陶杰版材料科学基础-第1章-晶体学基础

第一章晶体学基础1.1晶体的周期性和空间点阵1.2布拉菲点阵1.3晶向指数与晶面指数1.4晶面间距、晶面夹角和晶带定理1.5晶体的对称性1.6极射投影一、晶体的基本概念二、晶体的基本性质三、晶体学的主要研究内容§1.1晶体的基本概念与性质

凡是具有（非人工琢磨而成）几何多面体形态的固体都称之为晶体？一、晶体的基本概念无色水晶水晶晶簇黄铁矿石盐冰州石石榴石绿柱石金刚石萤石玻璃电气石(碧玺)石墨人造刚玉

多晶晶体？软玉晶体？翡翠1912年，X射线晶体衍射实验成功，对晶体的研究从晶体的外部进入到晶体的内部。食盐现已证明，一切晶体不论其外形如何，它的内部质点（原子、离子、分子）都在三维空间有规律排列。晶体：晶体是内部质点（原子、离子或分子）在三维空间呈周期性重复排列的固体。有些固体如玻璃、琥珀、松香等，它们的内部质点不作规则排列，称为非晶体。即原子无规则堆积，也称为“过冷液体”。

NaCl晶体结构比较图晶体与非晶体关系1.晶体与非晶体的区别：

a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列。

b.熔化时：晶体具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围。

c.性能：晶体具有各向异性,非晶体呈各向同性。2.晶体与非晶体相互转化如：玻璃长时间高温加热转化为晶体玻璃；晶体在急冷条件下转化为非晶体。玻璃调整内部结构基元的排列方式——晶体（退玻璃化或晶化）晶体——非晶体（玻璃化或非晶化）3.单晶体与多晶体

a.单晶体：质点按同一取向排列。由一个核心（称为晶核）生长而成的晶体

b.多晶体：通常由许多不同位向的小晶体(晶粒）所组成。

c.晶粒与晶粒之间的界面称为晶界

d.多晶体材料一般显示出各向同性——假等向性液晶:介于固态和液态之间的各向异性的流体。性质上：既具有液体的可流动性、粘滞性，又具有晶体的各向异性结构上：具有一维或二维近似有序晶，即分子按某一从优方向排列平移无序或部分平移无序的液晶物质的其它聚集形态准晶是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有晶体所不允许的宏观对称性。物质的其它聚集形态以色列人达尼埃尔·谢赫特曼以发现准晶体赢得2011年度诺贝尔化学奖。伊朗某清真寺的建筑设计，类似准晶的排列penrose瓷砖1、均匀性2、各向异性3、自限性4、对称性5、最小内能性二、晶体的基本性质4、对称性：在某些特定的方向上所表现出来的物理化学性质完全相同，且具有固定的熔点；是指同一晶体中的相同部分或某种相同的性质在不同的方向或位置上作有规律地重复。5、最小内能性：在相同的热力学条件下晶体与同种物质的非晶质体、液体、气体相比较，其内能最小。晶体学？1、均匀性：晶体不同部位的宏观性质相同；同一晶体的各部分的物理化学性质相同。2、各向异性：在晶体中不同方向上有不同的性质；同一晶体在不同方向上性质有所差异。3、自限性：晶体具有自发地形成规则几何外形的特征；是指晶体在适当条件下可以自发地形成封闭的凸几何多面体的性质。云母、排队、冰晶体生长学：研究晶体发生、成长机理和晶体的合成。几何结晶学：研究晶体外形的几何规律。晶体结构学：研究晶体内部结构的几何规律、结构型式和构造的缺陷。晶体化学：主要研究晶体的化学成分和结构的关系，并进而探讨成分、结构与其性能和生成条件的关系。晶体物理学：研究晶体的物理性质及其产生机理。三、晶体学的主要研究内容好好学习天天向上本节重点掌握：1、概念：晶体2、晶体的基本性质一、晶体结构与空间点阵二、单胞（单位平行六面体）三、布拉维点阵§1.2

