理想气体的压强公式课件

第8章（Thetheoryofmolecularmotionofgas)

(6)气体动理论热学(Thermodynamics)1第8章（Thetheoryofmolecul分子物理学是从物质的微观结构出发,应用统计的方法,研究微观态和宏观态的联系,揭示宏观量的微观本质。热力学是从能量守恒和转化的角度来研究热运动规律的,不涉及物质的微观结构。它根据由观察和实验所总结出的基本规律(主要是热力学第一定律、第二定律等),用逻辑推理的方法,研究物体的宏观性质及宏观过程进行的方向和限度等。热学是研究热现象的规律及其应用的学科,它包括分子物理学和热力学两个方面。2分子物理学是从物质的微观结构出发,应用统计的§8-1热力学系统平衡态一.热力学系统宏观物体是由大量分子和原子组成的一个系统,这个系统就称为热力学系统。与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量交换)的系统,称为孤立系统。

与外界没有质量交换和但有能量交换的系统,称为封闭系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统,称为开放系统。二.理想气体

严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖-吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律)的气体,称为理想气体。3§8-1热力学系统平衡态一.热力学系

在不受外界影响(孤立系统)的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态,称为平衡态。

平衡态不同于系统受恒定外界影响所达到的定态。

平衡态仅指系统的宏观性质不随时间变化,但微观上分子仍在不停地运动和变化。四.状态参量描述平衡态下系统宏观属性的一组独立宏观量

状态参量。

气体处于平衡态的标志是状态参量P、V、T处处相同且不随时间变化。三.平衡态4在不受外界影响(孤立系统)的条件下，系统的宏观性(8-1)单位:SI压强p:Pa帕斯卡(帕斯卡)。1atm=76cmHg=1.013×105Pa(atmosphere)体积V：m3;1l=10-3m3

温度T：K(T=273+tC

)M:气体质量(kg);Mmol:摩尔质量(kg)。普适气体恒量:R=8.31(J.mol-1.K-1)§8-2热力学第零定律(自学)§8-3理想气体的状态方程5(8-1)单位:SI§8-2热力学第零定律(玻耳兹曼常量

k=R/No=1.38×10-23(J.K-1)R=8.31(J.mol-1.K-1)于是理想气体状态方程又可写为

pV=NkT式中：n=N/V—分子的数密度。或p=nkT(8-2)m

分子质量,N

气体分子数(8-1)6玻耳兹曼常量k=R/No=1.38×10-23(J例题8-1估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。

解由公式：p=nkT，标准状态:p=1atm=1.013×105Pa,T=273=2.7×1025(个/m3)=2.7×1019(个/cm3)7例题8-1估算在标准状态下，每立方厘米的空例题8-2一氧气瓶的容积V=32l,瓶中氧气压强p1=130atm。规定瓶内氧气的压强降到p2=10atm时就得充气,以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需用pd=1atm的氧气Vd=400l,问一瓶氧气能用几天?

解抓住：分子个数的变化，用pV=NkT求解。使用后瓶中氧气的分子个数:(设使用中温度保持不变)每天用的氧气分子个数:能用天数：未使用前瓶中氧气的分子个数:8例题8-2一氧气瓶的容积V=32l,例题8-3一长金属管下断封闭,上端开口,置于压强为po的大气中。今在封闭端加热达T1=1000K,而另一端则达到T2=200K，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算此时管内气体的压强(不计金属管的膨胀)。

解初态(加热时)是定态,但不是平衡态。末态是平衡态。关键是求出管内气体的质量。.......图8-1x,L

管长对x处的气体元(dx,dM)可视为平衡态:dxxdM9例题8-3一长金属管下断封闭,上端开口.......图8-1xdxx,S

管横截面积10.......图8-1xdxx,S管横截面积10.......图8-1xdxx末态:封闭开口端,并使管子冷却到TE=100K。=0.2po最后得11.......图8-1xdxx末态:封闭开口端,并使管子冷§8-4理想气体的压强和温度

