2021年江苏省苏州市相城区草桥中学中考数学一模试卷(解析版)

2021年江苏省苏州市相城区草桥中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.数字2021的倒数为（）

B・薪

A」C.-2021D.2021

'2021

2.2020年1月起，新冠疫情席卷全球，截止2021年4月6日18时，累计确诊病例达133000000

例，133000000用科学记数法表示为（）

A.133X106B.13.3X107C.1.33X108D.0.133X109

3.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）

俯视图

A.圆柱B.圆锥C.长方体D.球

4.一组数据：1、2、2、3,若添加一个数据2,则发生变化的统计量是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

5.已知x-2y=5,那么代数式8-3x+6y的值是（）

A.-7B.0-(3x-6y)C.23D.3

6.点C在。。上，若/OCA=55。,45=6,则前的长为（）

C.4冗

11D.1In

TK4

7.定义运算：相相〃+].例如：3☆2=3X22-3X2+1=7,则方程4☆x=0的根

的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

8.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的

加入，实际每天植树比原计划多30%,结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万

棵，由题意得到的方程是()

505050_50

x(1+30%)xx30%x

c.旦一2aD.—50.=2

30%xx(1+30%)xx

9.如图，甲、丙两地相距400h",一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从

乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线A-B-C-D表示两车之间的距离

与慢车行驶的时间之间的函数关系.根据图中提供的信息，下列说法不正确的是

()

甲乙丙

A.甲、乙两地之间的距离为lOOh”

B.快车从甲地驶到丙地共用了2.56

C.快车速度是慢车速度的1.5倍

D.快车到达丙地时，慢车距丙地还有粤右”

O

10.如图，点P是反比例函数y=--(x<0)上的一个动点，点A(-2,0)、M(0,8)

x

分别在无轴、y轴上，当点M到AP所在直线距离最大时，点尸的坐标是()

A.(-6,1)B.(-5,4)C.(-4,4)D.(-3,2)

52

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应位置上)

11.计算：2〃3・3〃2=.

12.因式分解：3a2-27=.

13.如图，直线a//b,将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若Nl=27°,则/2

14.已知L且i=6,则〃的值为一.

15.圆锥的底面半径为5a”，高为12cro,则圆锥的侧面积是.

16.如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度a(0°<a<90"),得到△AB'C,

若B',C,C三点在同一条直线上，ZB/CB=48°,则a=°.

2

17.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,CD=CB,sinNB4O=*ZBC£>=60°,连接

5

AC,贝！JtanZACD=.

AB

18-在平面直角坐标系中’将抛物线产上一(“7)A3，”5为常数)绕着原点旋转

180°,所得图象的顶点坐标为(s,f),当机24时，代数式2/+s的最小值为.

三、解答题(本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

19.计算：卜2|-,+(y)-2+cos30°.

x-1<2x-l

20.解不等式组：rir3.

3(x+l)》5x+4

Y-O4

21.先化简，再求值：1),其中x=2-«.

22.“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂，”小明同学带了4个青团子(除馅不同外，其他

均相同)，其中有2个豆沙青团、1个芝麻青团和1个肉松青团，他准备从中拿出两个给

他的同学小玲.

(1)用画树状图或列表的方法列出小玲拿到2个青团的所有等可能的结果；

(2)请你计算小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率.

23.为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两

个年级随机抽取了一部分同学的成绩(百分制)，并对数据(x分)进行了整理，“A优

秀：90Wx<100；8良好：89WxW75；C合格74<xW60；。不合格：x<60”四类分别

进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图(不完整).

(1)此次共调查了名学生；

(2)扇形统计图中。所在扇形的圆心角度数为；

(3)将条形统计图补充完整；

(4)若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数.

24.如图，已知点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,ZA=ZD.

(1)求证：AC〃£>E；

(2)若BF=13,EC=5,求2c的长.

C

BE

D

25.如图，函数丫=当与函数)=皿(x>0)的图象相交于点A(",4).点B在函数y=&

3xx

(x>0)的图象上，过点8作3C〃x轴，BC与)，轴相交于点C,且AB=AC.

(1)求〃?、n的值;

(2)求直线AB的函数表达式.

26.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m),且，“W0,点3的坐标为(〃，0),

将线段AB绕点B顺时针旋转90°,得到线段84,称点Ai为点A关于点B的“伴随点”,

图1为点A关于点8的“伴随点”的示意图.