空间点阵教学要求：1、掌握晶体空间点阵、晶面和晶向指数；2、掌握理想晶体和实际晶体的晶体结构；3、了解合金相结构。重点：3种典型的晶体结构及晶体缺陷。

难点：晶体结构与晶体缺陷。学时：共4学时。NaNO2一、晶体结构与空间点阵34

(a)晶体结构

(b)结构单元

(C)空间点阵两个定义等同点：是指晶体结构中占据相同位置和具有相同环境的一系列几何点。CsCl结构基元：是指晶体结构中重复排列的基本单位。每个结构基元化学组成相同、空间结构相同、排列取向相同、周围环境相同。1、原子（离子）的刚球模型原子中心位置钢球模型—用钢球代表空间排列的原子等。但难看清原子排列的规律和特点。可直观地看出原子在各个方向的排列都是很规则的。怎么办？晶胞

晶格：描述原子或原子团在晶体中排列方式的几何空间格架。

晶胞：从晶格中选取出来的一个能够完全反映晶格特征的最小几何单元。

阵点：将构成晶体的原子或原子群抽象为纯粹的几何点。

空间点阵：将构成晶体的原子等抽象为几何点，得到一个由无数几何点在三维空间规则排列而成的阵列-是数学上的抽象。2、点阵（晶格）模型晶体中原子堆垛、晶格和晶胞示意图构成晶体的基元在三维空间的具体排列方式。晶体结构=空间点阵+基元注意：晶体结构和空间点阵的区别空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性。由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列方式。它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构类型是无限的。联系：晶体结构的结构基元与相应空间点阵的结点在空间排列的周期一致看四种晶体点阵点群与点阵点的位置点群晶体结构空间点阵+结构基元单胞金属晶体分子晶体原子晶体离子晶体

晶体结构空间点阵单胞定义选取原则表征二、单胞（单位平行六面体）

构成空间格子的具有代表性的基本单元（平行六面体）称为单胞。将单胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。1、定义所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的周期性和对称性；在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多；在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。2、单胞的选取原则具有L44P的平面点阵单胞表征单位平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、β、γ是表示它本身的形状、大小的一组参数，称为点阵常数（或晶格常数）3、单胞的表征原点：单胞角上的某一阵点坐标轴：单胞上过原点的三个棱边x，y，z点阵参数：a，b，c，α，β，γXYZabc晶格常数a，b，c

轴间夹角α，β，γ晶轴X，Y，Z晶胞的几何特征晶胞

：是指能够反映整个晶体结构特征的最小结构单位。

由具体的有物理、化学属性的物质点所组成。

单胞：构成空间格子的具有代表性的基本单元。

由不具有任何物理、化学特性的几何点构成联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是一致的，可由同一组晶格常数来表示。不区分图示注意：晶胞与单胞的区别（了解）空间点阵晶胞单胞大晶胞NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°空间点阵到底有多少种排列新方形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型，这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。三、布拉维点阵1、单胞的形状分类及其格子常数特点根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属7种晶系。晶系单胞形状格子常数特点立方晶系

a=b=cα=β=γ=90°四方晶系（正方）

a=b≠cα=β=γ=90°六方晶系

a=b≠cα=β=90°γ=120°三方(菱方)晶系

a=b=cα=β=γ≠90°斜方(正交)晶系

a≠b≠cα=β=γ=90°单斜晶系

a≠b≠cα=γ=90°β＞90°三斜晶系

a≠b≠cα≠β≠γ≠90°Bravais晶系的格子常数特点根据平行六面体中结点的分布情况，又可以分为四种格子类型：原始格子（P）、底心格子（C）、体心格子（I）和面心格子（F）。原始格子底心格子体心格子面心格子2、单胞的结点分布类型：（P）（C）（I）（F）3、14种布拉维格子具体p1114种布拉菲空间点阵：包括简单晶胞和复杂晶胞。三斜P三斜C单斜P正交P立方P立方I立方F六方H三方R四方P四方I正交C正交F正交I晶体结构空间格子(14种)单胞(14种)晶胞晶系(7个)形状、大小一致找等同点找代表找代表据点阵参数晶体划分为好好学习天天向上本节重点掌握：1、概念：空间点阵；晶胞；点阵常数2、空间点阵及其要素3、Bravais晶系的格子常数特点一、晶向指数二、晶面指数三、六方晶系的晶向指数和晶面指数四、晶带五、晶面间距晶向、晶面§1.3

晶向指数和晶面指数晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排列的方向，称为晶向。通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表示晶体结构的空间的各个方向。晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表晶体中的原子平面，称为晶面。晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号，国际上用Ｍiller指数来统一标定。晶面指数和晶向指数：表述不同晶面和晶向的原子排列情况及其在空间的位向。

