2021年山东省泰安市岱岳区中考数学三模试卷

2021年山东省泰安市岱岳区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共36分.每小题给出的四个选项，只有

一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的相应位置）

1.（4分）2021的倒数的相反数是（)

A.」B.-2021C]D.2021

20212021

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.即7^书6B.3a2・2/=6心

C.(a-b)2—a2-b1D.(-2a2匕)3=-846b3

3.（4分）0.00007用科学记数法表示为“X10”,则（）

A.a=7,n--5B.a=7,n=5C.a=0.7,n=-4D.a=0.7,〃=4

4.（4分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是

赵爽弦图B.O笛卡尔心形线

C.科克曲线斐波那契螺旋线

5.（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为48,CD.若CD

//BE,Zl=30°,则/2的度数是（)

C.65°D.70°

6.（4分）小冉准备完成课后作业，却发现某个题目中有一个数据被墨迹覆盖：己知一组数

据32,20,22,30,36,则这组数据的平均数是众数是.小冉

的妈妈翻看答案后告诉小冉，这组数据的平均数是27.则被墨迹覆盖的数据和这组数据

的众数分别是（）

A.20,20B.22,22C.24,24D.30,30

7.（4分）如图，AB是圆。的直径，C,。是AB上的两点，连接AC,BD相交于点E,若

NBEC=58°,那么NCOC的度数为（）

8.（4分）把方程化成（x+m）2="的形式得（）

3

A,3.227B,3、229

A.（x»）FB.（x/）工

C.代工）2=^D.（心产=^1

ix2，4124

9.（4分）如图，经过A、C两点的。0与△A8C的边BC相切，与边A8交于点。，若/

4OC=105°,BC=CD=3,则A。的值为（）

A.3-\/2B.2&C.D.

22

10.（4分）如图，正比例函数一次函数”=取+6和反比例函数”=K的图象在同

一平面直角坐标系中，若"则自变量x的取值范围是（)

B.-IVxVO或x>1.6

D.x<-1或O«1

11.（4分）如图，正方形43C。和正方形OEFO的顶点A,E,。在同一直线/上，且EF

=&,AB=3f给出下列结论：①NCOO=45°,②AE=5,③CF=BD=A，©△

COF的面积SACOF=3,其中正确的个数为（）

A.1个B・2个C・3个D.4个

12.（4分）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩

上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从

第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：m=l,。2=

2.673=3,44=3,675=6,46=4,677=10,48=5…，则499+〃100的值为（）

1

1f21

/

13f31

/

146—►41

/

151010f51

A.1275B.1326C.1378D.1431

二、填空题（本小题6个小题，每个小题4分，共24分）

13.（4分）（-*）2X｛（2）2=.

14.（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的

城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，

己知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程

为.

15.（4分）△ABC中，NABC=30°,AB=4«,AC=4,则8C=.

16.（4分）如图，矩形ABCD中，AB=&,将矩形ABC。绕点A逆时针旋转45°得到矩

形AB'CD',此时点8'恰好落在上时，点C的运动路径为弧CC',则图中阴

影部分的面积为.

17.（4分）二次函数），=/+公+,（a<0）的图象与x轴的两个交点A、8的横坐标分别为

-3、1,与y轴交于点C,下面四个结论：①16“+4人+c<0；②若P（-5,yi）,Q（互,

2

田是函数图象上的两点，则yi>”；③c=-3a；④若aABC是等腰三角形，则6=-空Z

3

或-空逅.其中正确的有.（请将正确结论的序号全部填在横线上）

3

18.（4分）在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧的A（2,2）、B（8,4）两个城

镇分别铺设管道输送燃气.其中A（2,2）、B（8,4）之间规划位置固定的生态保护区，

其中C在A的正东方向，AC=2,四边形C0EF为边长是3的正方形.现要求燃气管道

不能穿过该区域，试确定燃气站的位置使铺设管道的路线最短，则最短路程

为

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

x+2>0

19.（8分）先化简，再求值：（1+配工），其中x是不等式组|、-l_x的整

x+1x2-lIQ号

数解.