(1)已知点A(0,4),

①当点8的坐标分别为(2,0),(-1,0)时，点4关于点8的“伴随点”的坐标分

别为，;

②点Ai(x,j)是点A关于点8的“伴随点”，探究点4的运动路径所对应的函数表达

式，并说明理由.

(2)如图2,点C的坐标为(4,-3),以C为圆心，血为半径作圆，若在OC上存

在点A关于点B的“伴随点”，则A的纵坐标m的取值范围

4x(0<x<l).把△MBN绕点M旋转，得到△■厂,点E落在线段MN上.

(1)求证：MN//AC-,

(2)若点E在/BC4的平分线上，求BM的长；

9Q

(3)若与△ABC重叠部分图形的周长为名，求x的值.

5

28.如图I,抛物线y=(x-2-2,〃+1(机为常数)与x轴交于A、B两点(点8在点A

右侧)，与y轴交于点C.

(1)下列说法：①抛物线开口向上；②点C在)，轴正半轴上；③机>/；④抛物线顶点

在直线y=-2x+l上，其中正确的是；

(2)如图2,若直线y=-2x+l与该抛物线交于M、N两点(点例在点N下方)，试说

明：线段的长是一个定值，并求出这个值；

(3)在(2)的条件下，设直线y=-2r+l与)，轴交于点Q,连接BM、BN、BD,当DN：

MN=1：2时，求此时，”的值，判断与是否相似，并说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.数字2021的倒数为（）

【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案.

解：数字2021的倒数为：比号.

故选:B.

2.2020年1月起，新冠疫情席卷全球，截止2021年4月6日18时，累计确诊病例达133000000

例，133000000用科学记数法表示为（）

A.133X1（）6B.13.3X107C.1.33X108D.0.133X109

【分析】科学记数法的表示形式为aXl伊的形式，其中1W⑷<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值二10时，〃是正整数，当原数绝对值<1时，〃是负整数.

解：133000000=1.33X108.

故选：C.

3.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）

俯视图

A.圆柱B.圆锥C.长方体D.球

【分析】综合该物体的三种视图，分析得出该立体图形是圆柱体.

解：4、圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，正确；

8、圆锥体的三视图分别是等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，错误;

c、长方体的三视图都是矩形，错误；

。、球的三视图都是圆形，错误；

故选：A.

4.一组数据：1、2、2、3,若添加一个数据2,则发生变化的统计量是()

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.

解：A、原来数据的平均数是2,添加数字2后平均数仍为2,故A与要求不符；

B、原来数据的中位数是2,添加数字2后中位数仍为2,故B与要求不符；

C、原来数据的众数是2,添加数字2后众数仍为2,故C与要求不符；

D、原来数据的方差群=(卜2)2+2><(2-2)2+(3-2)2=4,

添加数字2后的方差W=(卜2)2X(2-2)2+(3-2产=看故方差发生了变化.

55

故选：D.

5.已知x-2y=5,那么代数式8-3x+6y的值是()

A.-7B.0-(3x-6y)C.23D.3

【分析】把所求式子变形，再整体代入即可得答案.

解：Vx-2y=5,

:.8-3x+6y

=8-3(x-2y)

=8-3X5

=8-15

=-7,

故选：A.

6.如图，AB为。0的直径，点C在。0上，若NOC4=55°,AB=6,则前的长为()

【分析】先利用等腰三角形的性质得出NA的度数，再利用圆周角定理得出N80C的度

数，再利用弧长公式求出答案.

解：・・・NOC4=55°,OA=OC,

：.ZA=55°,

.\ZBOC=2ZA=110°,

•.♦A8=6,

B0=3,

萩的长为:lionX3_11

isor71

故选：B.

7.定义运算：，-〃7”+i.例如：3i<-2=3X22-3X2+1=7,则方程4☆x=0的根

的情况为()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【分析】先利用新定义得到方程4N-4x+l=0,再计算判别式的值，然后根据判别式的

意义判断方程根的情况.

解：方程4☆x=O化为4/-4x+l=0,

(-4)2-4X4=。，

•••方程有相等的实数解.

故选：B.

8.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的

加入，实际每天植树比原计划多30%,结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万

棵，由题意得到的方程是()

505050_50

x(1+30%)xx30%x

Cc.---5--0----9c=--5--0-Dc.i-----5--0--；-------5--0-=9c

30%xx(1+30%)xx

【分析】根据原计划的天数-实际的天数=提前的天数可以列出相应的方程，本题得以

解决.