∵不同的晶面和晶向上原子排列的疏密程度不同，原子间相互作用就不同

∴┒力学性能和理化性能也不同。2、求法1）建立坐标系。以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，三条棱为坐标轴，以晶胞的点阵常数a、b、c分别为x、y、z轴的长度单位，建立坐标系。注意，坐标原点的选取应便于确定坐标值。2）确定坐标值。在待定晶向OP上确定距原点最近的一个结点P的坐标值(x,y,z)3）化整并加方括号。将坐标的比化为最小整数比，即x:y:z=u:v:w,把所得最小整数加以方括号，即得待定晶向OP的晶向指数[uvw]。如果u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的

坐标值决定。一、晶向指数设坐标，求坐标，化整数，列括号①设坐标②求坐标值③将所得坐标值约成互质整数（化整数），再加方括号[]。④若晶向指向坐标负方向，则在晶向指数的这一数字之上冠以负号。[112](1,1/2,0)→求坐标、化整数→晶向为[210][120](1)立方晶系的晶向指数[uvw]的确定方法A(1,0,1)，B(0,1,1)→求坐标、化整数(-1,1,0)→晶向指数为例1：在晶胞里①建坐标②定坐标

③化整并加方括号

例2：（1/3，2/3，1）（1/3，2/3，1）1/3:2/3:1=1:2:3[123]练习立方晶向、晶面立方晶系一些重要晶向的晶向指数画线3、晶向指数还有如下规律：（1）某一晶向指数代表一组在空间相互平行且方向一致的所有晶向。（2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。例：立方格子中<100>晶向族包括[100]、[010]、[001]、

[00]、[00]、[00]六个晶向。<111>晶向族包括[111]、[11]、[11]、[1]、

[]、[1]、[1]、[11]八个晶向。晶向族:任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数。

1、晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面与三个

坐标轴的截距值决定。2、求法1）建坐标。以晶胞的某一阵点O为原点，三条棱为坐标轴，以晶胞的点阵常数a、b、c分别为x、y、z轴的长度单位，建立坐标系。注意，坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待定晶面上。2）定截距。量出待定晶面在三个坐标轴上的截距x,y,z。如果该晶面与坐标轴平行，则其截距为∞。3）取倒数。取截距的倒数1/x,1/y,1/z。4）化整并加圆括号。将倒数比化为最小整数比，即1/x:1/y:1/z=h:k:l,把所得最小整数加以圆括号，即得待定晶面的晶面指数（hkl）。如果截距为负值，则将负号标注在相应指数的上方（hkl

）。密勒指数二、晶面指数例1：

晶面指数图解(321)2，3，61/2，1/3，1/61/2︰1/3︰1/6=

3︰2︰1①建坐标②

定截距③取倒数④

化整并加圆括号例2：练习立方1/2，1/3，2/32，3，3/2(463)①建坐标②定截距③取倒数④化整并加圆括号2:3:3/2=4:6:3立方晶系中一些晶面的晶面指数

练习计算（1）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b、6c，求出该晶面的米勒指数；（2）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为a/3、b/2、c，求出该晶面的米勒指数。练习：标定晶面指数解：（2）h:k:l=1/1/3:1/1/2:1/1=3:2:1∴该晶面的米勒指数为（321）解：（1）h:k:l=1/2:1/3:1/6=3:2:1∴该晶面的米勒指数为（321）3、几点说明①晶面指数（hkl）不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶面；②平行晶面的晶面指数相同，或数字相同而正负号相反，如(hkl)和（hkl）；1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换2.若晶面与对应坐标平行，则在该坐标上的指数为03.hkl表示沿三个坐标单位长度范围内所含该晶面的个数，即晶面线密度。晶面指数规律：（1）某一晶面指数代表了在原点同一侧的一组相互平行且无限大的晶面。(2)若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互相平行。{100}晶面族包括六个等同晶面（组合成立方体的6个面）{110}晶面族包括十二个等同晶面（组合成菱形十二面体的12个面）{111}晶面族包括八个等同晶面（组合成八面体的8个面）作业例：晶面指数的标注截距——取倒数——化整数例：立方晶系晶面指数的标注在晶体内凡晶面间距和晶面上原子排列分布情况完全相同，只是空间位向不同的一组晶面的集合称为晶面族。

