第2章功和能机械能守恒课件

§2.4功和能机械能守恒1.能量转换与守恒定律，保守力与耗散力；2.由势能函数确定保守力场。1.变力做功，保守力的势能表达式；2.质点（系）的动能定理、功能原理、机械能守恒定律及其应用。掌握：了解：§2.4功和能机械能守恒1.能量转换与守恒定律一、力的功1.恒力的功力对物体做功：力对质点做功：

如果恒力F作用在物体上，使物体运动了一段位移

如果与位移有一定夹角

时：一、力的功1.恒力的功力对物体做功：力对质点变力推动质点运动（位移）做功？2.变力的功方法：将曲线分割成许多小段。每段位移为：每段质点受力近似看成恒力：每段恒力做功为：将每段功相加，得力做功的近似值：取：令，得到：——变力做的功等于力沿曲线的线积分！变力推动质点运动（位移）做功？2①.功是过程量，与力和路径有关。②.功为标量，没有方向，但有正负。功的微分形式（元功）：说明③.力与参照系无关，但位移与参照系有关，故力做功

与参照系有关。

④.合力的功等于各分力的功的代数和。①.功是过程量，与力和路径有关。②.功为标量，没有方向，但有⑤.直角坐标系⑥.自然坐标系元功：a→b的功：元功：a→b的功：⑦.平均功率：瞬时功率：——瞬时功率等于力与物体速度的标积!⑤.直角坐标系⑥.自然坐标系元功：a→b的功：元功：a→b的例：一人从10m深的水井把10kg的水匀速提上来，由于桶漏水，每升高1m漏0.2kg，问把水提到井口需做功多少？（不计桶重）解：建立如右图所示的坐标系。则力做的功：质点质量的变化：m=10-0.2y（kg）拉力：F=mg=(10-0.2y)g（N）例：一人从10m深的水井把10kg的水匀速提上来，由于桶解：yo例：劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为m的小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触，今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求此过程中外力做功。解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的坐标系oy。拉力做功为：得：小球脱离地面时提升距离h为：y例：劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为m的解解：⑴沿x轴由(0,0)→(2,0)，此时y=0，dy=0，则：例：质点所受力，求质点由(0,0)→(2,4)点的过程中力做功：⑴先沿x轴由(0,0)→(2,0)点，再平行y轴由(2,0)→(2,4)点；⑵沿连接(0,0)、(2,4)的直线；⑶沿抛物线y=x2由(0,0)→(2,4)点。（单位为国际单位）⑵由原点至(2,4)的直线方程为y=2x，则：⑶因y=x2，则：由(2,0)→(2,4)：解：⑴沿x轴由(0,0)→(2,0)，此时y=0，dy=0，解：⑴小球在力的作用下作圆周运动。在自然坐标系中：例：小球在水平变力作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成角。求：⑴的功，⑵重力的功。ml解：⑴小球在力的作用下作圆周运动。例：小球在水平变BA二、质点的动能定理在a→b过程总功：→对物体做功→速度变化外力作用→功与速度变化的联系？动能定理：外力对质点做的功等于质点动能的增量。在自然坐标系中BA二、质点的动能定理在a→b过程总功：→对物体做功→速度变区别：功为过程量，动能是状态量。⑤.动能定理提供了一种计算功的简便方法。

②.功与动能跟参考系有关，具有相对性。说明：①.功与动能的区别和联系：联系：功是动能变化的量度。③.动能定理适用于惯性系。④.动能定理的微分形式：功率：区别：功为过程量，动能是状态量。⑤.动能定理提供了一种计算功解：以钉为对象，以木板上界面为原点建立如图oy坐标系。例：用铁锤钉钉子，设木板对钉子的阻力与钉子进入深度成正比。第一次击打钉子钉入的深度为1.0cm，第二次击打力度与第一次相同。问第二次钉子进木板的深度？钉所受阻力为：f=-ky（k为比例系数）锤两次击打力度相同，对钉做功相同：阻力对钉做功：设第二次钉钉子的深度为h，对两过程应用动能定理：解：以钉为对象，以木板上界面为原点建立如图oy例：用铁锤钉钉k为正常数，为质点的位矢。该质点从处被释放，由静止开始运动，求它到达无穷远时的速率。例：一个质量为m的质点，仅受到力作用，式中解：设无穷远处质点的速率为V，根据动能定理，有：k为正常数，为质点的位矢。该质点从例：如图，初始时按住质量为M的绳子，使之静止垂在桌外的长度为b，绳子总长度为L。当松手后绳子下滑，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。由动能定理得：解：方法1——动能定理。以桌面为原点建立oy坐标系。设t时刻绳下垂长为y，该段绳的质量为m，绳速为v，绳全部离开桌面时的速率为vL。下滑过程重力做功：而：重力所做元功：例：如图，初始时按住质量为M的绳子，使之静止垂在桌由动能定理方法2——牛顿定律由牛顿定律得：方法2——牛顿定律由牛顿定律得：M三、保守力做功与势能万有引力、重力、弹性力等做功表达式？1.万有引力做功以M处为原点o，t时刻引力做元功为：A→B引力做功：AB物体由。o有心力M三、保守力做功与势能万有引力、重力、弹性力等做功表达式力做功不满足上式：非保守力（耗散力）