解：由题意可得，

50_50=2

(1+30%)x-'

故选：A.

9.如图，甲、丙两地相距400A”，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从

乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线A-8-C-O表示两车之间的距离y(如2)

与慢车行驶的时间x(〃)之间的函数关系.根据图中提供的信息，下列说法不正确的是

B.快车从甲地驶到丙地共用了2.5〃

C.快车速度是慢车速度的1.5倍

D.快车到达丙地时，慢车距丙地还有乎痴

【分析】人因为两车同时出发，同向而行，所以A点就是甲、乙两地之间的距离为100加；

B.由A点为两车的路程差，相遇时间为2小时，可知：快车速度-慢车速度=100+2

=50(km/h)，再由点。可知慢车3"从乙地到达丙地；由此求出慢车速度，进一步求出

快车速度，进而得出快车从甲地驶到丙地所用时间；

C.通过求出列出的速度判断即可；

D.根据“路程=速度X时间”即可.

解：•.•点A(0,100),

甲、乙两地之间的距离为100%/,故4说法正确，不符合题意；

点纵坐标为y=0,即快慢两车的距离为0,

.，.8点表示2〃时，快车追上慢车，

♦.•慢车速度：(400-100)4-3=100(km/h),快车速度:100+100+2=150(km/h),

；.快车速度是慢车速度的L5倍：故C说法正确，不符合题意；

•••快车速度是l50ktn/h,

.•.快车从甲地驶到丙地共用了400+150=得(〃)，故B说法错误，符合题意；

•两车同时出发，同向而行,

.•.慢车距丙地的距离为：(400-100)-■|xi00=工平(加0,故。说法正确，不符

0O

合题意；

故选：B.

10.如图，点P是反比例函数y=-旦(x<0)上的一个动点，点A(-2,0)、M(0,8)

x

分别在X轴、y轴上，当点M到AP所在直线距离最大时，点尸的坐标是()

【分析】过点M作MBLAP,足为3,分析得出当A8最小时，MB最大，过点P作PN

_Lx轴，垂足为N,证明△PAVs^AMO,得到AN=4PN,设PN=X,表示出点尸坐标，

代入反比例函数表达式，求出x值即可.

「AM固定不变，则当AB最小时，MB最大，此时点B与点A重合,

过点P作/WJ_x轴，垂足为N,

VZMAP=90°,

AZPAN+ZMAO=90Q,

又NPAN+NAPN=9Q°,

：.ZMAO=ZAPN,

.,.△PANs△AMO,

二更MM即里望，

AOMO28

：.AN=4PN,

：.ON=AO+AN=2+4PN,设_PN=x,

...P(-2-4x,x),

把尸的坐标代入y=-2(x<0)中，

x

得(2+4x)x—6,

解得X=1或-"I(舍)，

：.P(-6,1),

故选：A.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应位置上)

11.计算：2小3/=.

【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的嘉分别相加，

其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可.

解：2a3,3o2=6o5.

故答案为：6a5.

12.因式分解：3427=3(4+3)7L3).

【分析】直接提取公因式3,进而利用平方差公式分解因式即可.

解：3a2-27=3(4-9)

=3(a+3)(a-3).

故答案为:3(a+3)(a-3).

13.如图，直线a〃。，将一直角三角形的直角顶点置于直线6上，若Nl=27°,则N2=

117°.

【分析】由已知条件可求得NBA。的度数，再利用平行线的性质即可求得N2的度数.

VZ1=27°，ZCAB=90°,

AZBAD=Z1+ZCAB=H7°,

,:a〃b,

：.Z2=ZBAD=\\7°.

故答案为：117.

M-已知色导言且〃+Zc3则。的值为

【分析】直接利用己知比例式假设出〃，儿c的值，进而利用。+2c=6,得出答案.

解：稣=£弋，

・••设a=6x,b=5x,c=4x,

a+h-2c=6,

6x+5x-8x=6,

解得:x=2,

故a=\2.

故答案为：12.

15.圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,则圆锥的侧面积是65na”2

【分析】根据勾股定理求出母线长，根据扇形面积公式计算即可.

解：：圆锥的底面半径为5的，高为12的，

・・・圆锥的母线长=必7层=脂(的)，

，圆锥的侧面积=/X2ITX5X13=65ir(cw2),

故答案为：65irc/H2.

16.如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度a(0°<a<90°),得到AAB'C,

NB'CB=48°,则a=48

【分析】利用旋转的性质得出AC=AC,再利用等腰三角形的性质得出NCAC'的度数,

则可求出答案.