在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符号相同，则该晶向与晶面必定是互相垂直。如：[111]⊥（111）、[110]⊥（110）、[100]⊥（100）。Total:12{hkl}晶面族：等价晶面晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果。{110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)+(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT)晶面族中等价晶面的个数用于多晶x射线衍射中多重性因子的表示。立方晶系晶体Total:8Total:24{111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+

(TT1)+(1TT)+(T1T)＋(TTT)立方晶系：再加上以上各指数均取相反数的符号。立方晶系：Total:48再加上以上各指数均取相反数的符号。六方原始格子组成的大晶胞（由3个底面为菱形的柱体拼成）不能三、六方晶系的晶向指数和晶面指数

用三个指数表示晶面和晶向的方法原则上适用于任意晶系。对六方晶系，取

a，b，c为晶轴，而

a

轴与

b

轴的夹角为120°，c

轴与

a，b轴相垂直，如右图所示。

但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数（MillerIndices）却分别是110和(100)。图中夹角为60°的两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]。

由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示。

四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3

和

c轴，其中，a1，a2和

c轴就是原胞的

a，b

和c

轴，而

a3=-(a1+a2)。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。

六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，步骤如下：（1）先找出该面在四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵常数a,c为单位长）；

（2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指数，这样得到的晶面指数称为米勒指数。

六方晶系晶面指数标定根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(hkil）四个指数来表示。

根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：可以证明:i≡－(h＋k)a3＝一(a1+a2)六方晶体中常见的晶面(1)平移晶向(或坐标)，让原点为晶向上一点，取另一点的坐标;(2)必须满足u+v+t＝0，或t=－(u+v)。标定方法：晶向指数晶向指数[uvtw]

四个指数来表示。(3)化成最小、整数比u：v：t：w(4)放在方括号中[uvtw]，不加逗号，负号记在上方

。

六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化三轴晶向指数[UVW]四轴晶向指数[uvtw]三轴晶面指数(hkl)四轴晶面指数(hkil)i＝－(h+k)。

指数变换

三指数→四指数.

四指数→三指数设一个矢量的3轴下指数为[UVW],四轴下矢量为[uvtw].由于三轴指数与四轴指数描述的为同一个晶向，所以有∵几何关系等价性要求or:Forexample:四.晶带与晶带符号晶带和晶带轴——平行或相交于同一直线的所有晶面构成一个晶带，此直线称为它们的晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带面。晶体上彼此交棱相互平行的一组晶面的组合构成一个晶带。[001]如：NaCl的立方体晶体，（010）、（001）、（00）、（00）组成一个晶带；（001）、（100）、（00）、（00）组成一个晶带；（100）、（010）、（00）、（00）组成一个晶带。晶带轴是指用以表示晶带方向的一根直线，它通过晶体中心，平行于该晶带的所有晶面的交棱。晶带用晶带轴的晶向符号表示。[uvw]必须注意：虽然晶带符号与晶向符号是同样形式的一个符号，但作为晶向符号时，它只代表一个晶棱方向；而作为晶带符号时，它代表与此晶棱方向平行的一组晶面。通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数：

a)

两不平行的晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的晶带轴[uvw]。

b)

二晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]所决定的晶面。晶带定律(zonelaw)：同一晶带上晶带轴[uvw]和该晶带的晶带面（hkl）之间存在以下关系：

hu+kv+lw=0凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，此关系式称作晶带定律。晶带定律的运算和应用

h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

解出：

u:v:w=①由晶面（h1k1l1）和晶面（h2k2l2）求晶带轴.（h1k1l1）（h2k2l2）[uvw]

