离散型随机变数课件

第五章離散型隨機變數

陳順宇教授成功大學統計系1第五章離散型隨機變數陳順宇教授1離散型隨機變數最常遇到的離散型隨機變數，如二項分配、超幾何分配下一章將討論連續型隨機變數，如常態分配

2離散型隨機變數最常遇到的離散型隨機變數，如2隨機變數

是一種函數對應，實驗的每一種結果指定一數值與之對應。3隨機變數是一種函數對應，3隨機變數中之〝隨機〞表示結果的不可預知，〝變數〞表示每次結果會有不同的變化通常隨機變數以英文大寫字母表示

4隨機變數中之〝隨機〞4離散型隨機變數若一隨機變數可能發生的數值只有有限個或是0,1,2,…等整數個時，稱為離散型隨機變數

5離散型隨機變數若一隨機變數可能發生的數值5如擲一個銅板3次可能擲出的正面次數有0、1、2、3共4種可能結果，令表3次中出現正面的次數

6如擲一個銅板3次可能擲出的正面次數有0、1、2、3677像這種試驗每種實驗結果有一數值與之對應，而且對應的數值只有可數的幾種即為離散型隨機變數

8像這種試驗每種實驗結果8機率分佈(或機率分配)

一個離散型隨機變數在各種可能數值k發生的機率，稱為此隨機變數的機率分佈(或機率分配)，即隨機變數的機率分佈為求P(X=k)=?9機率分佈(或機率分配)一個離散型隨機變數在9例5.1、甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子如擲出骰子點數是1,2時，甲需付給乙1元，如擲出骰子點數是3,4時，甲、乙兩人沒有輸贏，如擲出骰子點數是5,6時，則甲可得1元令X表甲擲1次骰子後所得的錢，求X的機率分佈？

10例5.1、甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子101111機率分佈12機率分佈1213131414例5.2、甲、丙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子如擲出點數是1,2時，甲可得2元，如擲出點數是3,4時，甲可得4元，如擲出點數是5時，甲可得10元，如擲出點數是6時，甲需付給丙20元令Y表擲1次骰子後甲所得的錢，求Y的機率分佈？15例5.2、甲、丙兩人玩擲骰子遊戲，由甲擲骰子15Y的機率分佈

16Y的機率分佈16例5.5、某人擲一個公正銅板4次，令X代表4次中擲出正面的次數，求X的機率分佈？17例5.5、某人擲一個公正銅板4次，17擲4次銅板的實驗其樣本空間

18擲4次銅板的實驗其樣本空間18U={正,反}×{正,反}×{正,反}×{正,反}

1919U的計數

20U的計數20擲4次銅板皆

沒有出現正面的機率

21擲4次銅板皆

沒有出現正面的機率21利用第四章事件獨立求解

因每次擲出反面的機率都是1/2，而且每次擲出反面結果的事件都是獨立因此4次都出現反面的機率為(1/2)4，即=1/2×1/2×1/2×1/2=(1/2)422利用第四章事件獨立求解因每次擲出反面的機率都是1/2，224次銅板中恰有1次出現正面

()=({(正,反,反,反),(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正)})

234次銅板中恰有1次出現正面()=({(正,反擲4次銅板恰有1次出現

正面的機率

24擲4次銅板恰有1次出現

正面的機率24一般事件(X=k)發生機率

25一般事件(X=k)發生機率25

f為X的機率密度函數

26f為X的機率密度函數26機率密度函數

27機率密度函數27機率密度函數圖

28機率密度函數圖28擲此骰子60次

點數123456出現次數101111912729擲此骰子60次點數12平均數

30平均數30相對次數

31相對次數316個相對次數都應接近等於1/6326個相對次數都應接近等於1/632離散型的隨機變數期望值

或稱平均數33離散型的隨機變數期望值

或稱平均數33變異數定義

34變異數定義34變異數也可利用下列二式計算

35變異數也可利用下列二式計算35例5.6、(例5.1續)甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，令X表甲擲1次骰子後所得的錢，求(1)X的期望值(2)X的變異數。36例5.6、(例5.1續)甲、乙兩人玩擲骰子遊戲，36X的機率分佈

