到=+，运用对数的性质得到数列｛｝的通项公式，运用等差数列的前n项和公式就可求出的值。【详细解答】（1）+3=4，=-，-=3（-），=3，=3，=1，=3，=-=3-1=2，数列｛｝是以2为首项，3为公比的等比数列，数列｛｝的通项公式为：=2；（2）=（-）+（-）+------+（-）+（-）+=++------+++=+1=，=-，=+，=（+）===n，=++------+=1+2+------+（n-1）+n=，即==210。8、设｛｝是公比不为1的等比数列，为，的等差中项。（1）求｛｝的公比；（2）若=1，求数列｛｝的前n项和（2020全国高考新课标I理）。【解析】【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与性质；④等比数列前n项和的定义，公式与求法。【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程就可求出等比数列｛｝的公比；（2）根据等比数列前n项和公式通过运算就可得出等比数列｛｝的前n项和。【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q，=q，=，为，的等差中项，2=q+，+q-2=0，q=1或q=-2，q1，q=-2；（2）=1，q=-2，==-。9、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）记为｛｝在区间（0，m]（m∈）中的项的个数，求数列{}的前100项和（2020全国高考新高考I）【解析】【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；④等比数列前n项和的定义，公式与求法；⑤任意数列前n项和的定义与求法。【解题思路】（1）运用等比数列通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组就可求出首项，公比q的值，从而得出等比数列｛｝的通项公式；（2）根据题意确定出数列{}各项的值，利用任意数列前n项和的定义与求法就可求出数列｛｝的前100项的和。【详细解答】（1）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，=q，=，=，20，+==8，q+=20①，=8②，联立①②解得：q=2，=2，或=32，q=，q>1，q=2，=2，=2=；（2）1<=22，2<==44，4<==88，10<==1616，30<==3232，60<==6464，==128>100，=0，==1，====2，==-----==3，==-----==4，==-----==5，==-----=6，=0+12+24+38+416+532+637=0+2+8+24+64+160+236=484。10、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求-+------+（2020全国高考新高考II）【解析】【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；③④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（1）运用等比数列的性质，求等比数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出等比数列首项和公比q的值，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）得到=.=，从而知道-+------+中奇次项为正，偶次项为负，将奇次项组合在一起得到一个等比数列，偶次项组合在一起也得到一个等比数列，利用等比数列前n项和公式分别求出两个等比数列的和再相加就可求出-+------+，这里需要注意项数为奇数和偶数两种情况的不同结果。【详细解答】（1）设等比数列的首项为，公比为q，+=q（1+）=20，==8，=32，q=，或=2，q=2，q>1，=2，q=2，=2=；（2）=.=，-+------+=-+-+----+=（++-------）-（++-------），①当n为奇数时，-+------+=+-=-+++-=8+（1-4）+=8-+；②当n为偶数时，-+------+=-=-++-=8+（1-4）=8-。11、（文）记为等差数列{}的前n项和，已知=-。（1）若=4，求数列{}的通项公式；（2）若＞0，求使得的n的取值范围（2019全国高考新课标I）【解析】【考点】①等差数列的定义；②等差数列前n项和的定义与公式；③等差数列通项的定义与公式；④不等式的解法；【解题思路】（1）求数列｛｝的通项公式求出数列｛｝的首项和公差d，问题条件：+4d=0，=9+36d=-(+4d)，+2d=4，=+2d=4；（2）=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=-4d，>0，d<0，=n+d=d-dn，=+（n-1）d=nd-5d，d-dnnd-5d，-11n+100，解这个不等式即可。【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公差为d，根据题意有：=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=8，=8+（n-1）（-2）=-2n+10；=+2d=4，+2d=4，d=-2，（2）=9+36d=-(+4d)，+4d=0，=-4d，>0，d<0，=n+d=d-dn，=+（n-1）d=nd-5d，d-dnnd-5d，-11n+100，1n10，当时，n的取值范围是[1，10]。12、（理）已知数列{}和{}满足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。（1）证明：{+}是等比数列，{-}是等差数列；（2）求数列{}和{}的通项公式。（文）已知{}是各项均为正数的等比数列，=2，=2+16。（1）求数列{}的通项公式；（2）设=，求数列{}的前n项和（2019全国高考新课标II）【解析】【考点】①数列的定义；②数列通项公式的定义；③证明数列为等比数列，等差数列的基本方法；④等差数列前n项和的定义与公式；⑤对数的运算性质；【解题思路】（理）（1）证明数列{+}是等比数列，=常数；证明数列{-}是等差数列，（-）-（-）=常数；问题条件：=1，=0，4=3-+4，4=3--4，+=1+0=1，-=1-0=1，4（+）=2（+），4（-）=4（-）+8，=，（-）-（-）=2；（2）由（1）得：+=，=+n-，-=1+（n-1）2=2n-1，=-n+。