20.（10分）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了

《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点.在联赛

方面，作为国内最高水平的联赛--中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超

联赛已经引起了世界的关注.图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图.

球队积分分布国球队积分统计图

6

5

4

3

2

1

0

24.5-29.529.5-34334.5-39.539.5-44.544^-49^^3^

（1）根据图，请计算该年有支中超球队参赛;

（2）补全图一中的条形统计图；

（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高

者为冠军.倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，8队49分，C队48

分，。队45分.在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在

己经结束的一场比赛中，A队和对手打平.请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺

得冠军的概率是多少？

21.（11分）如图，直线/：y=or+匕分别与x轴，y轴相交于A,B,与反比例函数y=K（x

>0）的图象相交于点P（2,3）,作PCLx轴于C,已知△APC的面积为9.

（1）请分别求出直线/与反比例函数y=K的表达式；

X

（2）将直线/向下平移，平移后的直线与x轴相交于点D,与反比例函数y=K（x>0）

x

的图象交于点Q，作轴于E,如果△APC的面积是△QEQ的面积的2倍，求点。

的坐标.

22.（11分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共

140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件文化衫的批发价和

零售价如下表所示：

批发价（元）零售价（元）

黑色文化衫1025

白色文化衫820

（1）若学校恰好用完预计的进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？

（2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能

使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？

23.（12分）如图①，点P是菱形4BC。对角线4c上的一点，点E在BC的延长线上，且

PE=PB.

（1）求证：PD=PE；

（2）如图②，当NA8C=90°时，连接。E,则些是否为定值？如果是，请求其值；如

BP

果不是，请说明理由.

24.（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-5与x轴相交于点A,与y轴相交于

点B,抛物线y—a^+Gx+c经过A、B两点.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C,点P是抛物线上一点，点。是直线AB上的一

点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接QC,在/QCB的内部作射线CD与抛物线的对称轴相交

于点。，且使得NQC£)=NA8C,请你直接写出线段。。的长度.

25.(13分)【基础巩固】

(1)如图①，ZABC=ZACD=ZCED=a,求证：^ABC^^CED.

【尝试应用】

(2)如图②，在菱形ABCQ中，NA=60°,点E,F分别为边ADAB上两点，将菱

形ABC。沿EF翻折，点4恰好落在对角线。8上的点P处，若PD=2PB,求处的值.

AF

【拓展提高】

(3)如图③，在矩形ABCD中，点「是人。边上一点，连接尸8,PC,若以=2,PD=

2021年山东省泰安市岱岳区中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共36分.每小题给出的四个选项，只有

一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的相应位置）

I.（4分）2021的倒数的相反数是（）

A.一」B.-2021C.D.2021

20212021

【解答】解：2021的倒数为：」—，则」—的相反数是：

202120212021

故选：A.

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.5^3+778=8^3B.3a2•2a3=6a6

C.Ca-b）2—a2-b2D.（-2a1b）3=-8a6b3

【解答】解：4573+718=573+372-被开方数不同，无法进行加减运算，故此选项

错误；

B、3/・2/=6“5,故此选项错误；

C、（.a-h）2=a2-2ab+h2,故此选项错误；

。、（-242b）3=-8a6/,故此选项正确.

故选：D.

3.（4分）0.00007用科学记数法表示为aX表",则（）

A.a=7,n--5B.a=l,n=5C.a=0.7,n=-4D.a=0.7,n=4

【解答】解：将0.00007用科学记数法表示为7X10-5.

故选：A.

4.（4分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是

赵爽弦图B.O笛卡尔心形线

c.科克曲线D.斐波那契螺旋线

【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意;

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

5.（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD.若CD

UBE,Zl=30°,则N2的度数是（）

C.65°D.70°

【解答】解：如图，延长以，由折叠的性质，可得/3=/1=30°,

.,.Z4=180o-30°-30°=120°,

•:CDaBE,BE//AF,

：.ZACD=Z4=120°,

又,：AC〃BD,

；.N2=180°-/AC£)=180°-120°=60°.