37X的機率分佈37(1)X的期望值

38(1)X的期望值38(2)X的變異數

39(2)X的變異數39例5.7、(例5.2續)甲、丙兩人玩擲骰子遊戲中，令Y表甲擲1次骰子後所得的錢，求(1)Y的期望值(2)Y的變異數

40例5.7、(例5.2續)甲、丙兩人玩擲骰子遊戲中，40Y的機率分佈

41Y的機率分佈41(1)Y的期望值

42(1)Y的期望值42Y的變異數

43Y的變異數43例5.9、(例5.5續)令X代表擲一個公正銅板4次出現正面的次數，求(1)X的期望值與(2)X的變異數？

44例5.9、(例5.5續)令X代表擲一個公正銅板4次出現正面X機率分佈

45X機率分佈45期望值

46期望值46X的變異數

47X的變異數47公司四個部門男女生人數統計交叉列表

48公司四個部門男女生人數統計交叉列表48(1)求X,Y的聯合機率分佈。(2)試證事件(X=0)與事件(Y=1)是不獨立的

49(1)求X,Y的聯合機率分佈。49X,Y聯合機率分佈

50X,Y聯合機率分佈50事件(X=0)與事件(Y=1)是

不獨立的

51事件(X=0)與事件(Y=1)是

不獨立的51隨機變數獨立

52隨機變數獨立52535354545555相加期望值56相加期望值565757畢氏定理

解釋X,Y相加的變異數

58畢氏定理

解釋X,Y相加的變異數58當資料是從某母體隨機取樣

n個(即X1,X2,...,Xn是iid)

59當資料是從某母體隨機取樣

n個(即X1,X2,...,Xn期望值的意義

例5.11、設某君花50元買一張獎券(如愛國獎券等)，請問這張獎券實際價值是多少錢？

60期望值的意義例5.11、設某君花50元買一張獎券60表5.2愛國獎券之獎金與名額

61表5.2愛國獎券之獎金與名額61您可想像如果把所有獎券都買進，則所有獎金都是您的，獎金共得

62您可想像如果把所有獎券都買進，則所有獎金都是您的，獎金共得6363期望值定義

64期望值定義645.3

二項分配

擲一銅板其結果有二種可能，正面或反面，正面或稱成功，以X=1表示，反面或稱失敗，以X=0表示，這種只有二種結果的試驗(或實驗)稱為伯努利試驗(BernoulliTrial)，655.3二項分配

擲一銅板其結果有二種可能，65例5.18、袋中取球觀其顏色:

某公司舉辦摸紅球贈獎活動一袋中有紅球r個、非紅球b個、每位顧客由袋中取一球觀其顏色，如取到紅球可獲獎品，否則無獎品。因每次取出的球只有兩種可能，分別為紅球(稱之為成功)與非紅球(稱之為失敗)故為伯努利試驗

66例5.18、袋中取球觀其顏色:

某公司舉辦摸紅球贈獎活動一袋例5.19、擲骰子：擲一個骰子，結果只有擲出點數

是〝2〞與不是〝2〞兩種可能，我們可以定義擲出點數〝2〞為成功，其他點數為失敗。此種試驗不論骰子是否公正，都是伯努利試驗

67例5.19、擲骰子：擲一個骰子，結果只有擲出點數67例5.20、候選人得票率調查：受訪者若支持候選人甲為成功，否則為失敗(未定者為無效樣本)。此種調查，每位受訪者只有兩種可能:

支持與不支持故為伯努利試驗

68例5.20、候選人得票率調查：受訪者若支持候選人甲為成功，6例5.21、產品不良率調查:抽到不良品為成功，抽到良品為失敗每次抽到產品只有

良品與不良品兩種可能結果故為伯努利試驗

69例5.21、產品不良率調查:抽到不良品為成功，抽到良品為失敗二項分配如果重複做同樣狀況的伯努利試驗n次，求這n次中出現正面(或成功)次數的機率是多少？這種從n次實驗中求有x次成功機率分配，稱之為二項分配(BinomialDistribution)70二項分配如果重複做同樣狀況的伯努利試驗n次，求這n次中出現正1.二項分配特徵如下

(1)全部做n次重複的試驗。(2)每一次試驗只有二種可能，第i次若成功以Xi=1表示，若失敗以Xi=0表示。(3)n次試驗是獨立的(Independent)(即上一次實驗結果不會影響下一次)。(4)每一次試驗成功的機率都是同樣的，成功機率都是p。711.二項分配特徵如下(1)全部做n次重複的試驗。717272為什麼叫二項分配呢？

這是由二項式定理而得名

73為什麼叫二項分配呢？

這是由二項式定理而得名73例5.22、若丟一個銅板(公正)6次，請問恰有3次正面，3次反面的機率是多少？

74例5.22、若丟一個銅板(公正)6次，74恰有3次正面的機率

75恰有3次正面的機率75例5.23、擲一公正骰子6次,問(1)6次都未出現點數2的機率是多少？(2)恰有一次出現點數2的機率是多少？(3)6次都出現點數2的機率是多少?