一.理想气体的微观模型(1)分子本身的线度与分子之间的平均距离相比可忽略不计。(2)分子之间距离很大,除碰撞的瞬间外,可不计分子间的相互作用力;如无特殊考虑,重力也可忽略。(3)分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是完全弹性的,即气体分子的动能不因碰撞而损失。(4)分子在做永不停息的热运动。无外力场时，处于平衡态的气体分子在空间的分布是均匀的；分子沿任一方向运动的概率是相等的，于是可作出如下统计假设：12§8-4理想气体的压强和温度一.理想气体二.理想气体的压强公式理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁的压强,是大量分子对器壁不断碰撞的结果。单位时间内与器壁A上单位面积碰撞的分子数,显然就是在此斜柱体中的分子数：ni

ix

一个分子碰撞一次给器壁A的冲量：

ix

ix图8-2A........2m

ix

设容器内气体分子质量为m,分子数密度为n,而单位体积中速度为

i的分子数为ni。现沿速度

i方向取一底面为单位面积、高为

ix的斜柱体。13二.理想气体的压强公式理想气体处于平衡态下，气体在宏单位时间内与器壁A上单位面积碰撞的分子数：ni

ix

一个分子碰撞一次给A面的冲量：2m

ix

x图8-3A........

ix

i这些分子单位时间内给予器壁A单位面积上的冲量就为：2mni

ix2

对所有可能的速度求和，就得单位时间内给予器壁A单位面积上的总冲量：14单位时间内与器壁A上单位面积碰撞的分子数：x图考虑到，平均来说，

ix0和

ix0的分子各占一半。故单位时间内给予器壁A单位面积上的总冲量,x图8-3A........

ix

i单位时间内给予器壁A单位面积上的总冲量：即单位面积上的平均冲力

压强为:(Fixt=mx,t=1)15考虑到，平均来说，ix0和ix0的x图8-3A........

ix

i所以压强：16x图8-3A........ixi所以压强：16理想气体的压强公式：(8-3)—气体分子的平均平动动能令压强：17理想气体的压强公式：(8-3)—气体分子的平均平动动能令压强三.温度的统计意义从以上两式消去p可得分子的平均平动动能为(8-4)可见，温度是分子平均平动动能的量度。这就是温度的统计意义。应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现,只具有统计意义；对于单个分子,说它有温度是没有意义的。因p=nkT，18三.温度的统计意义从以上两式消去p可得分子的平均平动动能为(四.混合气体内的压强道尔顿分压定律设容器内有多种气体，n=n1+n2+…+ni…+nn,其中ni是第i种气体的分子数密度,由压强公式有于是有p=p1+p2+……+pn

这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。19四.混合气体内的压强道尔顿分压定律设例题8-4一容器体积V=1m3,有N1=1×1025个氧分子，N2=4×1025氮分子，混合气体的压强p=2.76×105pa,求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。解由压强公式所以=8.26×10-21J又混合气体的的温度：=400K20例题8-4一容器体积V=1m3,有N1=例题8-5两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但体积不同，则(1)它们单位体积中的分子数相同。(2)它们单位体积中的气体质量不相同。(3)它们单位体积中的分子平均平动动能的总和(p=nkT)(

=mn)(Ek=nEt)相同。21例题8-5两瓶不同种类的气体，温度、压§8-5能量按自由度均分定理

一.气体分子的自由度

自由度—确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目。

单原子气体分子可视为质点,确定它在空间的位置需3个独立坐标，故有3个平动自由度。刚性双原子气体分子两原子之间成哑铃似的结构,确定它的质心,要3个平动自由度，确定连线，要2个转动自由度；所以共有5个自由度。C

图8-422§8-5能量按自由度均分定理一.气体分确定它的质心,要3个平动自由度，确定连线，要2个转动自由度；确定沿连线的振动,要1个振动自由度，所以共有6个自由度。图8-5

C非刚性双原子气体分子相似为弹簧哑铃似的结构,

多原子气体分子(原子数n3)