故选：B.

6.（4分）小冉准备完成课后作业，却发现某个题目中有一个数据被墨迹覆盖：已知一组数

据32,20,22,30,,36,则这组数据的平均数是,众数是.小冉

的妈妈翻看答案后告诉小冉，这组数据的平均数是27.则被墨迹覆盖的数据和这组数据

的众数分别是（）

A.20,20B.22,22C.24,24D.30,30

【解答】解：根据题意知被墨迹覆盖的数据为27X6-（32+20+22+30+36）=22,

所以重新排列这组数据为20、22、22、30、32、36,

则这组数据的众数为22,

故选：B.

7.（4分）如图，A8是圆。的直径，C,。是AB上的两点，连接AC,BQ相交于点E,若

NBEC=58°,那么/OOC的度数为（）

【解答】解：连接BC,

ZACB=90Q,

VZBEC=580,

AZI=90°-ZBEC=90°-58°=32°,

AZ£)OC=2Z1=2X32°=64°,

故选：B.

8.（4分）把方程12-》-5=（）,化成（x+m）2=〃的形式得（）

3

A.63产且B.（_A）2^29_

'X22ix2J4

C.6力）2=4^（

2/D.

ix4'2,4

【解答】解：»-x-5=0,

3

x2-3x=15,

x2-3x+—=15+—,

44

（x-3）2=毁

24

故选：C.

9.（4分）如图，经过A、C两点的。。与AABC的边3c相切，与边AB交于点O,若/

ADC=105°,BC=CD=3,则4。的值为（）

c平D.华

【解答】

解：连接0。，0C,过点。作OEJ_A。于点E,则NOEO=90°,AE=DE,

VZADC=105°,BC=CD=3,

：.ZBDC=ZDBC=15°,

：.ZBCD=30°,

・・・8C与圆。相切，

・・・OC.LBC,

：.ZBCO=90°,

AZDCO=ZBCO-ZDCB=90°-30°=60°,

,/OD=OC,

•••△OC£>是等边三角形，

：.DC=OD=3,NOOC=60°，

：.ZODE=ZADC-ZODC=105°-60°=45°,

：.DE=3乂返=晅

22

:.AD=2DE=3版.

故选：A.

10.（4分）如图，正比例函数巾=处，一次函数”=以+6和反比例函数），3=K的图象在同

x

一平面直角坐标系中，若则自变量X的取值范围是（）

A.x<-\B.-ICxVO或x>1.6

C.-1<x<0D.x<-l或0<xVl

【解答】解：由图象可知，当-1<XV0或x>1.6时，双曲线”落在直线”上方，且直

线y2落在直线>'1上方，即y3>>'2>yi>

所以若y3>）2>yi,则自变量x的取值范围是-l〈x<0或x>1.6.

故选：B.

11.（4分）如图，正方形ABCO和正方形。EF。的顶点A,E,。在同一直线/上，且EF

=&,48=3,给出下列结论：①NCOC=45°，②AE=5,③CF=B£>=Jj7，©△

COF的面积&COF=3,其中正确的个数为（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解:①：NAOC=90°,NDOE=45：

：.ZCOD=1800-ZAOC-Z£)OE=45°,

故正确；

②YEF=近,

：.OE=2,

"：AO=AB=3,

：.AE=AO+OE=2+3=5,

故正确；

③作于，，作尸GJ_C。交CO的延长线于G,

则FG=\,

CF=VFG2-K：G2=712+(3+1)2=V17,

BH=3-1=2,

£>H=3+1=4,

BD=V42+22=2V5,

故错误；

®/\COF的面积SACOF=AX3X1=2,

22

故错误；

故选：B.