如有两个晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）同属于某一个晶带[uvw]，则u、v、w值唯一，也就是说两个不平行的晶面不可能同属于两个晶带。因为如另有一个晶带[rst]包含此两个晶面，那么由晶带定义，(h1k1l1)与(h2k2l2)有一交线属于[uvw]晶带，另有一交线属于[rst]晶带，即两个晶面有两个交线，这是不可能的，所以它们只能同属一个晶带。反过来，同理可得：两个晶带不可能同时包含两个不平行的晶面。

hu1＋kv1＋lw1=0

hu2＋kv2＋lw2=0

解出：h:k:l=②由晶向[u1v1w1]和晶向[u2v2w2]求晶面：[u1v1w1][u2v2w2](hkl)晶向指数[uvw]、[uvtw]晶向族

<uvw>

晶面指数（hkl）、(hkil)晶面族

{hkl}

晶带轴：[uvw]晶带面网密度：指面网上单位面积内结点的数目晶面间距：指相邻两个平行晶面之间的距离，用dhkl表示(100)(120）(410)(010)五、晶面间距不同晶面族的晶面间距不相同。同一晶面族的原子排列方式相同，晶面间的间距相同。晶面间的面间距越大，该晶面上的原子排列越密集，否则越疏。低指数的晶面面间距较大，高指数的晶面间距则较小。晶面间距与点阵常数的关系：正交和四方晶系由晶面指数可求出面间距dhkl更复杂h、k、l为晶面指数（hkl），a、b、c为点阵常数，α、β、γ为晶面法线方向与晶轴夹角。三斜单斜晶面间距推导101如何计算晶面间距？设ABC是为距原点最近的晶面，其在x、y、z三轴上的截距分别为p、q、r。则有：102由图可得:连比可得:

或103截距分别表示为:则或104对直角坐标系所以，正交晶系的晶面间距计算公式为:对立方晶系，由于a＝b＝c，故上式可简化为:例某斜方晶体的a=7.417Å,b=4.945Å,c=2.547Å,计算d110和d200。d110=4.11Å,d200=3.71Å好好学习天天向上本节重点掌握：1、晶向指数及晶面指数的标定2、六方晶系的晶面指数的标定3、概念：晶向族、晶面族、晶带、晶面间距一、晶体的宏观对称要素二、32种点群三、晶体的理想形状四、晶体的微观对称要素五、230种空间群总结晶体的

宏观对称性晶体的

微观对称性§1.4晶体的对称性对称的概念：对称是指物体相同部分有规律的重复不对称的图形蝴蝶、花冠和建筑物的对称对称的条件：⑴物体或图形有相同部分；⑵这些相同部分有规律地重复。晶体对称的特点：

晶体是具有对称性的，晶体外形的对称表现为相同的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复，这是晶体的宏观对称。

①微观对称：由于晶体内部都具有格子构造，而格子构造本身就是质点在三维空间周期重复的体现。因此，所有的晶体都具有晶体内部结构的对称，即微观的对称。

②晶体的对称受格子构造性质的限制：也就是说只有符合格子构造特征的对称才能在晶体上体现。因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。

③晶体的对称不仅体现内部结构和几何外形上，同时也体现在物理性质(如光学、力学、热血、电学性质等)上，也就是说晶体的对称不仅包含着几何意义，也包含着物理意义。

基于以上特点，所以晶体的对称性是晶体的最重要特征，也可以把它作为晶体分类的最好依据。要素？目录对称操作：是指欲使物体或图形中相同部分重复

出现的操作（反伸、旋转、反映）。对称要素：在进行对称操作时所凭借的几何要素

（点——反演中心线——旋转轴面——对称面）一、晶体的宏观对称要素晶体外形上可能存在的对称要素：1、对称面m（P）2、对称轴n（Ln）3、对称中心i（C）4、旋转反伸轴n（Lin）5、旋转反映轴（Lsn）例：立方体的九个对称面对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的假想平面。相应对称操作是对一个平面的反映。

必定过晶体几何中心。

1、对称面（m）2、对称轴（Ln）

对称轴是通过晶体中心的一根假想直线。相应的对称操作是围绕一根直线的旋转。例立方体的对称轴几个概念旋转一周，晶体的相同部分重复的次数称为轴次（n）；重复时所旋转的最小角度称为基转角（α）；n=360°／α。晶体的对称轴必定通过晶体的几何中心。晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际意义）L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别为360°、180°、120°、90°、60°。轴次高于2的对称轴称为高次轴。轴次定律晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。因为不符合空间格子规律。×××C1次对称轴，习惯符号位L1（无实际意义），国际符号为1，n=1，α=360°；2次对称轴，习惯符号位L2，国际符号为2，n=2，α=180°，晶体旋转180°以后等于部分会重复，旋转一周重复2次；3次对称轴，习惯符号位L3，国际符号为3，n=3，α=120°，晶体旋转120°以后等同部分会重复，旋转一周重复3次；4次对称轴，习惯符号位L4，国际符号为4，n=4，α=90°，晶体旋转90°以后等同部分会重复，旋转一周重复4次；6次对称轴，习惯符号位L6，国际符号为6，n=6，α=60°，晶体旋转60°以后等同部分会重复，旋转一周重复6次。2、对称轴（Ln）

