核心素养专题

核心素养专题一选择填空难题突破选择填空题是中考中的固定题型，不仅题目数量多，而且占分比例高．对于选择填空题中较难的问题一般要通过分析、判断、推理、排除等方法得出正确的结论．常用的方法有直接法、图象法、特殊化法等．类型一规律探索型问题知识储备：1．数列求和：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)；2．通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．典例[2019·安顺]将从1开始的自然数按图1排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__2__019__．图1【解析】观察可知第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025－6＝2019.跟踪训练1.[2019·曲靖二模]观察图2，它们是按一定规律排列的，照此规律，第n个图形中“”的个数是(C)图2A．4n＋4 B．4n－4C．4n D．n2【解析】∵第1个图形中“”的个数4＝4×1，第2个图形中“”的个数8＝4×2，第3个图形中“”的个数12＝4×3，…∴第n个图形中“”的个数是4n.2．[2019·黄石]将被3整除余数为1的正整数，按照图3排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__625__.图3【解析】观察可知第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…则前20行共有1＋2＋3＋…＋19＋20＝210个数，∴第20行第20个数是1＋3×(210－1)＝628，∴第20行第19个数是628－3＝625.类型二新定义型问题知识储备：1．新定义运算：弄清新定义中的运算法则，转化为数与式的运算，方程与方程组、不等式与不等式组的问题等；2．新定义图形：弄清新概念图形的本质，把新定义图形分解，转化为三角形、四边形、相似三角形、圆等熟悉图形来解决．典例[2019·柳州]定义：形如a＋bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，因此，(1＋3i)2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi)2的虚部是12，则实部是(C)A．－6 B．6C．5 D．－5【解析】先利用完全平方公式得出(3－mi)2＝9－6mi＋m2i2，再根据新定义得出复数(3－mi)2的实部是9－m2，虚部是－6m，由(3－mi)2的虚部是12得出m＝－2，代入9－m2计算即可．∵(3－mi)2＝32－2×3×mi＋(mi)2＝9－6mi＋m2i2＝9－m2－6∴复数(3－mi)2的实部是9－m2，虚部是－6m∴－6m＝12，∴m∴9－m2＝9－(－2)2＝9－4＝5.跟踪训练1.[2019·玉林]定义新运算：p⊕q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(p,q)（q＞0），,－\f(p,q)（q＜0），))例如：3⊕5＝eq\f(3,5)，3⊕(－5)＝eq\f(3,5)，则y＝2⊕x(x≠0)的图象是(D)【解析】由题意得y＝2⊕x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)（x＞0），,－\f(2,x)（x＜0），))故选D.2．[2019·襄阳]定义：a*b＝eq\f(a,b)，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为__x＝1__．【解析】2*(x＋3)＝1*(2x)，即eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,2x)，4x＝x＋3，∴x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．3．[2019·德州]已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝____．【解析】原式＝(3.9－3)＋[(－1.8)－(－2)]－(1－1)＝0.9＋0.2＝1.1.类型三平面直角坐标系中点的规律问题知识储备：1．平面直角坐标系中，点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；第二象限x＜0，y＞0；第三象限x＜0，y＜0；第四象限x＞0，yx轴的直线上的点纵坐标相等，平行于y轴的直线上的点横坐标相等．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.2．平面直角坐标系中点的规律问题，一般通过运算、比较、猜想推理出几次为一个循环，进而解决问题．典例[2019·绥化]在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按图4摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn(n为正整数)，则点P2019的坐标是__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019,2)，\f(\r(3),2)))__．图4【解析】由题意知A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，A2(1，0)，A3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，A4(2，0)，A5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(\r(3),2)))，A6(3，0)，A7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(\r(3),2)))，…由上可知每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为eq\f(\r(3),2)，0，eq\f(\r(3),2)，0，－eq\f(\r(3),2)，0这样循环，∴点A2019的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019,2)，\f(\r(3),2))).跟踪训练1.我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图5)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标是(B)A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)图5【解析】找准图形规律，依次可得P6(－6，－1)，P7(2，－9)，P8(15，4)，P9(－6，25)．2．[2019·广安]如图6所示，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，0)，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为__(－22__017，22__017eq\r(3))__．图6【解析】由题意得A1(1，0)，A2(1，eq\r(3))，A3(－2，2eq\r(3))，A4(－8，0)，A5(－8，－8eq\r(3))，A6(16，－16eq\r(3))，A7(64，0)，…由上可知，A点的方位是每6个一循环，与A1方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为2n－1，其纵坐标为0，与A2方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n－2，纵坐标为2n－2eq\r(3)，与A3方位相同的点在第二象限内，其横坐标为－2n－2，纵坐标为2n－2eq\r(3)，与A4方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为－2n－1，纵坐标为0，与A5方位相同的点在第三象限内，其横坐标为－2n－2，纵坐标为－2n－2eq\r(3)，与A6方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n－2，纵坐标为－2n－2eq\r(3)，∵2019÷6＝336……3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为－2n－2＝－22017，纵坐标为22017eq\r(3)，即A2019(－22017，22017eq\r(3))．