解：由题意可得：AC=AC,ZC=ZACB,

：.NACC=NC,

•.•把△ABC绕着点A顺时针方向旋转a,得到△A8'C’,点C刚好落在边8'C上,

AZB'CB+ZACB=ZC+ZCAC',

二NB'CB=NCAC=48°.

故答案为：48.

2

17.如图，在四边形A8C。中，AB//CD,CD=CB,sin/BA£>=誉，/BC£>=60°,连接

5

【分析】延长AB到E,连接CE,使CE±BE,由AB//CD得出N8AC=NACO,求出

tanZACD即可得出答案.

解：如图，延长AB到E,连接CE,使CE_L8E,作。凡LAB于F,

VZBCD=60°,

/.ZEBC=60Q,

"AB//CD,

:.ZDCA=ZCAB9

2

VsinZBAD=^-,

5

・••设AO=5Z,则。产=。E=3七4尸=4%,

又・・・NC3E=60°,

n

・・・C8=^CE=2近屋

♦：CD=CB,

・・・CD=2扬,

)/「A?CE_3k8TM

..tanNACO=tanZCAE==------一一=-------

AE4k+2«k2

故答案为：殳裂.

2

⑻在平面直角坐标系中，将抛物线尸色……)A3”5为常数)绕着原点旋转

180°,所得图象的顶点坐标为(s,/),当时•，代数式2什s的最小值为-12

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得旋转后

的抛物线，从而得到s=-2(帆-1),r=(/n-1)2-3/w,根据题意得出2f+s=2(〃?

-1)2-6帆-2(m-1)=2(A77-3)2-14,根据二次函数的性质求得即可.

解：将抛物线y=N-(根-1)x+3加(,〃为常数)绕着原点旋转180°,得到的图象的

4

解析式为-y=~(-X)2-(772-1)(-X)+3)77,

4

即y=-2/-(机-1)%-3机，

4

・・•所得图象的顶点坐标为6力，

-(mT)]

；・s=-/1、=-2(m-1),/=--[-2(w-1)J2-(/n-1)[-2(777-1)]

2X(七)小」L」

-31n=(7?7-1)2-3加，

/.2/+5=2(m-1)2-6m-2(ni-1)=2(相-3)2-14,

・・・当〃?>3时，代数式2什$的值随机的增大而增大，

，在机24范围内，当机=4时，代数式2什$的有最小值，最小值为：2(4-3)2-14

=-12,

故答案为：-12.

三、解答题(本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

19.计算：|-2|-,+(-1-)2+cos30°.

【分析】先分别化简绝对值，算术平方根，负整数指数幕，代入特殊角三角函数值，然

后再计算.

解：原式=2-2+4+返

_2

=4+四

2

20.解不等式组：(丁3.

3(x+l)》5x+4

【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可.

解：［237,

3(x+l)>5x+4②

由①得：-1,

由②得:xW-

A原不等式组的解集是-1-y

-24

21.先化简，再求值：-2x-----—一1).其中x=2-«.

x-4x+42-xv。

【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值.

解：原式=7^"吗

(x-2)乙五乙同

_1.4-2+x

x-202-x

1p2-x

x-22+x

1

当x=2-«时，

惇式=__而一

i_=_4+_W3

原耳2-V3+2(4-闻4+«)

22.“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂，”小明同学带了4个青团子(除馅不同外，其他

均相同)，其中有2个豆沙青团、1个芝麻青团和1个肉松青团，他准备从中拿出两个给

他的同学小玲.

(1)用画树状图或列表的方法列出小玲拿到2个青团的所有等可能的结果；

（2）请你计算小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率.

【分析】（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；

（2）根据（1）中的树状图可以得到小玲拿到的两个青团都是豆沙的概率.

解：（1）豆沙记为A、芝麻记为8、肉松记为C,由题意可得,

91

（2）由（1）可得，小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率为

23.为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两

个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“A优

秀：904W100；8良好：89WxW75；C合格74WxW60；。不合格：x<60”四类分别

进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）.

（1）此次共调查了120名学生;

（2）扇形统计图中。所在扇形的圆心角度数为54。；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数.

【分析】（1）根据B组人数以及频率求出总人数即可；

（2）用。的人数除以总人数，再乘360。，列式计算即可；

（3）用总人数乘C所占比例，得出C的人数，再减去男生人数即可得出C的女生人数;

用总人数乘A所占比例，得出A的人数，再减去女生人数即可得出A的男生人数；然后

将条形统计图补充完整即可；

(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可.