3、对称中心（i）

对称中心：是晶体内部的一个假想点，通过该点作任意直线,则在此直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。用符号i表示。相应对称操作是对一个点的反伸。对称中心必然位于晶体中的几何中心。判据--所有晶面必然两两反向平行相等。

晶体中可以有一个对称中心，也可以没有对称中心。晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必然两两反向平行相等。用它可以作为判断晶体有无对称中心的判据。旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反演，才能使晶体上的相等部分重复。相应的对称操作是围绕一根直线的旋转一定角度360°/n，再以轴上的一个中心点作反演的复合操作。4、旋转-反演轴（Lin）

例：具有Li4的四方四面体旋转-反演轴以Lin表示，n为轴次，i为反演。轴次n可为1、2、3、4、6。相应的基转角分别为360°、180°、120°、90°、60°。

除Li4外，其余各种旋转反演轴都可用其它简单的对称要素或它们的组合来代替：

Li1次旋转-反演轴就是对称中心，用i表示，即Lin＝i；

Li2次旋转-反演轴就是垂直于该轴的对称面，用m表示，即Li2＝m；

Li3＝L3＋i；

Li6＝L3＋m⊥

Li1＝i；Li2＝m；Li3＝L3＋i；Li4

、Li6＝L3＋m⊥综上所述，晶体可能存在的独立的宏观对称要素有8个：对称中心：i(Li1)对称

面：m(Li2)对称

轴：L1、L2、L3、L4、L6旋转反伸轴：Li4、Li3、Li6表总结1、32种点群2、晶体的对称分类3、点群的国际符号二、32种点群在结晶多面体中，可以有一个对称元素单独存在，也可以有若干对称元素组合同时存在。对称元素的组合不是任意的，必须遵循对称元素的组合规律。结晶多面体中全部对称要素的组合，称为该结晶多面体的对称型。由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点（晶体几何中心），在进行对称操作时该点不移动，所以对称型也称为点群。由八种对称元素的不同组合可以形成各种晶体的宏观对称性，但是，由于晶体不但有对称性，还具有周期性，所以，根据结晶多面体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型共有32种，即32种点群。(见下表）1、32种点群名称原始式倒转原始式中心式轴式面式倒转面式面轴式n=1L1CL2PL2PCn=2(L2)(L2PC)3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L4PCL44L2L44PLi42L22PL44L25PCn=6L6Li6L6PCL66L2L66PLi63L23PL66L27PC3L24L33L24L33PC3L44L36L23Li44L36P3L44L36L29PC晶体的32种点群晶体是根据其对称特点进行分类的，方法如下：①根据点群中有无高次轴及高次轴的多少，把32个对称型划分为低、中、高级三个晶族。

低级晶族：无高次轴中级晶族：有且只有一个高次轴高级晶族：有多个高次轴②在每一个晶族中又按照其对称特点共划分为7个晶系，即低级晶族有三斜晶系、单斜晶系和斜方晶系；中级晶族有四方晶系、三方晶系和六方晶系；高级晶族只有一个晶系，即等轴晶系。2、晶体的对称分类32种点群及晶体的分类表无高次轴续表有且只有一个高次轴续表(432)单复六方双锥晶类偏方复十二面体有多个高次轴3、点群的国际符号(P7)①晶体的定向②点群的国际符号的表示方法③根据点群的国际符号判断所属晶系