12.（4分）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩

上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从

第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：m=1,。2=

2.“3=3,〃4=3,45=6,46=4,47=10,48=5…，贝!J〃99+。100的值为（）

1

1f21

/

13f31

/

146—►41

151010f51

A.1275B.1326C.1378D.1431

【解答】解：由图可得，

第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始，

第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始，

.•・。99+。100

=（1+2+3+…+50）+[（1004-2）+1]

=50X8+50）+（5o+i）

2

=1275+51

=1326,

故选：B.

二、填空题（本小题6个小题，每个小题4分，共24分）

13.（4分）（-*）-2义｛（父2=8.

【解答】解：原式=4X2=8.

故答案为8.

14.（4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的

城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，

己知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为2义

900_900

x+1x-3―

【解答】解：设规定时间为X天，则快马所需的时间为（、-3）天，慢马所需的时间为

（x+1）天,

由题意得：2X900=900

x+1x-3

故答案是：2X900_900

x+1x-3

15.（4分）△A8C中，ZABC=30°，AB=4遥，AC=4,则BC=8或4•

【解答】解：①当NACB为锐角时，如图1,过点A作A£>_LBC,垂足为力,

在RtZXABO中，VZABC=30°,AB=4我，

：.AD=lAB=2y/3>BD=cos30°XAB=6,

在中，DC342T源）2=2,

：.BC=BD+DC=6+2=8；

②当/AC3为钝角时，如图2,过点A作AOL8C,交BC的延长线于点

在RtZXAB。中，VZABC=30°,AB=4«,

：.AD=lAB=2yf3>BO=cos30°XAB=6,

2

在Rt^ADC中，亦=在2_（2«）2=2,

：.BC=BD-DC=6-2=4；

因此BC的长为8或4,

故答案为：8或4.

16.（4分）如图，矩形ABCD中，AB=M，将矩形ABC。绕点A逆时针旋转45°得到矩

形A8'CD',此时点8'恰好落在CD上时，点C的运动路径为弧CC',则图中阴

影部分的面积为一丝二圾

—8—2―

c

【解答】解：连接AC,AC,

•.•旋转45°,

：.^ADB'是等腰直角三角形,

：.AD=\,

在RtZ\4C。中，ZADC=90a,

•'•S扇形CAC，=45义兀X（付2受

加

3608

SAAB'C—S^ADC——X1XA/Q-

22

SAAB.c=lxiX（后1）斗母

V21

s阴影=3兀一）

82

二|■兀M蒋

O/

故答案为：3兀/J.

82

17.（4分）二次函数y=/+6x+c（a<0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为

-3、1,与y轴交于点C,下面四个结论：①16a+4b+cV0；②若尸(-5,yi),Q(旦,

2

”)是函数图象上的两点，则川力七③。：-3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=-空

3

或一空逅.其中正确的有①③④.(请将正确结论的序号全部填在横线上)

3

【解答】解：©Va<0,

.,.抛物线开口向下，

•.•图象与x轴的交点4、8的横坐标分别为-3,1,

当x=-4时，y<0,

即16a-4/?+<?<0；

故①正确；

②•.•图象与x轴的交点4、B的横坐标分别为-3,1,

抛物线的对称轴是：x=-1,

,：P(-5,yi),Q(A,”)，

-1-(-5)=4,—-(-1)=3.5,

2

由对称性得：(-4.5,”)与Q($,”)是对称点，

2

・••则yiV”；

故②不正确；

③；一旦=-1,

2a

b—2。，

当％=1时，y=0,即〃+b+c=O,

3〃+c=0,

c=-3a,故③正确；

④要使△AC3为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或A8=AC=4或AC=8C,

当AB=BC=4时，

'：B0=\,△BOC为直角三角形，

又；0C的长即为匕|,

.,.C，2=16-1=15,

V由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,

与b=2a、a+b+c=O联立组成解方程组，解得b=-2里;

3

同理当AB=AC=4时，

-：A0=3,△AOC为直角三角形，

又；oc的长即为Id，

.•"2=16-9=7,

•.•由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

•**c=^7，

与b=2a、a+b+c^O联立组成解方程组，解得b=-2互；

3

同理当AC=BC时，

在△AOC中，AC2=9+?,

在△BOC中BC2=C2+1,

：AC=BC,

.•.1+/=d+9,此方程无实数解.