类型四函数与几何结合型问题知识储备：解函数与几何结合型问题最重要的方法是数形结合思想，根据函数表达式求出关键点的坐标，再根据几何图形的性质求解；或者是根据几何图形的性质得到函数图象上的某点的坐标，再求出函数表达式进一步解决问题．典例[2019·广元]如图7，过点A0(0，1)作y轴的垂线交直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…其面积分别记为S1，S2，S3，…则S100为(D)图7A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))eq\s\up12(100) B．(3eq\r(3))100C．3eq\r(3)×4199 D．3eq\r(3)×2395【解析】∵点A0的坐标是(0，1)，∴OA0＝1，∵点A1在直线y＝eq\f(\r(3),3)x上，∴OA1＝2，A0A1＝eq\r(3)，∴OA2＝4，∴OA3＝8，OA4＝16，则OAn＝2n，∴AnAn＋1＝2n·eq\r(3)，∴OA198＝2198，OA200＝2200，A198A199＝2198·eq\r(3)，∴S100＝eq\f(1,2)(OA200－OA198)·A198A199＝eq\f(1,2)×(2200－2198)×2198eq\r(3)＝3eq\r(3)×2395.跟踪训练1.[2019·鄂州]如图8，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝eq\f(\r(3),3)x上，若A1(1，0)，且△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn＋1都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn.则Sn可表示为(D)图8A．22neq\r(3) B．22n－1eq\r(3)C．22n－2eq\r(3) D．22n－3eq\r(3)【解析】∵△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn＋1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnA∵直线y＝eq\f(\r(3),3)x与x轴的夹角∠B1OA1＝30°，且∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1∵A1(1，0)，∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn＋1＝90°，∴B1B2＝eq\r(3)，B2B3＝2eq\r(3)，…，BnBn＋1＝2n－1eq\r(3)，∴Sn＝eq\f(1,2)×2n－1×2n－1eq\r(3)＝22n－3eq\r(3).2．如图9，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(m，3eq\r(3))，反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象与菱形对角线AO交于D点，连结BD，当BD⊥x轴时，k的值是(D)A．6eq\r(3) B．－6eq\r(3)C．12eq\r(3) D．－12eq\r(3)图9【解析】利用三角函数，由C(m，3eq\r(3))及∠BOC＝60°求出OC＝OB＝6，则D点坐标为(－6，2eq\r(3))，把D(－6，2eq\r(3))代入反比例函数y＝eq\f(k,x)，得k＝－12eq\r(3).故选D.3．[2019·衡阳]在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图10所示．已知A点坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于A4，…依次进行下去，则点A2019的坐标为__(－1__010，1__010图10【解析】∵A点坐标为(1，1)，∴直线OA为y＝x，A1(－1，1)，∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝x2))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴A2(2，4)，∴A3(－2，4)，∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋6，,y＝x2))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝9，))∴A4(3，9)，∴A5(－3，9)，…∴点A2019的坐标为(－1010，10102)．类型五动态型问题知识储备：类型：点动、线动、图形动三种运动类型．解决此类问题的关键是“变动为静”，即选取动点运动路径中任意一位置形成静态图形，再由静态图形的性质得出题设变量间的函数关系．典例如图11，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是(C)图11A．一直减小 B．一直不变C．先减小后增大 D．先增大后减小【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，设PD＝x，AB边上的高线为h，则h＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4\r(5),5)，∵PD∥BC，∴eq\f(PD,BC)＝eq\f(AD,AC)，∴AD＝2x，AP＝eq\r(5)x，∴S1＋S2＝eq\f(1,2)·2x·x＋eq\f(1,2)(2eq\r(5)－1－eq\r(5)x)·eq\f(4\r(5),5)＝x2－2x＋4－eq\f(2\r(5),5)＝(x－1)2＋3－eq\f(2\r(5),5)，∴当0＜x＜1时，S1＋S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2－eq\f(\r(5),5)时，S1＋S2的值随x的增大而增大．故选C.跟踪训练①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止，过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是(B)①②图12A．2eq\r(2)cm B．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cm D．5eq\r(2)cm【解析】当点P运动2.5s时，如答图所示：跟踪训练1答图则PB＝1cm，∵BC＝4cm，∴PC＝3cm.由题意可知CQ＝3cm，∴PQ＝3eq\r(2)cm.故选B.2．[2019·绥化]如图13，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是(B)①当x＝0(即E，A两点重合)时，P点有6个；②当0＜x＜4eq\r(2)－2时，P点最多有9个；③当P点有8个时，x＝2eq\r(2)－2；④当△PEF是等边三角形时，P点有4个．图13A．①③ B．①④C．②④ D．②③【解析】如答图①，当x＝0(即E，A两点重合)时，P点有6个，故①正确；当0＜x＜4eq\r(2)－2时，P点最多有8个，故②错误；跟踪训练2答图当P点有8个时，如答图②，当0＜x＜eq\r(3)－1或1＜x＜4eq\r(2)－4或2＜x＜4eq\r(2)－eq\r(3)－1或4eq\r(2)－eq\r(3)－1＜x＜4eq\r(2)－2时，P点有8个，故③错误；④如答图③，当△PEF是等边三角形时，P点有4个，故④正确．跟踪训练2答图③一定正确的是①④，故选B.类型六组合式代数或几何结论推理判断题知识储备：1．诸如推理两角相等，线段之间倍数关系等常用相似(含全等)；2．如一个三角形的面积或两个三角形的面积和是某四边形面积的一半等面积相关问题，通常借助等量代换、面积和或差等进行计算．典例[2019·广元]如图14，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°，连结BE并延长到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE＋DE＝EF；③S△DEC＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),12)；④eq\f(DH,HC)＝2eq\r(3)－1，则其中正确的结论有(A)A．①②③ B．①②③④C．①②④ D．