刚性:6个自由度(3个平动自由度,3个转动自由度);非刚性：有3n个自由度,其中3个是平动的,3个是转动的,其余3n-6是振动的。在常温下,不少气体可视为刚性分子,所以只考虑平动自由度和转动自由度,但在高温时,则要视为非刚性分子,还要考虑振动自由度。23确定它的质心,要3个平动自由度，图8-5C非刚性气体分子自由度小结i=3(单原子)5(刚性双原子)6(非刚性双原子)6(刚性多原子(n3))3n(非刚性多原子(n3))特别是对刚性气体分子，自由度为i=3(单原子)5(刚性双原子)6(刚性多原子(n3))气体分子的自由度：24气体分子自由度小结i=3(单原子)5(刚性在上节中我们已得到分子的平均平动动能二.能量按自由度均分定理可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能都相等，都为。25在上节中我们已得到分子的平均平动动能二.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理：理想气体处于平衡态时,其分子在每个自由度上的平均动能都相等，都为。设某分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，则该分子的总自由度：i=t+r+s;分子的平均总动能：分子的平均振动动能：分子的平均转动动能：分子的平均平动动能：26能量按自由度均分定理：理想气体处于平衡态时,分子的平均总能量：对每个振动自由度，由于平均势能和平均动能相等,故分子不仅有的平均动能,还应有的平均振动势能。因此，(8-5)这里：i=t+r+s，是分子的总自由度。对刚性气体分子(无振动自由度),平均总能量:(8-6)27分子的平均总能量：对每个振动自由度，由于平三.理想气体的内能对于实际气体来讲,除了分子的各种形式的热运动动能和分子内部原子间的振动势能外,由于分子间存在着相互作用的保守力,所以分子还具有与这种力相关的势能。所有分子的这些形式的热运动能量和分子间势能的总和,叫做气体的内能。理想气体分子间无相互作用,所以理想气体的内能是所有分子的热运动能量的总和。由于一个(刚性)分子的平均总能量为所以一摩尔理想气体的内能为(Nok=R)28三.理想气体的内能对于实际气体来讲,除了分子的各M千克理想气体的内能为(8-7)例8-6容器内盛有单原子理想气体，测得压强为p，那么单位体积中的内能为多少？解

由(8-14)的内能公式：所以29M千克理想气体的内能为(8-7)例8-6例8-7容器内有co2和o2两种混合气体，混合气体的热力学温度T=290K,总的内能E=9.64×105J,总质量M=5.4kg，求两种气体的质量。解

设co2的质量为M1，o2的质量为M2，则

M1+M2=M总的内能：解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。视为刚性分子。30例8-7容器内有co2和o2两种混合气例8-8如图8-6，容器两边是同种气体，左边的压强、温度、体积分别是p1、T1、V，右边的压强、温度、体积分别是p2、T2、V；抽去中间的隔板，让两边的气体混合(设混合过程中气体与外界无能量交换)，求平衡时的压强和温度。解

因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：又p1V=v1RT1,p2V=v2RT2p(2V)=(v1+v2)RT解得图8-6P1T1

VP2T2

V......31例8-8如图8-6，容器两边是同种气体，§8-6麦克斯韦气体分子速率分布律气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约上百亿次！)。由于频繁的碰撞，分子的速率在不断地改变着。因此，在某一个特定的时刻去观察某个特定的分子，它的速度具有怎样的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫无意义的。然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速率分布却遵循一个确定的统计规律。这是1859年麦克斯韦首先应用统计概念导出的，称为麦克斯韦速率分布定律。学习重点：统计意义32§8-6麦克斯韦气体分子速率分布律气体分一.麦克斯韦速率分布定律理想气体处于温度T的平衡态时,在速率区间

—+d内的分子数为

dN=Nf()d(8-8)这就是麦克斯韦速率分布定律。式中N为分子总数，f()称为麦克斯韦速率分布函数，它为式中：m是气体分子的质量,k是玻耳兹曼常数。(8-9)33一.麦克斯韦速率分布定律理想气体处于温度T的1.麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义由dN=Nf()d

f()表示：在速率

附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。(或叫做：分子速率出现在

附近的单位速率区间内的概率

概率密度。)