晶体定向：在晶体上通过晶体中心选定坐标轴（晶轴）晶轴及轴角六方晶系的晶轴晶轴的选择原则：应符合晶体所固有的对称性。‖L,⊥P,‖晶棱上述前提下，尽可能使晶轴相互垂直或趋于垂直。①晶体的定向晶系选轴原则等轴晶系以相互垂直的L4、Li4或L2为a、b、c轴四方晶系以L4或Li4为c轴，以垂直c轴并相互垂直的两个L2或P的法线为a、b轴；当无L2或P时，a、b轴平行晶棱选取三、六方晶系以L6、Li6、L3为c轴，以垂直c轴并彼此相交为120°的三个L2或P法线为a、b、d轴；当无L2或P时，a、b、d轴平行晶棱选取斜方晶系以相互垂直的3L2为a、b、c，在L22P对称型中以L2为c轴，以2P法线为a、b轴单斜晶系以L2或P的法线为b轴，以垂直b轴的主要晶棱方向为c及a轴三斜晶系以不在同一平面内的三个主要晶棱方向为a、b、c轴各晶系选择晶轴的原则点群的国际符号是国际上通用的对称型表示符号，用1到3个方向上所具有的对称要素来表示，这3个方向称为3个位。在点群的国际符号中所采用的基本对称要素为对称面、对称轴和旋转反演轴，一般不列出对称中心。

对称面：m

对称轴：1、2、3、4、6

旋转反演轴：1、3、4、6

(其中，1＝C，故常用“1”表示对称中心)②点群的国际符号的表示方法各晶系点群的国际符号中各序位所代表的方向国际符号中的位序123等轴晶系aa+b+ca＋b三方及六方晶系ca2a＋b四方晶系caa＋b斜方晶系abc单斜晶系b三斜晶系任意方向国际符号中的位序123等

轴平行立方体的棱,即a轴方向（a）平行立方体的对角线，即三次轴方向（a+b+c）平行立方体面的对角线，即a、b轴之间（a+b）三方及六方晶系六次或三次轴，即c轴方向（c）与六次轴垂直的的a轴方向（a）与六次轴垂直，并与位2的方向成30º角（2a+b）四方晶系四次轴，即c轴方向（c）与四次轴垂直的a轴方向（a）与四次轴垂直，并与位2的方向成45º角（a+b）斜方晶系a轴方向（a）b轴方向（b）c轴方向（c）单斜晶系b轴方向（b）三斜晶系任意方向各晶系点群的国际符号中各序位所代表的方向（具体）记记七晶系模型3具体表示方法：写出与该方向平行的对称轴或旋转反演轴，或与该方向垂直的对称面。如果两类对称要素在某一方向上同时存在，则写成分式的形式，例如，（通常写成4/m）。如果某一个位对应的方向上，不存在对称要素时，则将该位置空着。

优点：⑴简明；⑵对称要素的空间方位清楚。32种点群及晶体的分类表**下有横线者为较常见的重要点群2/m2/m2/m*4/m2/m2/m简化为4/mmm*续表或L3i32/m续表*6/m2/m2/m简化；**2/m3简化*(432)**单复六方双锥晶类偏方复十二面体4/m32/m⑴高级晶族：第二位是3或的为等轴晶系。⑵中级晶族：首位是4或者为四方晶系；首位是3或者为三方晶系；首位是6或者为六方晶系。⑶根据低级晶族的对称特点判断其晶系，无2或m的为三斜晶系；2或m不多于一个的为单斜晶系；2或m多于一个的为斜方晶系。

③根据点群的国际符号判断所属晶系

三、晶体的理想形状1、单形

2、聚形

(1)概念:

单形是借助对称型中全部对称要素的作用导出的相互重复的一组晶面。或由对称要素联系起来的一组晶面的总和注：同一单形的所有晶面在理想生长条件下同形、等大。

常见的单形有：四面体、立方体、八面体、菱形十二面体、五角十二面体、四角三八面体、菱面体、复三方偏三角面体、三方单锥、三方柱、六方柱、六方双锥、平行双面、四方柱、四方双锥、斜方双锥、斜方柱等

1、单形(2)单形的推导推导方法：将一个原始晶面置于对称型中，通过对称型中全部对称要素的作用，导出一个单形的全部晶面。冰洲石的菱面体晶体以L22P对称型为例位置1：原始晶面垂直于L2和2P。通过L2和2P作用不能产生新面，这一晶面就构成一个单形——单面。位置2、3：原始晶面平行L2和其中一个P，而垂直另一个P。通过对称要素的作用——平行双面。位置4、5：原始晶面与L2及一个P斜交，与另一P垂直——双面位置6：原始晶面与L2平行，与2P斜交——斜方柱位置7：原始晶面与L2及2P都斜交——斜方单锥用单形形状命名：如六方柱、三方双锥用晶面形状和数量命名：如菱形十二面体、八面体、四角三八面体等.(3)47种几何单形单形名称四十七种几何单形

