八年级四边形与折叠、旋转

四边形与折叠、旋转1、如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且△ABP为等边三角形，那么NDCP=。2、如图，将一张边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5,折痕为PQ,则PQ的长为 。DECy /1t———■ ”（第1题图） - （第2题图）3、将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与DC交于点P,连接EP。如图，若M为AD边的中点。（1）AAEM的周长为；（2）求证：EP=AE+DPO知识点一四边形与折叠【知识梳理】1、翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180°后所形成的新的图形的变化。2、翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。3、解题方法：解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多。另外，从运动变化的图形的特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。侧重考察翻折问题中勾股定理的几何计算。

【例题精讲】例1・1、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，/BAE=30°,AB=J3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处。则BC的长为(1)(1)判断四边形ACED是什么图形，并加以证明;2、如图，EF为正方形ABCD的对折线，将NA沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则NDKG3、如图，将矩形ABCD沿AC翻折，使点B落在点E处，连接DE、CE,(2(2)(3)若AB=8,AD=6。求DE的长;四边形ACED中，比较AE+EC与AC+EH的大小。

伊12.1、如图，有一正方形的纸片ABCD,边长为3,点E是DC边上一点且DE=；口0把4ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G,连接AG。有以下四个结论①NGAE=45°；②BG+DE=GE；③点G是BC的中点；@S^ECG=45°；其中正确的结论序号是请选一个你认为正确的结论进行说理论证。C其中正确的结论序号是请选一个你认为正确的结论进行说理论证。C则EC则EC2、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD,^D落在底边BC上点F处，已知DC=8cm,FC=4cmcm。【课堂练习】1、如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C的位置上。折叠后，DC的对应线段是,CF的对应线段是若N1折叠后，DC的对应线段是,CF的对应线段是若N1=60°,求N2、Z3的度数;若AB=4,AD=8,求折痕EF的长度。S2、如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=v;3+1,AD=<3。（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D'处，压平折痕交CD于点E,则折痕AE的长为；（2）如图③，再将四边形BCED沿D旧向左翻折，压平后得四边形BCED，，BC交AE于点F，则四边形BTED，的面积为；（3）如图④，将图②中的AAD'E绕点E顺时针旋转a角，得到AA'ED〃，使得EA'恰好经过点B，求弧D'D〃的长度。3、矩形ABCD中，AD=5,AB=3,将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A，落在线段BC上，再打开得到折痕EF。（1）当A与B重合时，（如图1）,EF=;当折痕EF过点D时（如图2）,求线段EF的长；（2）观察图3和图4,设BA，=x，①当x的取值范围是时，四边形AEAF是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEAF是菱形。A 口w =厘）A FDA DE⑷ C£一A1 C病 A'一七R式£'图1 图。 图3 斤图4知识点二四边形与旋转【知识梳理】1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。2、旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。3、动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等。4、以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。5、解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。6、旋转模型（1）正三角形类型（2）正方形类型（3）等腰直角三角形类型【例题精讲】例1・1、如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3,则NAPB= 。2、已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且/B=/EAF=60°,/BAE=18°。求/CEF的度数。【课堂练习】【课堂练习】1、如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD1、如图1,在正方形ABCD中，(1)求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45°,请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GDO(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD),ZB=90°,AB=BC,E是AB上一点，且NDCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积。2、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF±AB交BD于点F,如图1。(1)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°,取DF的中点G,连接EG,CG,如图2,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；(2)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°,取DF的中点G,连接EG,CG,如图3,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；(3)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G,连接EG,CG,如图4,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。

路线以1cm/s的速度运动，运动时间为t秒，将△APE路线以1cm/s的速度运动，运动时间为t秒，将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M。如图1,当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；(1)如图2，当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；（2）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值(3)1、如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=20cm,E是AD的中点，动点P从A点出发，沿A—B—C2、已知正方形ABCD中，F为对角线BD（不含B点）上任意一点，4ABE为正三角形，若BF=BG且NFBG=60°,连接NFBG=60°,连接EG、AF、CF。（1）当F点在何处时，AF+CF+BF的值最小，并说明理由;（2）AF+CF+BF的值最小为“31时，求正方形的边长。1、如图，把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE。则顺次连接四边形ADEC各边中点，得到的图形一定是（ ）A.正方形 B.矩形C.菱形 D.梯形2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm。点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为。

3、如图，四边形ABCD中，AB〃CD,ND=2NB,若AD=a,AB=b，贝UCD的长是 TOC\o"1-5"\h\z4、如图，直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=4,BC=6。以D为直角顶点在梯形外部作等腰直角△DEC。连AE，U^ADE的面积是（ ）A.12 B.8 C.6 D.45、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP，重合，若PB=3,则PP，6、在Rt△ABC中，NA=90°,AB=3cm,（C=30°,以斜边BC的中点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△AB'。'，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 cm2。47>S

<4,7、（1）动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C，处，折痕为EF，若NABE=20°，那么NEFC'的度数为；（2）观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到△AEF（如图③）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。（3）实践与运用：将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求NMNF的大小。108、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFXBD交BC于F,连DF,G为DF中点，连接EG,CG。（1）求证：EG=CG；（2）将图①中4BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG。问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中^BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？图田 图② 喉119、平面直角坐标系中，A(a,0)B(0,