76例5.23、擲一公正骰子6次,問(1)6次都未出現點數2(1)6次皆未出現點數2的機率

77(1)6次皆未出現點數2的機率77(2)恰有1次點數2的機率

78(2)恰有1次點數2的機率78(3)6次皆出現點數2的機率

79(3)6次皆出現點數2的機率792.二項分配的形狀(Shape)

二項分配的機率圖有一共同特徵，即x由0到n，開始時機率值P(x)隨x增加而增大到某一點後就接著下降(即所謂單峰情形)，二項分配機率值P(x)最高點是在

x=[(n+1)p]，除非(n+1)p為整數。在(n+1)p為整數時，有兩個最高點分別在x=(n+1)p-1及x=(n+1)p。802.二項分配的形狀(Shape)二項分配的機率圖有一共同特二項分配的圖形可能對稱，也有可能右偏，或是左偏，決定於成功的機率值p，如果p=0.5，則圖形是對稱；如果p<0.5，則圖形右偏；若p>0.5，則左偏81二項分配的圖形可能對稱，也有可能右偏，或是左偏，81二項分配X~B(30,p)為例，以p=0.5,0.8,0.2計算機率密度及圖形形狀

82二項分配X~B(30,p)為例，以p=0.5,0.8,0.8383848485853.二項分配的平均值與變異數

X是二項分配B(n,p)，則其平均值與變異數公式為(i)E(X)

=np

(ii)Var(X)=np(1-p)

863.二項分配的平均值與變異數X是二項分配B(n,p)，則8例5.26、奧華航空公司

奧華航空公司接受訂位，經常有顧客訂位但未來搭乘，根據經驗約有20%的人訂位而未到，若奧華航空飛機只有20個座位，但已接受25個訂位，在沒有後補顧客的情況下，87例5.26、奧華航空公司奧華航空公司接受訂位，87求(1)至少有一位訂位者沒有座位的機率是多少？(2)至少有一空位的機率是多少？(3)求這25位訂位者會到機場人數的平均數與標準差？88求(1)至少有一位訂位者沒有座位的888989例5.27、大成公司

大成公司每天生產數千個晶體，已知產品有1%的晶體不符合規格，每小時檢查人員隨機選取40個樣本，X表示40個樣本中不符合規格零件的個數，求X小於或等於1的機率

90例5.27、大成公司大成公司每天生產數千個晶體，9091915.4

超幾何分配

上節摸彩例子中，每次由袋中取球，看完顏色後又放回袋中，所以上次取出球的顏色(成功、失敗)不會影響下次取出紅球(成功)的機率。下面仍然討論由袋中取球，但每次取出的球不再放回袋中，則上次取出球的顏色會影響下一次取出紅球的機率

925.4超幾何分配上節摸彩例子中，每次由袋中取球，92超幾何分配的架構與二項分配一樣，都是伯努利試驗，即每次試驗只有二種結果，也是做n次試驗，所不同的是試驗與試驗間不再是獨立，下一次試驗結果受上一次試驗結果影響。93超幾何分配的架構與二項分配一樣，93

1.超幾何分配X~H(N,n,r)的

機率密度函數

94

1.超幾何分配X~H(N,n,r)的

機率密度函數9595例5.28

全班有32位男生、18位女生，抽籤派5位代表出公差，問(1)抽到2位男生，3位女生的機率是多少？(2)抽到女多於男的機率是多少？

96例5.28全班有32位男生、18位女生，969797超幾何分配期望值與變異數:若X~H(N,n,r)

98超幾何分配期望值與變異數:若X~H(N,n,r)93.超幾何分配近似於二項分配

993.超幾何分配近似於二項分配99例5.29、產品中不良率

已知某製程生產的產品中不良率是10%，從1000件產品隨機取出10件，令X表示不良品的個數，求(1)P(X=2)=？(2)P(X

2)=？

(3)求E(X)及Var(X)

100例5.29、產品中不良率已知某製程生產的產品中不良率是10101101102102103103例5.30、抽樣驗收

清華電子公司接到一批500個電子零件，合約上說明，如果從此批中任選10個檢查，發現超過一個不良品即可退貨，則接受此批貨。(1)試問如果此批貨中