①③④图14【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°.在△ABE和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAC，,AE＝AE，))∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE，故①正确；如答图，在EF上取一点G，使EG＝EC，连结CG，典例答图∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠CBE＝∠CDE.∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°，∵∠CEG＝∠CBE＋∠BCE＝60°，CE＝GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝∠CGE－∠CFG＝45°，∴∠ECD＝GCF.在△DEC和△FGC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝GC，,∠ECD＝∠GCF，,CD＝CF，))∴△DEC≌△FGC(SAS)，∴DE＝GF.∵EF＝EG＋GF，∴EF＝CE＋ED，故②正确；过D作DM⊥AC于M，由勾股定理得AC＝eq\r(2)，由面积公式得eq\f(1,2)AD·DC＝eq\f(1,2)AC·DM，∴DM＝eq\f(\r(2),2)，∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，∴CM＝eq\f(\r(2),2)，EM＝eq\f(\r(6),6)，∴CE＝CM－EM＝eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(6),6)，∴S△DEC＝eq\f(1,2)CE·DM＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),12)，故③正确；在Rt△DEM中，DE＝2ME＝eq\f(\r(6),3)，∵△ECG是等边三角形，∴CG＝CE＝eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(6),6)，∵∠DEF＝∠EGC＝60°，∴DE∥CG，∴△DEH∽△CGH，∴eq\f(DH,HC)＝eq\f(DE,CG)＝eq\f(\f(\r(6),3),\f(\r(2),2)－\f(\r(6),6))＝eq\r(3)＋1，故④错误．综上，正确的结论有①②③.跟踪训练y＝x2－6x＋10的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3－n时的函数值；③若n>3，且n是整数，当n≤x≤n＋1时，y的整数值有(2n－4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a>0，b>0，则a<b.其中真命题的序号是(C)A．① B．②C．③ D．④【解析】∵y＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时，y有最小值1，故①错误；n为任意实数，当x＝3＋n时，y＝(3＋n－3)2＋1＝n2＋1，当x＝3－n时，y＝(3－n－3)2＋1＝n2＋1，∴两函数值相等，故②错误；若n>3，且n是整数，当n≤x≤n＋1时，令x＝n，则y1＝(n－3)2＋1＝n2－6n＋10，令x＝n＋1，则y2＝(n＋1－3)2＋1＝n2－4n＋5，由于y2－y1＝2n－5，所以之间的整数值的个数是2n－5＋1＝2n－4个，故③正确；该二次函数的图象如答图，观察图形知④错误．跟踪训练1答图2．[2019·贵港]如图15，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连结CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是(D)A．S1＋S2＝CP2 B．AF＝2FDC．CD＝4PD D．cos∠HCD＝eq\f(3,5)图15【解析】∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，∴S1＝CD2，S2＝PD2，在Rt△PCD中，PC2＝CD2＋PD2，∴S1＋S2＝CP2，故A结论正确；如答图，连结CF，跟踪训练2答图∵点H与B关于CE对称，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CH＝CB，,∠ECH＝∠BCE，,CE＝CE，))∴△BCE≌△HCE(SAS)，∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CH＝CD，,CF＝CF，))∴Rt△FCH≌Rt△FCD(HL)，∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，∴∠ECH＋∠FCH＝eq\f(1,2)∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴eq\f(EG,FG)＝eq\f(EB,BC)＝eq\f(1,2)，∴FG＝2EG，设EG＝x，则FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2eq\r(2)x，∴EC＝3x，∵EB2＋BC2＝EC2，∴eq\f(5,4)BC2＝9x2，∴BC2＝eq\f(36,5)x2，∴BC＝eq\f(6\r(5),5)x，在Rt△FDC中，FD＝eq\r(CF2－CD2)＝eq\f(2\r(5),5)x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴eq\f(ND,AE)＝eq\f(FD,AF)＝eq\f(1,2)，∵PD＝ND，AE＝eq\f(1,2)CD，∴CD＝4PD，故C结论正确；∵EG＝x，FG＝2x，∴EF＝eq\r(5)x，∵BC＝eq\f(6,5)eq\r(5)x，∴AE＝eq\f(3,5)eq\r(5)x，且FH＝FD＝eq\f(2,5)eq\r(5)x，作HQ⊥AD于Q，∴HQ∥AB，∴eq\f(HQ,AE)＝eq\f(HF,EF)，即eq\f(HQ,\f(3,5)\r(5)x)＝eq\f(\f(2,5)\r(5)x,\r(5)x)，∴HQ＝eq\f(6,25)eq\r(5)x，∴CD－HQ＝eq\f(6,5)eq\r(5)x－eq\f(6,25)eq\r(5)x＝eq\f(24,25)eq\r(5)x，∴cos∠HCD＝eq\f(CD－HQ,CH)＝eq\f(4,5)，故D结论错误．

核心素养专题二数学思想方法类型一分类讨论思想知识储备：由于研究对象的不同特征，因而需要对不同属性的对象进行分类研究，或在研究问题过程中出现了不同情况，也需要对不同特征的对象进行分类研究或不同情况进行分类研究；通过分类讨论，使问题化繁为简，更易于解决，用分类讨论思想解决问题的一般步骤：(1)先明确需研究和要讨论的对象；(2)正确选择分类的标准，进行合理分类；(3)逐类讨论解决．典例[2019·鄂州]如图1，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝__2或2eq\r(3)或2eq\r(7)__．图1【解析】分∠APB＝90°，∠PAB＝90°，∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算．当∠APB＝90°且点P在AB上方时，BP＝2，点P在AB下方时，BP＝2eq\r(3)；当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA·tan∠AOP＝2eq\r(3)，∴BP＝eq\r(AB2＋AP2)＝2eq\r(7)；当∠PBA＝90°时，∵∠1＝60°，∴BP＝OB·tan∠1＝2eq\r(3).故BP＝2或2eq\r(3)或2eq\r(7)时，△APB为直角三角形．跟踪训练1.[2019·云南]在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4eq\r(3)，BD＝4，则▱ABCD的面积等于__16eq\r(3)或8eq\r(3)__．【解析】如答图，过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4eq\r(3)，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝2eq\r(3)，AE＝eq\f(\r(3),2)AD＝6，在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴BE＝eq\r(BD2－DE2)＝eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2.