经解方程组可知有两个b值满足条件.

故④正确.

综上所述，正确的结论是①③④.

故答案是：①③④.

18.(4分)在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧的4(2,2)、B(8,4)两个城

镇分别铺设管道输送燃气.其中A(2,2)、B(8,4)之间规划位置固定的生态保护区，

其中C在A的正东方向，AC=2,四边形SEP为边长是3的正方形.现要求燃气管道

不能穿过该区域，试确定燃气站的位置使铺设管道的路线最短，则最短路程为

V41W5—.

【解答】解：如图，作A关于x轴的对称点4,连接4。交x轴于G,连接B。、AG,

：.GA=GA',

：.AG+GD+BD=A'G+GD+BD^A'D+BD,

,：A(2,2)、B(8,4),AC=2,C在A的正东方向，四边形CDEF为边长是3的正方

形

AA'(2,-2),D(7,2),

•',A'D={(7-2)2+(2+2)BD=y](8-7)2+(4-2)2=^5>

...铺设管道的路线最短为JUr而，

故答案为：v41+v5.

1i

I

A'

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

\+2>0

19.(8分)先化简，再求值：(1+配工)+4一，其中x是不等式组、一i-x的整

x+1x2-l

2

数解.

［解答］解：原式=x+l+3x-l」x+l)(x-l)

x+1X

=4x.(x+1)(x-1)

x+lX

=4(JC-1)

—4x-4,

\+2>0

不等式组|、-1-x,

2

解得：-2VxV3,

•・•不等式组的整数解是尤=-1或1或0或2,

・,•当冗=-1,1,0时，原式没有意义；

当x=2时，原式=4(2-1)=4.

20.Q0分)2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了

《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点.在联赛

方面，作为国内最高水平的联赛--中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超

联赛已经引起了世界的关注.图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图.

6

5

4

3

2

1

0

(1)根据图，请计算该年有16支中超球队参赛:

(2)补全图一中的条形统计图；

(3)根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高

者为冠军.倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48

分，。队45分.在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在

已经结束的一场比赛中，A队和对手打平.请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺

得冠军的概率是多少？

【解答】解：(1)44-25%=16(支)，

答：该年有16支中超球队参赛；

故答案为：16；

(2)积分为39.5-44.5的球队为16-1-3-6-4=2(支)，

补全条形统计图如图所示；

(3)依题意列表格：

ABC

胜525148

平50504946

负494845

由表格得到共有如下27种比赛积分结果：

(50,52,51,48)；(50,52,51,46)；(50,52,51,45)；

(50,52,49,48)；(50,52,49,46)；(50,52,49,45)；

(50,52,48,48)；(50,52,48,46)；(50,52,48,45)；

(50,50,51,48)；(50,50,51,46)；(50,50,51,45)；

(50,50,49,48)；(50,50,49,46)；(50,50,49,45)；

(50,50,48,48)；(50,50,48,46)；(50,50,48,45)；

(50,49,51,48)；(50,49,51,46)；(50,49,51,45)；

(50,49,49,48)；(50,49,49,46)；(50,49,49,45)；

(50,49,48,48)；(50,49,48,46)；(50,49,48,45)；

其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种,

_6__2

故p(C队获胜)=

276

6

5

4

3

2

1

0

21.(11分)如图，直线/：y=ax+b分别与x轴，y轴相交于A,B,与反比例函数y=K(x

>0)的图象相交于点P(2,3),作PC，x轴于C,已知△APC的面积为9.