—在速率区间

—+d内的分子数占总分子数的百分比。341.麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义由2.麦克斯韦速率分布曲线(a)速率分布特征：速率可取0—内的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速率的分子最多。(b)曲线有一个最大值，对应的速率为—最可几(概然)速率f()

o图8-7352.麦克斯韦速率分布曲线(a)速率分布特征：最可几(概然)速率的物理意义是：在温度T的平衡态下，速率在

p附近单位速率区间内的的分子数最多。(c)曲线下面积的物理意义

—在速率区间

1—

2

内的分子数占总分子数的百分比。

1

2f()

o图8-8d36最可几(概然)速率的物理意义是：在温度T的平of()

图8-9d整个曲线下的面积,即这一关系式称为分布函数f(

)的归一化条件。归一化条件的物理意义是：分子速率在0—

间的概率是1。37of()图8-9d整个曲线下的面积,即二.三种统计速率1.最可几(概然)速率

p—与分布函数f(

)的极大值对应的速率。由极值条件df(

)/d

=0可以得到of()

图8-9(8-10)38二.三种统计速率1.最可几(概然)速率p—与分

解速率区间

—+d内的分子数:dN=Nf()d速率区间

—+d内的分子速率之和:

dN=N

f()d速率区间

1—

2内分子速率之和:速率区间

1—

2内的分子数:于是速率区间

1—

2

内分子的平均速率为例8-9求速率区间

1—

2

内分子的平均速率。39解速率区间—+d内的分子数:dN=N速率区间0—

内分子(全体分子)的平均速率为完成积分，求得平均速率为

2.平均速率

40速率区间0—内分子(全体分子)的平均速率为完成积分，求得平3.方均根速率

与求平均速率类似：

2=于是方均根速率为

2

2413.方均根速率与求平均速率类似：2=于是例8-10(1)nf()d的物理意义是什么？(n是分子的数密度)nf()d—表示单位体积中，速率在

—+d内的分子数。

(2)写出速率不大于最可几速率

p的分子数占总分子数的百分比：

(f()d—速率区间

—+d内的分子数占总分子数的百分比。此题区间:0

—

p)=42.9%42例8-10(1)nf()d的物例8-11(1)图8-10中是同温度下，H2和O2

的麦克斯韦速率分布曲线，由图可知，H2的最可几速率为m/s;O2的最可几速率为m/s。图8-10(m/s)f()o1000400010001.03kg/m3

2(2)某气体的方均根速率=450m/s,压强p=7×104pa,则该气体的质量密度为。

2

2243例8-11(1)图8-10中是同温度下，例8-12图8-11中是某种气体在不同温度下的麦克斯韦速率分布曲线，已知T2>T1。由图可知，随着温度的升高，曲线高度降低了，这是为什么？图8-11

f()oT2T1答：当温度升高时,气体分子的速率普遍增大,速率分布曲线上的最大值也向量值增大的方向迁移,即最可几(概然)速率增大了;但因曲线下总面积,即分子数的百分率的总和是不变的,因此分布曲线在宽度增大的同时,高度降低,整个曲线显得较为平坦些。44例8-12图8-11中是某种气体在不同温例8-13假定N个粒子的速率分布函数为

求(1)归一化常数C;(2)处在f()>的粒子数。C2o图8-12

of()解(1)由归一化条件:45例8-13假定N个粒子的速率分布函数为(2)处在f()>的粒子数:C2o图8-12

of()>C2N所以f()>的粒子数:C246(2)处在f()>的粒子数:C2o图8-12§8-7玻耳兹曼分布定律玻耳兹曼从理论上导出:在温度为T的平衡态下,气体分子处在坐标区间(xx+dx,yy+dy,zz+dz)和速度区间(

x

x+dx,

y

y+dy,

z

z+dz)内的分子数为1.玻耳兹曼分布律式中:no表示势能EP为零处单位体积中的分子数，E=Ek+Ep是分子的总能。特点：几率因子决定着分子的分布。47§8-7玻耳兹曼分布定律玻耳兹曼从理论上设处于能态E1,E2(E1<E2)上的分子数分别为N1，N2，根据玻耳兹曼分布律，有由于E2>E1,所以N2<N1。即：通常温度下,处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说,按统计分布来看,分子总是优先占据能量较低的状态。这叫正常分布。

48设处于能态E1,E2(E1<E2)上的+

+

将上式对所有可能的速度