如答图①，则AB＝8，S▱ABCD＝AB·DE＝8×2eq\r(3)＝16eq\r(3)；跟踪训练1答图如答图②，则AB＝4，S▱ABCD＝4×2eq\r(3)＝8eq\r(3)，∴▱ABCD的面积等于16eq\r(3)或8eq\r(3).2．[2018·本溪]如图2，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B(8，7)，D(5，0)，点P是边AB或边BC上的一点，连结OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，7))__．图2【解析】∵四边形OABC是矩形，B(8，7)，∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D(5，0)，∴OD＝5，∵点P是边AB或边BC上的一点，∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴PA＝eq\r(52－32)＝4，∴P(8，4)；当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，7)).综上所述，满足条件的点P坐标为(8，4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，7)).3．[2019·无锡]如图3①，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t(s)．(1)若AB＝2eq\r(3).Ⅰ.如图②，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；Ⅱ.是否存在异于图②的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．(2)当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．图3解：(1)Ⅰ.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(21)，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴eq\f(CB′,CB)＝eq\f(PB′,AB)，∴eq\f(\r(21)－2\r(3),3)＝eq\f(PB′,2\r(3))，∴PB＝PB′＝2eq\r(7)－4；Ⅱ.如答图①，当∠PCB′＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2eq\r(3)，AD＝BC＝3，∴DB′＝eq\r(AB′2－AD2)＝eq\r(（2\r(3)）2－32)＝eq\r(（2\r(3)）2－32)＝eq\r(3)，∴CB′＝CD－DB′＝eq\r(3)，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2＋B′C2，∴t2＝(3－t)2＋(eq\r(3))2，∴t＝2；跟踪训练3答图①跟踪训练3答图②如答图②，当∠PCB′＝90°时，在Rt△ADB′中，DB′＝eq\r(AB′2－AD2)＝eq\r(3)，∴CB′＝3eq\r(3)，在Rt△PCB′中，有(3eq\r(3))2＋(t－3)2＝t2，解得t＝6；跟踪训练3答图③如答图③，当∠CPB′＝90°时，易证四边形ABPB′为正方形，易知t＝2eq\r(3).综上所述，满足条件的t的值为2或6或2eq\r(3)s.(2)对于t＞3的任意时刻，∠PAM＝45°成立．理由：如答图④，∵∠PAM＝45°，∴∠2＋∠3＝45°，∠1＋∠4＝45°，由翻折得∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′(AAS)，∴AD＝AB′＝AB，即四边形ABCD是正方形．跟踪训练3答图如答图⑤，设∠APB＝x.∴∠PAB＝90°－x，∴∠DAP＝x，易证△DAM≌△B′AM(HL)，∴∠B′AM＝∠DAM，由翻折得∠PAB＝∠PAB′＝90°－x，∴∠DAB′＝∠PAB′－∠DAP＝90°－2x，∴∠DAM＝eq\f(1,2)∠DAB′＝45°－x，∴∠MAP＝∠DAM＋∠PAD＝45°.类型二数形结合思想知识储备：数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻找代数问题的解决途径，或者利用数量关系来研究几何图形的性质，解决问题，将数量关系和几何图形巧妙的结合起来，以数助形，以形辅数，使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，从而使问题得到解决的一种数学思想．典例[2019·包头]如图4，在平面直角坐标系中，已知A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3，0)，M是线段AB上的一个动点，连结CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M，N在直线y＝kx＋b上，则b的最大值是(A)图4A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(3,4)C．－1 D．0【解析】如答图，连结AC，则四边形ABOC是矩形，典例答图∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△BNM，∴eq\f(AC,MB)＝eq\f(AM,BN)，设BN＝y，AM＝x.则MB＝3－x，ON＝2－y，∴eq\f(2,3－x)＝eq\f(x,y)，即y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x，∴当x＝－eq\f(\f(3,2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(3,2)时，y最大＝－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(9,8)，∵直线y＝kx＋b与y轴交于N(0，b)，当BN最大，此时ON最小，b的值最大，∴ON＝OB－BN＝2－eq\f(9,8)＝eq\f(7,8)，此时，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(7,8)))，故b的最大值为－eq\f(7,8).跟踪训练1.龟兔再赛跑一次，兔子说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(B)2．[2019·毕节]如图5，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－4x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．正方形ABCD的顶点C，D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是__3__．图5【解析】如答图，过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，∵AB⊥AD，∴∠BAO＝∠ADE，跟踪训练2答图∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，∴△ABO≌△DAE(AAS)，∴AE＝BO，DE＝OA，易求A(1，0)，B(0，4)，∴D(5，1)，∵顶点D在反比例函数y＝eq\f(k,x)上，∴k＝5，y＝eq\f(5,x)，易证△CBF≌△BAO(AAS)，∴CF＝4，BF＝1，∴C(4，5)，∵C向左平移n个单位后为(4－n，5)，∴5(4－n)＝5，∴n＝3.3．[2019·乐清模拟]现有一块矩形地皮，计划共分九个区域．区域甲、乙是两个矩形主体建筑，区域丙为梯形停车场，区域①～④是四块三角形绿化区，△AEL和△CIJ为综合办公区(如图6所示)．∠HEL＝∠ELI＝90°，MN∥BC，AD＝220m，AL＝40m，AE＝IC＝30m.(1)求HI的长；(2)若BG＝KD，求主体建筑甲和乙的面积和；(3)设LK＝3x，绿化区②的面积为Sm2.