(1)请分别求出直线/与反比例函数y=K的表达式；

x

(2)将直线/向下平移，平移后的直线与x轴相交于点力，与反比例函数y=K(x>0)

X

的图象交于点。，作QELx轴于E,如果△APC的面积是△OE。的面积的2倍，求点。

的坐标.

【解答】解：(1)・・•点P(2,3)在反比例函数丁=区的图象上,

・・・Z=2X3=6,PC=3,OC=2,

...反比例函数的表达式为y=旦，

X

••,△4PC的面积为9,

ASAAPC=-1PC*AC=AX3AC=9,

22

・・・AC=6,

：.AO=6-2=4,

・••点A的坐标为（-4,0）,

把点A（-4,0）,P（2,3）代入y=ax+b得[Ya+b-O,

[2a+b=3,

'八

解得：a=7,

b=2

,一次函数的表达式为y=-kr+2；

2

（2）设平移后的直线的表达式为），=/+〃?，点。的纵坐标为〃（〃>0）,

由题意可知，△KPS△Dg

'：/\APC的面积是△DEQ的面积的2倍，

（里）2=2,

QE

：.QE=^2L,

2

代入旷=反得x=2版,

X

・・・Q（2加,22）,

2_

代入y=^x+tn得，当屋/X2近+加,

2_

：.y—Xx+^-,

-22

令y=0，得x=-近，

...点。的坐标为（-&,0）.

22.（11分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共

140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件文化衫的批发价和

零售价如下表所示：

批发价（元）零售价（元）

黑色文化衫1025

白色文化衫820

（1）若学校恰好用完预计的进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？

（2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能

使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？

【解答】解：（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫（140-x）件，

依题意，得：10x+8（140-x）=1240,

解得：x=60（件）

140-x=140-60=80（件），

答：学校购进黑文化衫60件，白文化衫80件.

（2）设学校购进黑文化衫a件，白文化衫（140-a）件，获得利润y元.

由题意得:aW3（140-67）,

解得：“W105,

则y=a（25-10）+（140-a）（20-8）=3a+1680,

是关于〃的一次函数，3>0,

随a的增大而增大，

当〃取最大值105时，y有最大值，

此时，140-“=140-105=35（:件），

即购买黑文化衫105件，白文化衫35件获得利润最大，

）加欧=3X105+1680=1995（元）.

答：购买黑文化衫105件，白文化衫35件获得利润最大；利润最多为1995元.

23.（12分）如图①，点P是菱形4BCD对角线4c上的一点，点E在BC的延长线上，且

PE=PB.

（1）求证：PD=PE；

（2）如图②，当/ABC=90°时，连接OE,则些是否为定值？如果是，请求其值；如

BP

果不是，请说明理由.

D

D

①②

【解答】证明：（1）•..四边形A8C。是菱形，

：.BC=DC,NBCP=NDCP,AB//DC,

在△BCP和△OCP中，

"BC=DC

-ZBCP=ZDCP>

PC=PC

:.△BCPQADCP（SAS）,

：.PB=PD,

•；PE=PB,

：.PD=PE；

（2）还4后，理由如下：

BPr2

'：ZABC=90Q,

四边形ABC。是正方形，

由（1）知，△BCPQXDCP,

：.4CBP=4CDP,

■:PE=PB,

：.ZCBP=ZE,

'：ZCFE=ZDFP（对顶角相等），

.".1800-NDFP-NCDP=180°-ZCFE-ZE,

即/。PE=N£>CE,

'JAB//CD,

：.ZDCE^ZABC,

；.NDPE=NABC=90°,

又,：PD=PE,

:.DE=&PE,

.DE_r

24.（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-5与x轴相交于点A,与y轴相交于

点B,抛物线了=0^+6X+。经过A、8两点.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C,点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上的一

点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接QC,在/QCB的内部作射线CO与抛物线的对称轴相交

于点。，且使得NQCD=/A8C,请你直接写出线段。。的长度.

【解答】解：（1）I•直线y=x