解：(1)此次共调查学生：(25+23)4-40%=120(名)，

故答案为：120；

(2)360°X嚼~=54°，

即扇形统计图中。所在扇形的圆心角度数为54°,

故答案为：54。；

(3)C的女生人数为：120X20%-12=12(名)；

A的男生人数为：120X(1-40%-20%-^^-X100%)-16=14(名)，

答：估计卫生防疫知识考核优秀的学生约375人.

24.如图，已知点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,=

(1)求证：AC//DE-,

(2)若B尸=13,EC=5,求BC的长.

【分析1(1)首先证明△ABC丝△。尸E可得进而可得AC〃。氏

(2)根据△ABCgAQFE可得BC=EF利用等式的性质可得再由Bb=13,

EC=5进而可得E8的长，然后可得答案.

<AB=DF

【解答】(1)证明：在△ABC和△。/后中4/A=ND，

kAC=DE

:•△ABC/XDFE(SAS),

・•・/ACE=/DEF,

J.AC//DE；

(2)解：VAABC^ADFE,

:・BC=EF,

：・CB-EC=EF-EC,

:・EB=CF,

VBF=13,EC=59

3*4

・・・C8=4+5=9.

25.如图，函数y=2x与函数)=典(x>0)的图象相交于点A(〃，4).点8在函数)，=旦

dXX

(x>0)的图象上，过点3作3C〃x轴，3c与y轴相交于点C,且A3=AC.

(1)求"?、n的值；

(2)求直线A8的函数表达式.

【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点4的坐标，进而即可求出反比例

函数系数机的值；

（2）过点A作于。，由AC=AB可得出BC=2CC,由点A的坐标可得出C。、

的长度，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点8的坐标，再根据点A、8的

坐标利用待定系数法，即可求出直线48的函数表达式.

解：（1）,函数与函数y=&（x>0）的图象相交于点A（n,4）,

3x

4、,

,'.—n=4,解得：n=3,

o

.\m=4n=12.

（2）过点A作AO_L8C于£>,如图所示.

'：AB=AC,

：.BC=2CD.

轴，

.•.AOJ_x轴.

VA(3,4),

：.CD=3,BC=6.

当x=6时，尸肾=2

：.B(6,2).

设直线AB的函数表达式为、=&+〃（ZWO）,

将A(3,4)、B(6,2)代入中,

2

黑:解得「k=

3,

b=6

9

直线AB的函数表达式为y=-争+6.

o

26.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,%),且，点8的坐标为("，0),

将线段A8绕点8顺时针旋转90°,得到线段84,称点Ai为点A关于点B的“伴随点”,

图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图.

(1)已知点A(0,4),

①当点8的坐标分别为(2,0),(-1,0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分

别为(6,2),(3,-1):

②点4(x,y)是点4关于点B的“伴随点”，探究点4的运动路径所对应的函数表达

式，并说明理由.

(2)如图2,点C的坐标为(4,-3),以C为圆心，如为半径作圆，若在G)C上存

在点A关于点8的“伴随点”，则A的纵坐标机的取值范围5WZ9.

【分析】(1)①作4MLe轴于M.证明△ABO丝(A4S),根据全等三角形的

性质即可解决问题；

②如图2中，取N(4,0),则。4=ON,作轴于M,首先说明4的运动轨迹

是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题；

(2)利用⑴②的结论，A(0,m)关于8的“伴随点”Ai(x,y),)，与x之间的关

系式：y=x-m,由题意可知，当直线y=x-/n与OC有交点时，在。C上存在点A关于

点8的“伴随点”，求出这两条直线和0C相切时机的值，即可解决问题.

解：（1）①如图1,作4MLe轴于M.

ZABO+NA।BM=ZA,BM+ZAi,

：.ZABO=ZAi,

\'AB=BAi,NAOB=/4MB=90°,

(AAS),

：.OA=BM,OB=A\M,

当A(0,4),B(2,0)时，BM=4,A\M=2,OM=6,

(6,2),

当A(0,4),B(-1,0)时，同法可得Ai(3,-1).

故答案为(6,2),(3,-1).

②如图2,取N(4,0),则O4=ON,作AiMLx轴于M.