a.低级晶族共有7种单形：单面、平行双面、双面、斜方柱、斜方四面体、斜方单锥、斜方双锥。

b.中级晶族共有25种单形，分成六组：柱体组、单锥体组、双锥体组、四方四面体和复三方偏三角面体组、菱面体与复三方偏三角面体组、偏方面体组。

c.高级晶族共有15种单形，分为三组：四面体组、八面体组、立方体组。

低级晶族的单形——共有七种4.斜方柱5.斜方四面体6.斜方单锥7.斜方双锥1.单面3.双面2.平行双面A、单面，晶面为一个平面。

B、平行双面，晶面为一对相互平行的平面。

C、双面，又分反映双面及轴双面，为一对相交平面。

D、斜方柱，由四个两两平行的晶面组成，晶棱平行，横切面为菱形。

E、斜方单锥，四个全等不等边三角形组成，晶面相交于一点，底面为菱形，锥顶为L2出露点。

F、斜方四面体，由四个全等不等边三角形组成，晶面互不平行，每棱的中点为L2出露点，通过晶棱中点的横切面为菱形。

G、斜方双锥，由两个相同的斜方单锥底面对接而成。中级晶族的单形——除垂直高次轴可以出现单面或平行双面之外，尚可出现25种单形。A、柱类：三方柱、复三方柱、四方柱、复四方柱、六方柱、复六方柱共计六种。8.三方柱10.四方柱12.六方柱9.复三方柱11.复四方柱13.复六方柱横截面B、单锥类：三方单锥、复三方单锥、四方单锥、复四方单锥、六方单锥、复六方单锥共计6种。

14.三方单锥16.四方单锥18.六方单锥15.复三方单锥17.复四方单锥19.复六方单锥横截面开形C、双锥类：三方双锥、复三方双锥、四方双锥、复四方双锥、六方双锥、复六方双锥共计6种。

20.三方双锥22.四方双锥25.复六方双锥21.复三方双锥23.复四方双锥24.六方双锥横截面D、四方四面体与复四方偏三角面体26.四方四面体28.复四方偏三角面体Li42L22PLi42L22P27.菱面体29.复三方偏三角面体L33L23PcL33L23PcE、菱面体与

复三方偏三角面体D、四面体类有两种。四方四面体由四个互不平行的等腰三角形组成，相间二晶面的底相交，棱的中点为L2或Li4的出露点，通过腰中点的横切面为正方形。

复四方偏三角面体将四面体的晶面平分为两个不等边三角形，对称要素的分布同四面体，过中心的横切面为复四边形。E、菱面体类有两种。菱面体，由六个两两平行的菱形晶面组成，上下错开60度。复三方偏三角面体，将菱面体晶面沿高次轴方向平分成两个三角形。30.三方偏方面体32.六方偏方面体31.四方偏方面体左形右形左形右形左形右形F、偏方面体类：偏方面体，晶面为偏四方形，与双锥类似，上下与高次轴各交于上一点，但错开一定角度，此类有：三方偏方面体，四方偏方面体，六方偏方面体。且分左右形。分别由6、8、12个晶面组成，通过中心横切面分别为复三方形、复四方形和复六方形。38.八面体39.三角三八面体40.四角三八面体41.五角三八面体42.六八面体左形右形A、八面体类高级晶族的单形（15种）B、八面体组由八个等边三角形组成，晶面分割方式与四面体组完全相同。有八面体、三角三八面体、四角三八面体、五角三八面体、六八面体。33.四面体34.三角三四面体35.四角三四面体36.五角三四面体37.六四面体左形右形B、四面体类四面体组：晶面为四个等边三角形或将等边三角形分割成三个或六个三角形、四边形、五边形、晶面垂直L3，晶棱中点垂直L2或Li4.有四面体，三角三四面体，四角三四面体，五角三四面体，六四面体。C、立方体类43.立方体44.四六面体D、十二面体类45.菱形十二面体46.五角十二面体47.偏方复十二面体C、立方体组由六个正方形晶面组成，晶棱以直角相交。有立方体及四六面体两种。D、十二面体组

菱形十二面体，由12个菱形晶面组成，两平行，相邻晶面成120度或90度相交。

五角十二面体