若要求绿化区②与④的面积之差不少于1200m2，求S关于x的函数表达式，并求出S图6解：(1)如答图，过H作HP⊥LI于点P，跟踪训练3答图则四边形EHPL为矩形，HP＝EL＝eq\r(AE2＋AL2)＝eq\r(302＋402)＝50，∵∠A＝∠B＝∠EHP＝90°，∴∠PHI＋∠BHE＝∠BHE＋∠BEH＝∠BEH＋∠AEL＝∠AEL＋∠ALE＝90°，∴∠ALE＝∠PHI，∴cos∠PHI＝cos∠ALE＝eq\f(AL,EL)＝eq\f(4,5)，∴HI＝eq\f(HP,cos∠PHI)＝eq\f(50,\f(4,5))＝eq\f(125,2).即HI的长为eq\f(125,2)m；(2)设BG＝KD＝am，则FM＝NJ＝a，∵FM∥BC，NJ∥BC，且MN∥BC，∴F，M，N，J在同一直线上，且MN＝HI＝eq\f(125,2)，由FM＋MN＋NJ＝BC，得2a＋eq\f(125,2)＝220，解得a＝eq\f(315,4)，∵tan∠EMF＝tan∠MHG＝eq\f(4,3)，∴EF＝105，MG＝eq\f(4,3)GH＝eq\f(4,3)(BC－BG－HI－IC)＝eq\f(4,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(220－\f(315,4)－\f(125,2)－30))＝65，∴主体建筑甲和乙的面积和为eq\f(315,4)×(30＋105＋65)＝15750m2；(3)∵LK＝3x，∴KN＝LK·tan∠KLN＝3x×eq\f(4,3)＝4x，NJ＝KD＝220－40－3x＝180－3x，∴BG＝FM＝220－NJ－MN＝220－180＋3x－eq\f(125,2)＝3x－eq\f(45,2)，∴GH＝220－BG－HI－IC＝220－3x＋eq\f(45,2)－eq\f(125,2)－30＝150－3x，∴GM＝GH·tan∠GHM＝200－4x，∵绿化区②与④的面积之差不少于1200m2∴eq\f(1,2)NJ·GM－eq\f(1,2)GH·GM≥1200，即eq\f(1,2)(180－3x)(200－4x)－eq\f(1,2)(150－3x)(200－4x)≥1200，解得x≤30，∵S＝eq\f(1,2)NJ·GM＝eq\f(1,2)(180－3x)(200－4x)＝6(x－55)2－150，∴当x＜55时，S随x的增大而减小，∴当x＝30时，S有最小值，S最小＝6×(30－55)2－150＝3600.类型三方程与函数思想知识储备：所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题的已知量与未知量的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得以解决．同理，把问题中的某些量之间的数量关系转化为函数的数学模型，利用函数的理论或性质，使问题得以解决，就是函数思想在数学中的应用．典例[2019·河北]勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图7(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为__20__km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为__13__km.图7【解析】(1)由A，B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴，∴AB＝12－(－8)＝20km；(2)如答图，过点C作l⊥AB于点E，连结AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，典例答图由(1)可知CE＝1－(－17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理得x2＝(18－x)2＋122，解得x＝13，∴CD＝13.跟踪训练1.[2019·包头]如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是(C)图8A.eq\f(\r(3)＋1,4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(2,3)【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，在Rt△ABE和Rt△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,AB＝AD，))∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°，∴∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如答图，跟踪训练1答图∴AG＝FG，∠DGF＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)FG＝eq\f(1,2)AG，DG＝eq\r(3)DF，设DF＝x，则DG＝eq\r(3)x，AG＝FG＝2x，∵AG＋DG＝AD，∴2x＋eq\r(3)x＝1，解得x＝2－eq\r(3)，∴DF＝2－eq\r(3)，∴CF＝CD－DF＝1－(2－eq\r(3))＝eq\r(3)－1.2．[2019·青岛]如图9，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD＝4cm，则CF的长为__6－2eq\r(5)__cm.图9【解析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4－x.在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝2eq\r(5).根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝2eq\r(5)－4.在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝(2eq\r(5)－4)2＋x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝(4－x)2＋22，∴(2eq\r(5)－4)2＋x2＝(4－x)2＋22，解得x＝2eq\r(5)CF＝4－x＝6－2eq\r(5).3．[2019·无锡]如图10，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4eq\r(5)，D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连结BE，则△BDE面积的最大值为__8__．图10【解析】如答图，过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M.跟踪训练3答图∵AB＝AC＝5，BC＝4eq\r(5)，∴BM＝CM＝2eq\r(5)，易证△AMB∽△CGB，∴eq\f(BM,GB)＝eq\f(AB,CB)，即eq\f(2\r(5),GB)＝eq\f(5,4\r(5))，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8－x，易证△EDH≌△DCG(AAS)，∴EH＝DG＝8－x，∴S△BDE＝eq\f(1,2)BD·EH＝eq\f(1,2)x(8－x)＝－eq\f(1,2)(x－4)2＋8，当x＝4时，△BDE的面积最大，最大值为8.4．[2019·常州]如图11，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3eq\r(10)，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M，N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__6或eq\f(15,8)__．