（文）（1）求数列｛｝的通项公式求出数列｛｝的首项和公差d，问题条件：=2，=2，-2q-8=0=2=2+16=4q+16；（2）由（1）可得=.==2n-1，求出。【详细解答】（理）（1）4=3-+4，4=3--4，4（+）=2（+），4（-）=4（-）+8，=，（-）-（-）=2；=1，=0，+=1+0=1，-=1-0=1，数列{+}是以1为首项，为公比的等比数列，数列{-}是以1为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得：+=，=+n-，-=1+（n-1）2=2n-1，=-n+。（文）（1）=2，=2，q=-2或q=4，数列{}=2=2+16=4q+16；-2q-8=0，各项均为正数，q=4，=2=； （2）由（1）可得=.==2n-1，=++-----+=1+3+-------+2n-1==。〖思考问题3〗（1）【典例3】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题一般是求数列的前n项和，解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应的前n项和公式通过运算求出结果。【典例4】解答下列问题：1、记为数列｛｝的前n项和，已知=1，{}是公差为的等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）证明：++------+<2（2022全国高考新高考I卷）【解析】【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前N项和公式及运用；④数列前N项和公式与通项公式之间的关系及运用；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（1）根据等差数列的性质，结合问题条件得到与之间的关系式，求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。【详细解答】（1）=1，==1，=1，{}是公差为的等差数列，=1+（n-1）=n+，=（n+），=（n+）（n2），-==n（-）+-，（n-1）-（n+1）=0，=，=，-------，=，=，=，=1+=，3（+）=4，=3=3，=（n2），当n=1时，==1成立，数列｛｝的通项公式为：=；（2）证明：由（1）知，=，==2（-），++------+=2（1-+-+-------+-+-）=2（1-）<21=2，++------+<2。2、（理）为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=，求数列｛｝的前n项和。（文）已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。（1）数列｛｝的通项公式；（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。【解析】【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④判断一个数列是等差数列的基本方法；⑤等差数列前n项和公式及运用；⑥裂项相消求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（理）（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。【详细解答】（理）（1）当n=1时，+2=4+3，=4，=3或=-1，>0，=3；当n2时，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，当n2时，数列｛｝是以5为首项，2为公差的等差数列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），当n=1时，=21+12+1=3成立，数列｛｝的通项公式为：=2n+1；（2）===（-），=++------+=（-+-+-------+-+-）=（-）=，即数列｛｝的前n项和为。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，联立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即数列｛｝的通项公式为：=2-n；（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）=-，即数列｛｝的前n项和为-。3、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）【解析】【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与求法；④对数的定义与性质；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程求出等比数列｛｝的公比就可得到等比数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q，=q，=，=，2，，成等差数列，3=2q+，-3+2q=0，q=0或q=1或q=2，=1，｛｝是递增的等比列数，q=2，=1=；（2）===-，=1-+-+-------+-+-=1-=。4、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.（1）求数列｛｝的通项公式；（2）（理）若数列｛｝满足=，求证：++------+＜1。（文）若数列｛｝满足=，求数列｛｝的前n项和（2017成都市高三零珍）【解析】【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式的定义与性质；③等差数列前n项和公式的定义与性质；④等比数列前n项和公式及运用；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。【解题思路】（理）（1）运用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项和公差d就可得到等差数列｛｝的通项公式