只与始末位置有关，与路径无关！重力功：引力功：弹力功：保守力：——势能函数——保守力做功等于势能增量的负值！力做功不满足上式：非保守力（耗散力）只与始末位重力功：引力令，则：处势能等于保守力从该处沿任意路径到零势能点做的功！要人为选取零势能点，势函数才能唯一地表示各点势能！将r1改写成r0，r2改写为r，则任意位置r处的势能为：

重力势能（地面为零势能点）：

弹性势能（弹簧原长为零势能点）：

引力势能（无穷远为零势能点）：令，则：处势能——在保守力场中，质点的动能与势能可以相互转化。保守力作正功时（A>0）：保守力作负功时（A<0）：A→B过程保守力做功2.物体在某一位置的势能只有相对意义，随零势能点位置的不同而不同。两个位置的势能之差有绝对意义。1.势能是属于以保守力相互作用的物体系统共有的能量，是相互作用能。

3.保守力做功与势能关系的微分形式：说明：——在保守力场中，质点的动能与势能可以相互转化。保守力作正功例：质量为m的物体处在距地面2R处。求地面为零势能点时的势能。（R为地球半径）得：距地面2R处的势能：另法：以无穷远为零势能点的引力势能：取Ep(R)=0，得：解：由，引力势：例：质量为m的物体处在距地面2R处。求地面为零势能点得：以弹簧原长为零势能点的弹性势能：解：以平衡位置为原点o建立ox坐标系，设平衡时弹簧伸长量设为x0。有：例：如图，劲度系数为k的轻弹簧下挂质量为m的物体。求势能零点位于平衡位置o处时系统的势能。xmo

ox0Px则x处的系统总势能：取Ep(x0)=0，得：以弹簧原长为零势能点的弹性势能：解：以平衡位置为原点o建立四、保守力与势能的关系功与势能的微分关系：在直角坐标系：梯度算符：四、保守力与势能的关系功与势能的微分关系：在直角坐标系：梯度1.质点在轨道上任一位置时，曲线显示出系统所具有的势能值；2.势能曲线上任一位置处的斜率的负值，即为质点在该处所受的保守力；如：一保守系统的质点沿x方向作一维运动，则有：3.势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零；4.受力为零的位置称为平衡位置。——势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置；——势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置。势能曲线*弹性势能：弹性势能曲线1.质点在轨道上任一位置时，曲线显示出势能曲线*弹性势能：

五、质点系动能定理n个质点组成的质点系{mi}，各质点速度为质点系的动能：第i质点受力为：外力

第i质点应用动能定理有：内力

总外力功总内力功总动能增量——质点系的动能定理注意：先求每个质点的功，再求总功。不能先求合力再求功。因各质点的元位移不同，不能作为公因子提到求和符号之外。五、质点系动能定理n个质点组成的质点系{mi}，各即：一般内力做功总和

注意：一对内力所做功之和等于力与相对位移的标积，

不一定等于零。一对内力有：两质点间元功之和为：相对位移即：一般内力做功总和即有：将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：非保守内力功保守内力功六、质点系的功能原理既然：系统的机械能:表明：系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力的功之和。——质点系的功能原理即有：将内力做功分为保守内力做功与非保守内力做功，即：非保守七、机械能守恒定律能量转换与守恒定律对于功能原理：若：则：——系统的机械能守恒或：——孤立系统中非保守内力不做功时，系统的动能与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但系统的总机械能为恒量。——非保守内力做功会使系统的机械能发生变化！

孤立系统中机械能增加或减少时，就有等量的非机械能减少或增加，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之和）不变。

四、能量转换和守恒定律对于孤立系统：则功能原理为：——能量转换和守恒定律七、机械能守恒定律能量转换与守恒定律对于功能原理：若：则摩擦内力做功：例：如图，质量为M的卡车载质量为m的木箱以速率v沿平直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑行距离L后静止，木箱相对卡车滑行了l距离。已知木箱与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为

1、

2。求L和l。解：视卡车与木箱看作质点系。据质点系动能定理，有：外力F做功：对木箱应用动能定理：摩擦内力做功：例：如图，质量为M的卡车载质量为m的木箱以速率例：如图，质量为M的滑块置于斜面底端A处，斜面倾角

高度为h。今有质量为m的子弹以速度v0水平射入滑块并留在其中，且使滑块沿斜面滑动，摩擦系数为

。求

滑块滑出顶端时的速度大小。解：子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒，设滑块得到的初速度为v1有：令滑块滑出顶端时的速度为v2，取A点为重力势能零点，由功能原理有：联立上式得：例：如图，质量为M的滑块置于斜面底端A处，斜面倾角解：子例：打桩机锤的质量m，将长L、质量M、半径r的桩打入地下，其侧面单位面积受泥土阻力为k。求：⑴桩由于自重下沉深度h1；⑵在桩稳定后，将锤升至距桩顶端h处让其自由下落击桩，若锤与桩发生完全非弹性碰撞，第一锤使桩下沉深度h2；⑶若桩已下沉l时，锤再一次下落击桩后反弹起h

，此时已非完全非弹性碰撞，桩的下沉深度h3。解：⑴取桩和地球为系统，桩初始位置的质心为势能零点，由功能原理：桩下沉距离：锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为v，由动量守恒定律有：⑵锤下落的末速设为v0：例：打桩机