132坐标系与参数方程

一、选择题1．若P(－2，－eq\f(π,3))是极坐标系中的一点，则Q(2，eq\f(2π,3))、R(2，eq\f(8π,3))、M(－2，eq\f(5π,3))、N(2,2kπ－eq\f(4π,3))(k∈Z)四点中与P重合的点有____________个()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析](－2，－eq\f(π,3))的统一形式(2,2kπ＋eq\f(2π,3))或(－2,2kπ－eq\f(π,3))(k∈Z)，故四个点都与P(－2，－eq\f(π,3))重合．2．抛物线x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)()A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．双曲线[答案]B[解析]原方程变形为：y＝eq\f(1,2)(x－3sinθ)2＋4cosθ.设抛物线的顶点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3sinθ,y＝4cosθ))，消去参数θ得轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1.它是椭圆．二、填空题3．(2022·江西理，15)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．[答案]x2＋y2－4x－2y＝0[解析]本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．因为ρ＝2sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，即x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.4．(2022·大连模拟)圆ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圆心坐标为________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))[解析]可化为直角坐标方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))2＝1或化为ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，这是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圆的方程．5．(2022·天津理)已知圆C的圆心是直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝1＋t))，(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为______．[答案](x＋1)2＋y2＝2[解析]直线为y＝x＋1，故圆心坐标为(－1,0)，半径R＝eq\f(|－1＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，则圆的方程：(x＋1)2＋y2＝2.6．(2022·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2,y＝t))(t∈R)，它们的交点坐标为________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))[解析]本题考查参数方程、参数方程化普通方程以及求曲线的公共点，求曲线交点只需联立方程解方程组即可.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ,y＝sinθ))(0≤θ≤π)化为普通方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1(0≤y≤1)，而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2,y＝t))化为普通方程为x＝eq\f(5,4)y2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋y2＝10≤y≤1,x＝\f(5,4)y2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(2\r(5),5)))，即交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).三、解答题7．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[解析](1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ＋\f(\r(3),2)sinθ))＝1，从而C的直角坐标方程为eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)y＝1，即x＋eq\r(3)y＝2，θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)，θ＝eq\f(π,2)时，ρ＝eq\f(2\r(3),3)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).(2)M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以P点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，则P点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq\f(π,6)，ρ∈(－∞，＋∞)．8．(2022·新课标理，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα.))(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足eq\o(OP,\s\up15(→))＝2eq\o(OM,\s\up15(→))，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝eq\f(π,3)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.[解析](1)设P(x，y)，则由条件知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).由于M点在C1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))从而C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝eq\f(π,3)与C1的交点A的极径为ρ1＝4sineq\f(π,3)，射线θ＝eq\f(π,3)与C2的交点B的极径为ρ2＝8sineq\f(π,3).所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2eq\r(3).一、选择题1．(2022·安徽理，5)在极坐标系中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．2 \r(4＋\f(π2,9))\r(1＋\f(π2,9)) \r(3)[答案]D[解析]本题主要考查极坐标的知识以及极坐标与直角坐标的互化，考查两点间的距离公式，极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化为直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,3)，2sin\f(π,3)))，即(1，eq\r(3))，圆的极坐标方程ρ＝2cosθ可化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d＝eq\r(1－12＋\r(3)－02)＝eq\r(3)，故选D.2．(2022·重庆理)直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)与圆心为D的圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\r(3)cosθ，,y＝1＋\r(3)sinθ))(θ∈[0,2π))交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()\f(7,6)π \f(5,4)π\f(4,3)π \f(5,3)π[答案]C[解析]设直线与圆交于点(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ，1＋eq\r(3)sinθ)∵点在直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)上，∴1＋eq\r(3)sinθ＝eq\f(\r(3),3)(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ)＋eq\r(2)即sin(θ－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(2),2)，∵－eq\f(π,6)<θ－eq\f(π,6)<eq\f(11,6)π∴θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)或θ－eq\f(π,6)＝eq\f(3,4)π，解得θ1＝eq\f(5,12)πθ2＝eq\f(11,12)π，不妨设A(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ1,1＋eq\r(3)sinθ1)，B(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ2,1＋eq\r(3)sinθ2)，则kAD＝tanθ1，∴直线AD的倾斜角为θ1＝eq\f(5,12)π，同理直线BD的倾斜角为θ2＝eq\f(11,12)π，∴倾斜角之和为θ1＋θ2＝eq\f(4,3)π.二、填空题3．(2022·陕西理，15C)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ,y＝4＋sinθ))(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．[答案]3[解析]本小题考查极坐标与参数方程．C1为圆(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2为圆x2＋y2＝1.∴|AB|min＝eq\r(32＋42)－1－1＝3.4．(文)(2022·广东文)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为__________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))[解析]本题考查了直角坐标系与极坐标系方程的互化，原极坐标方程化为直角坐标方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,y－x＝1))eq\o(⇒,)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))再化为相应的极坐标系为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).体现了转化与化归的数学思想．(理)(2022·广东理)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．[答案](eq\r(2)，eq\f(3π,4))[解析]由ρ＝2sinθ与ρcosθ＝1得2sinθcosθ＝－1，∴sin2θ＝－1，θ＝eq\f(3π,4)，∴ρ＝2sineq\f(3π,4)＝eq\r(2).5．(文)(2022·湖南文，9)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝\r(3)sinα))(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．[答案]2[解析]本题考查了参数方程极坐标知识．由题意知C1方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，表示椭圆；而C2方程即ρcosθ－ρsinθ＋1＝0表示直线x－y＋1＝0，由C1和C2方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,x－y＋1＝0))，消去y得7x2＋8x－8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C1与曲线C2有两个交点．(理)(2022·上海理，5)在极坐标系中，直线ρ(2cosθ＋sinθ)＝2与直线ρcosθ＝1的夹角大小为________．(结果用反三角函数表示)[答案]arctaneq\f(1,2)[解析]本题考查极坐标系的定义、极坐标直线方程、极坐标直线方程化普通方程以及两直线夹角等知识．极坐标方程化普通方程时要注意等价性．∵ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得一般方程为2x＋y＝2.ρcosθ＝1的一般方程为x＝1.直线2x＋y＝2的倾斜角的补角为arctan2，设两直线夹角为α，则tanα＝tan(eq\f(π,2)－arctan2)＝cot(arctan2)＝eq\f(1,tanarctan2)＝eq\f(1,2)，∴α＝arctaneq\f(1,2).6．(2022·深圳模拟)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．[答案]eq\r(2)－1[解析]∵ρ(cosθ＋sinθ)＝4，∴x＋y－4＝0，又ρ2＝4ρcosθ－3，∴x2＋y2－4x＋3＝0，圆C的坐标为(2,0)，半径为r＝1，∴圆心到直线的距离为eq\f(|2＋0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|PQ|的最小值是eq\r(2)－1.三、解答题7．(2022·辽宁理，23)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ，))(φ为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝eq\f(π,2)时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值．(2)设当α＝eq\f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－eq\f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．[解析](1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝eq\f(π,2)时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和eq\f(x2,9)＋y2＝1.当α