图11【解析】如答图①，MN为等腰三角形PMN的底边，作PF⊥MN于F，跟踪训练4答图①则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3eq\r(10)，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝eq\r(10)，BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝10，∵点P是AD的中点，∴PD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3\r(10),2)，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴eq\f(PF,AB)＝eq\f(PD,BD)，即eq\f(PF,\r(10))＝eq\f(\f(3,2)\r(10),10)，解得PF＝eq\f(3,2)，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴eq\f(NF,PF)＝eq\f(CE,CD)＝2，∴MF＝NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；如答图②，MN为等腰三角形PMN的腰，作PF⊥BD于F，跟踪训练4答图②则PF＝eq\f(3,2)，MF＝3，设MN＝PN＝x，则FN＝3－x，在Rt△PNF中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋(3－x)2＝x2，解得x＝eq\f(15,8)，即MN＝eq\f(15,8).综上所述，MN＝6或eq\f(15,8).5．[2019·吉林]如图12，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连结AE.动点P，Q从点A同时出发，点P以eq\r(2)cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD－DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x(s)，在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2)．图12备用图(1)AE＝__3eq\r(2)__cm，∠EAD＝__45__°；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)当PQ＝eq\f(5,4)cm时，直接写出x的值．解：(1)∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝3eq\r(2)cm，∠BAE＝∠BEA＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAE＝45°.①②跟踪训练5答图(2)当0＜x≤2时，如答图①，过点P作PF⊥AD，∵AP＝eq\r(2)x，∠DAE＝45°，PF⊥AD，∴PF＝AF＝x，∴y＝S△PQA＝eq\f(1,2)AQ·PF＝x2；当2＜x≤3时，如答图②，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x－4，∴DF＝4－x，∴y＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)(2x－4＋x)(4－x)＝－x2＋8x－8；当3＜x≤eq\f(7,2)时，如答图③，点P与点E重合．∵CQ＝(3＋4)－2x＝7－2x，CE＝4－3＝1，∴y＝eq\f(1,2)×(1＋4)×3－eq\f(1,2)(7－2x)×1＝x＋4.综上，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2（0＜x≤2），,－x2＋8x－8（2＜x≤3），,x＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＜x≤\f(7,2))).))③④跟踪训练5答图(3)当0＜x≤2时，∵QF＝AF＝x，PF⊥AD，∴PQ＝AP，∵PQ＝eq\f(5,4)，∴eq\r(2)x＝eq\f(5,4)∴x＝eq\f(5\r(2),8)；当2＜x≤3时，如答图④，过点P作PM⊥CD，则四边形MPFD是矩形，∴PM＝DF＝4－x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x－(2x－4)＝4－x，∵MP2＋MQ2＝PQ2，∴(4－x)2＋(4－x)2＝eq\f(25,16)，解得x＝4±eq\f(5\r(2),8)，不符合题意，舍去；当3＜x≤eq\f(7,2)时，∵PQ2＝CP2＋CQ2，∴eq\f(25,16)＝1＋(7－2x)2，∴x＝eq\f(25,8).综上，x的值是eq\f(25,8)或eq\f(5\r(2),8).类型四转化思想知识储备：转化思想是指在解决问题时，采用某种手段将问题进行转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．转化思想的核心是把“生题”转化为“熟题”，将复杂问题转化为简单问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．事实上，解题过程就是缩小已知与未知的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向已知转化的过程．典例[2019·扬州]如图13①，已知平面内的两条直线l1，l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，过A，B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T(AB，CD)或T(AB，l2)，特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C.图13请依据上述定义解决如下问题：(1)如图②，在锐角三角形ABC中，AB＝5，T(AC，AB)＝3，则T(BC，AB)＝__2__；(2)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T(AC，AB)＝4，T(BC，AB)＝9，求△ABC的面积；图13(3)如图④，在钝角三角形ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T(AD，AC)＝2，T(BC，AB)＝6，求T(BC，CD)．解：(1)如答图①，作CH⊥AB.∵T(AC，AB)＝3，∴AH＝3，∵AB＝5，∴BH＝5－3＝2，∴T(BC，AB)＝BH＝2；①②典例答图(2)如答图②，作CH⊥AB于H.∵T(AC，AB)＝4，T(BC，AB)＝9，∴AH＝4，BH＝9，∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，∴∠A＋∠ACH＝90°，∠ACH＋∠BCH＝90°，∴∠A＝∠BCH，∴△ACH∽△CBH，∴eq\f(CH,BH)＝eq\f(AH,CH)，∴eq\f(CH,9)＝eq\f(4,CH)，∴CH＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)×13×6＝39；(3)如答图③，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K.典例答图③∵∠ACD＝90°，T(AD，AC)＝2，∴AC＝2，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝∠BDK＝30°，∴CD＝eq\r(3)AC＝2eq\r(3)，AD＝2AC＝4，AH＝eq\f(1,2)AC＝1，DH＝AD－AH＝3，∵T(BC，AB)＝6，CH⊥AB，∴BH＝6，∴DB＝BH－DH＝6－3＝3，在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，∴DK＝BD·cos30°＝eq\f(3\r(3),2)，∴CK＝CD＋DK＝2eq\r(3)＋eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(7\r(3),2)，∴T(BC，CD)＝CK＝eq\f(7\r(3),2).跟踪训练1.[2019·襄阳]改善小区环境，争创文明家园．如图14所示，某社区决定在一块长(AD)16m，宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？图14【解析】设小路的宽应为xm，根据题意得(16－2x)(9－x)＝112，解得x1＝1，x2＝16.∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1.答：小路的宽应为1m.2．[2019·北京]在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图15所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连结AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连结CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．