求通项的方法讲义 高三数学一轮复习

求通项的八法三经验一个注意事项【八法】公式法：适用于an+1=an+B（B为常数），an+1=Aan（A为非零常数）叠加法：适用于an+1=an+f（n）解：∵an+1-an=f（n）∴an-an-1=f（n-1）a3-a2=f（2）A2-a1=f（1）而a1=...以上各式叠加可得an=...+f（1）+f（2）+...+f（n-1）（n≥2）=...而当n=1时，...=或≠a1∴an=（或分或合）练习：已知{an}中，a1=2，an+1=an+2n+3，求{an}通项3、叠乘法：适用于an+1=f（n）·an解：∵=f（n）∴=f（n-1）=f（2）=f（1）而a1=...以上各式叠乘可得an=...·f（1）·f（2）·...·f（n-1）（n≥2）=...而当n=1时，...=或≠a1∴an=（或分或合）练习：已知{an}中，a1=2，an+1=3n·an，求{an}通项4、待定系数法（适用于an+1=Aan+B）（A、B为常数且A≠0,1，B≠0）解：设an+1-x=A（an-x）（构造）∴x=令bn=an-x，则bn+1=an+1-x（换元）故bn+1=Abn∴{bn}是首项为b1，公比为A的等比数列∴bn=b1·An-1即an-x=（还原）∴an=练习：已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3，求{an}通项裂项法（适用于an+2=Aan+1+Ban）（A、B为常数且A，B≠0）解：设an+2-xan+1=y（an+1+xan）取x=y=令bn=an+1+xan，则bn+1=an+2-xan+1（换元）故bn+1=ybn∴{bn}是首项为b1，公比为y的等比数列∴bn=b1·yn-1即an-xan=（还原）到了这里，原来三项之间的关系变为了两项之间的关系式，往下怎么走，由型定法。练习：已知数列{an}中，a1=2，a2=2，an+2=an+1+an，求{an}通项倒数法（适用于an+1=）或Aan+1·an+Ban+1+Can=0解：∵=（倒过来）∴=+（构造）∴令bn=，则bn+1=（换元）故bn+1=bn+（由型定法）∴bn=...即=...（还原）∴an=...练习：1、已知数列{an}中，a1=1，an+1=，求{an}通项2、已知数列{an}中，a1=1，3an+1·an+an+1-an=0，求{an}通项观察归纳法前n项和法：适用于由Sn通项，求an通项例：已知{an}的前n项和是Sn，若Sn=n2+2n，求{an}通项解：∵Sn=n2+2n∴当n>1时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1，（n≥2）而a1=s1=3当n=1时，2n+1=3=a1∴an=2n+1，（n≥1）练习：已知{an}的前n项和是Sn，若Sn=n2+2n+1，求{an}通项【三经验】异名同名化：有s有a的，s化a或a化s例1：设数列{an}的前n项和是Sn=an-×2n+1+，求首项a1和通项an例2：a1=3，2an=Sn·Sn-1（n≥2），求an高次低次化：①开方②因式分解③对数落幂例1：正项数列{an}中，an=2-1，求an例2：a1=1，an+1=an++，求an例3：正项数列{an}中，10Sn=an2+5an+6，且a1，a3，a5成等比，求an例4：an+1=an2且a1=3，求an多元单元化①加减消元②代入消元例：已知数列{an}中，a1=1，数列{bn}中，b1=0，当n≥2时，an=（2an-1+bn-1）bn=（an-1+2bn-1），求an与bn【一个注意事