：.OA=BM=ON,OB=AM

：.OB=MN=AiM,

△4MN是等腰直角三角形,

.,.ZA|W=45°,

.•.点4在经过点N,与x轴的夹角为45°的直线上，

这条直线的解析式为y=x-4,

(x,y)是点A关于点B的“伴随点”,y与x之间的关系式为y=x-4；

(2)如图，由(1)可知，A(0,m)关于8的“伴随点”4(x,y),

.：y与x之间的关系式：y—x-m,

由题意可知，当直线y=x-in与OC有交点时，在。C上存在点A关于点B的“伴随点”,

在中，令x=0,贝令y=0,则x=/w,

则C(0,-m),D(m,0),

...△08为等腰直角三角形，OD=OC,

•：OF±EF,CE〃x轴，

：.ZECF=45°,即aCEF为等腰直角三角形，

■:CF=近,

：.EF=-/2,CE=2,

又,：C(4,-3),

•,.£(2,-3),代入中，

解得：m=5,

同理，当直线y=x-m与。C相切于另一点时，

同理可得:m=9f

综上：满足条件的〃］的范围为：5</nW9.

故答案为5W机<9.

27.如图，矩形ABCO中，AB=3,AO=4,点M,N分别在AB,8c上，BM=3x,BN=

4x(0<x<l).把△MBN绕点M旋转，得到△"£：/,点E落在线段MN上.

(1)求证：MN//AC；

(2)若点E在NBCA的平分线上，求的长；

92

(3)若与△ABC重叠部分图形的周长为名，求x的值.

5

【分析】(1)由粤口，NB=NB,得ABMNs^BAC,可证明结论；

ABBC

(2)连接CE,由平行线和角平分线的定义可证NE=CN,由勾股定理得MN=5x,即可

得出x的方程，从而解决问题；

(3)当点F落在4c上时，过点N作NH_LAC于H,利用cos/8MN=cos/〃NC,得

Qy4-Y2Q

善.七W-,解得x=V，当0<xW^时，重叠部分周长为12%,当点尸落在AC上时，

5x4-4x88

ODO?Q

周长最大为12义言一<等，当时，如图，设MF、EF分别交AC于尸、。两

o2bo

10Iono

点，梯形MEPQ的周长为ME+E2+P2+何P为：售，从而解决问题.

bbb

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO是矩形，

，BC=AO=4,

.BM_BN_

*'AB~x，BC~x，

.BM_BN

"AB"BC'

又

NBMN=ABAC,

:.MN"AC；

(2)解：连接CE,

若点E在NACB的平分线上,

贝|JNNCE=ZACE,

•:MN"AC,

・・・/NEC=NACE,

：.NNCE=NNEC,

:・NE=CN,

由勾股定理得MN=5x,

；・2x=4-4x,

._2

..*一3，

/.BM=3x=2；

（3）解：当点尸落在AC上时，过点N作N/7L4C于"，则四边形EN”产为矩形,

•:/BMN+/BNM=90°,

/BNM"HNC=90。,

・・・/BMN=4HNC,

/.cosZBMN=cosZHNC,

.3x_4x

5x4-4x'

3

解得

o

当0＜启字寸，重叠部分周长为⑵，

O

当点尸落在AC上时，周长最大为12X得力C等，

Q

当时，如图，设MF、EP分别交AC于尸、Q两点,

O

此时△MEF与AABC重叠部分为梯形MEPQ,

在RtAABC和RtANHC中,

ABNH

sinNACB=AC"CN

.3_NH

,54-4x'

3

••N”=V（4-4X），

D

•.FQ=FE-N4=4X-1•（4-4X）=^X¥，

bbb

.*_FQ/„_PQ

•cos/*—■,tdn/*—,

FP5FQ4

R294.Q

・・C=吊尸。=8x-3,PQ=弓尸。=管乂一，

4455

•・MP=MF-FP=5x-（8x-3）=3-3x,

••梯形MEPQ的周长为ME+EQ+PQ+MP为爸乂年,

55

Bn1218=23

即-7~x+-

bT-r

5

解得%='12,

・,・当力=《57时，尸与△A8C重叠部分图形的周长为2偿2.

1Z5

28.如图1,抛物线y=（x-m）2-2m+l（zn为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点力

右侧），与y轴交于点C.

（1）下列说法：①抛物线开口向上；②点C在y轴正半轴上；③④抛物线顶点

在直线y=-2x+l上，其中正确的是①③④；

（2）如图2,若直线y=-2x+l与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说

明：线段的长是一个定值，并求出这个值；

（3）在（2