图15解：(1)证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，如答图，跟踪训练2答图∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴AD＝CD；(2)如答图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1.3．[2019·兰州]通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图16①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下：图16【模型应用】如图②，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连结DO交⊙O于点F.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)连结FC交AB于点G，连结FB.求证：FG2＝GO·GB.证明：(1)∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，∴O为斜边AB中点，AB为直径，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵∠DAE＝∠ABC，∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∴∠BAD＝180°－(∠DAE＋∠BAC)＝90°，∴AD⊥AB，∴AD是⊙O的切线；(2)∵∠DEA＝∠ACB，∠DAE＝∠ABC，AD＝AB，∴△DEA≌△ACB(AAS)，∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，∴AD＝AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(5)，∵O为AB中点，∴AO＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，∴eq\f(AO,DE)＝eq\f(\r(5),2)＝eq\f(AD,AE)，∵∠DAO＝∠AED＝90°，∴△DAO∽△AED，∴∠AOD＝∠ADE＝∠BAC，又∵∠BAC＝∠BFC，∴∠GOF＝∠GFB，∴△FGO∽△BGF，∴eq\f(FG,BG)＝eq\f(GO,GF)，∴FG2＝GO·GB.类型五整体思想知识储备：整体思想是从问题的整体出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，然后进行相关计算，达到某种目的．典例[2019·本溪]先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－4,a2－4a＋4)－\f(1,2－a)))÷eq\f(2,a2－2a)，其中a满足a2＋3a－2＝0.解：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（a＋2）（a－2）,（a－2）2)＋\f(1,a－2)))·eq\f(a（a－2）,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,a－2)＋\f(1,a－2)))·eq\f(a（a－2）,2)＝eq\f(a＋3,a－2)·eq\f(a（a－2）,2)＝eq\f(a（a＋3）,2)＝eq\f(a2＋3a,2)，∵a2＋3a－2＝0，∴a2＋3a＝2，跟踪训练1.如图17，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为(D)图17A.eq\f(π,2) B．(2－eq\r(3))πC.eq\f(2－\r(3),2)π D．π【解析】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2eq\r(3)，AB＝4，∵将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE，∴△ABC的面积等于△ADE的面积，∠CAB＝∠DAE，AE＝AC＝2eq\r(3)，AD＝AB＝4，∠CAE＝∠DAB＝90°，∴S阴影＝S扇形BAD＋S△ABC－S扇形CAE－S△ADE＝eq\f(90π×42,360)－eq\f(90π×（2\r(3)）2,360)＝π.本题也可用割补法将阴影部分的面积转化为半径为AB的90°扇形与半径为AC的90°扇形面积之差来计算．2．[2019·河北]对于题目：“如图18①，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n.图18甲：如图②，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去，结果取n＝13；乙：如图③，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去，结果取n＝14；丙：如图④，思路是当x为矩形的长与宽之和的eq\f(\r(2),2)倍时就可移转过去，结果取n＝13.下列说法正确的是(B)A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况无法自由旋转．核心素养专题三阅读理解型问题特征这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．通常是先给出一段阅读材料(如某一问题的解答过程，对某知识点的讲解，对某一操作过程的描述等)，然后提出一个或几个相关问题，利用材料中的思想方法来解答后面的问题类型(1)方法模拟型；(2)新知识学习型；(3)信息处理型；(4)阅读操作型解题策略阅读理解型试题没有固定的解题模式，只有系统掌握基础知识，注重阅读过程，善于总结解题的方法规律，把握各种数学思想方法，遇到这类问题时，才能针对问题的特点，灵活地加以处置类型一新定义型问题典例[2019·衢州]定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点T(x，y)满足x＝eq\f(a＋c,3)，y＝eq\f(b＋d,3)，那么称点T是点A，B的融合点．例如：A(－1，8)，B(4，－2)，当点T(x，y)满足x＝eq\f(－1＋4,3)＝1，y＝eq\f(8＋（－2）,3)＝2时，则点T(1，2)是点A，B的融合点．(1)已知点A(－1，5)，B(7，7)，C(2，4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．(2)如图1，D(3，0)，点E(t，2t＋3)是直线l上任意一点，点T(x，y)是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式；②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．图1解：(1)x＝eq\f(1,3)×(－1＋7)＝2，y＝eq\f(1,3)×(5＋7)＝4，故点C是点A，B的融合点．(2)①由题意得x＝eq\f(1,3)(t＋3)，y＝eq\f(1,3)(2t＋3)，∴t＝3x－3，则y＝eq\f(1,3)(6x－6＋3)＝2x－1；②当∠DHT＝90°时，如答图①所示，设T(m，2m－1)，则E(m，2m＋3)，由点T是点D，E的融合点，得m＝eq\f(m＋3,3)或2m－1＝eq\f(2m＋3＋0,3)，解得m＝eq\f(3,2)，即Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))；①②典例答图当∠TDH＝90°时，如答图②所示，则点T(3，5)，由点T是点D，E的融合点，得E(6，15)；当∠HTD＝90°时，该情况不存在．故点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))或(6，15)．跟踪训练[2019·宁波]定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．图2(1)如图2①，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；(2)如图②，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；(3)如图③，在(1)的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°，跟踪训练1答图即∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；(2)如答图所示(答案不唯一)，四边形AFEB为所求；(3)∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD＋DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴eq\f(QB,NC)＝eq\f(BD,CE)＝eq\f(3,5)，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10.类型二新知识学习型问题典例[2019·威海](1)阅读理解：如图3，点A，B在反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象上，连结AB，取线段AB的中点C.分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象于点D.点E，F，G的横坐标分别为n－1，n，n＋1(n＞1)．小红通过观察反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象，并运用几何知识得出结论：AE＋BG＝2CF，CF＞DF.由此得出一个关于eq\f(1,n－1)，eq\f(1,n＋1)，eq\f(2,n)之间数量关系的命题：图3若n＞1，则__eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n＋1)＞eq\f(2,n)__；(2)证明命题：小东认为可以通过“若a－b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．解：(1)∵AE＋BG＝2CF，CF＞DF，AE＝eq\f(1,n－1)，BG＝eq\f(1,n＋1)，DF＝eq\f(1,n)，∴eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n＋1)＞eq\f(2,n)；(2)证明：[方法一]：∵eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(2,n)＝eq\f(n2＋n＋n2－n－2n2＋2,n（n－1）（n＋1）)＝eq\f(2,n（n－1）（n＋1）)，∵n＞1，∴n(n－1)(n＋1)＞0，∴eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(2,n)＞0，∴eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n＋1)＞eq\f(2,n).[方法二]：∵eq\f(\f(1,n－1)＋\f(1,n＋1),\f(2,n))＝eq\f(n2,n2－1)＞1，∴eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n＋1)＞eq\f(2,n).跟踪训练1.[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：第一次：菜价3元/千克质量(kg)金额(元)甲13乙13第二次：菜价2元/千克质量(kg)金额(元)甲12乙3(1)完成上表；(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．(均价＝总金额÷总质量)【数学思考】(3)设甲每次买质量为mkg的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克，b元/千克，用含有m，n，a，b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价eq\o(x,\s\up6(－))甲、eq\o(x,\s\up6(－))乙，比较eq\o(x,\s\up6(－))甲、eq\o(x,\s\up6(－))乙的大小，并说明理由．【知识迁移】(4)某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时(p＜v)，船顺水航行速度为(v＋p)，逆水航行速度为(v－p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由．解：(1)2×1＝2(元)，3÷2＝1.5(元/千克)；(2)甲两次买菜的均价为(3＋2)÷2＝2.5(元/千克)，乙两次买菜的均价为(3＋3)÷(1＋1.5)＝2.4(元/千克)．(3)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(ma＋mb,2m)＝eq\f(a＋b,2)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(2n,\f(n,a)＋\f(n,b))＝eq\f(2ab,a＋b)，∴eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)≥0，∴eq\o(x,\s\up6(－))甲≥eq\o(x,\s\up6(－))乙．(4)t1＜t2.理由：t1＝eq\f(2s,v)，t2＝eq\f(s,v＋p)＋eq\f(s,v－p)＝eq\f(2sv,v2－p2)，∴t1－t2＝eq\f(2s,v)－eq\f(2sv,v2－p2)＝eq\f(－2sp2,v（v2－p2）)，∵0＜p＜v，∴t1－t2＜0，∴t1＜t2.2．[2019·株洲]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)．(1)若a＝1，b＝－2，c＝－1，①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2＋qx＋r(p≠0)，满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个不同的“不动点”．(2)设b＝eq\f(1,2)c3，如图4，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1，0)，B(x2，0)，其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为(1，0)，过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若eq\f(PC,PA)＝eq\f(\r(5),\r(5a2＋1))，求二次函数的表达式．图4解：(1)①∵a＝1，b＝－2，c＝－1，∴y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴该二次函数图象的顶点坐标为(1，－2)；②证明：当y＝x时，x2－2x－1＝x，整理得x2－3x－1＝0，∴Δ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0，∴方程x2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，即二次函数y＝x2－2x－1有两个不同的“不动点”．(2)把b＝eq\f(1,2)c3代入二次函数，得y＝ax2＋eq\f(1,2)c3x＋c，∵二次函数与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜0，x2＞0)，即x1，x2为方程ax2＋eq\f(1,2)c3x＋c＝0的两个不相等实数根，∴x1＋x2＝－eq\f(\f(1,2)c3,a)＝－eq\f(c3,2a)，x1x2＝eq\f(c,a).∵当x＝0时，y＝ax2＋eq\f(1,2)c3x＋c＝c，∴C(0，c)，∵E(1，0)，∴CE＝eq\r(1＋c2)，AE＝1－x1，BE＝x2－1，∵DF⊥y轴，OC＝OD，∴DF∥x轴，∴eq\f(CE,EF)＝eq\f(OC,OD)＝1，∴EF＝CE＝eq\r(1＋c2)，CF＝2eq\r(1＋c2).∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB，∴△AEF∽△CEB，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(EF,BE)，即AE·BE＝CE·EF，∴(1－x1)(x2－1)＝1＋c2，展开得1＋c2＝x2－1－x1x2＋x1，即1＋c2＝－eq\f(c3,2a)－1－eq\f(c,a)，c3＋2ac2＋2c＋c2(c＋2a)＋2(c＋2(c2＋2)(c＋2a∵c2＋2＞0，∴c＋2a＝0，即c＝－2∴x1＋x2＝－eq\f(－8a3,2a)＝4a2，x1x2＝eq\f(－2a,a)＝－2，CF＝2eq\r(1＋c2)＝2eq\r(1＋4a2)，∴