2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国乙)理

2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙)理科

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(2021・全国乙・理1)设29+幻+3(23)=4+61,则2=()

A.l-2iB.l+2iC.l+iD.l-i

命题意图本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题.

解析C设z=x+yi(x,yCR),则2=x-yi,2(z+力+3(z-5)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1，故z=1+i.

2.(2021•全国乙・理2)已知集合$="卜=2〃+1,，?eZ},T={f|f=4〃+1,〃eZ},则SCT=()

A.0B.SC.TD.Z

命题意图本题主要考查集合的基本运算,考查数学运算能力.

解析C当〃=2以©2时,5={5卜=奴+1/©2}=7';当”=2&+l,ACZ时,S={$|s=4k+3,&CZ},得故

SCT=T.

3.(2021•全国乙.理3)已知命题p:MGR,sin犬＜1;命题4：立《1＜心1》1,则下列命题中为真命题的是

()

A.p/\qB.LJp八q

C.p人口［D.EJSVq)

命题意图本题主要考查简易逻辑,考查逻辑推理能力.

解析A因为当*2%兀+云%62)时,sitirvl,所以命题0为真命题；

因为|x|20,而尸e”为R上的增函数，所以eR2e0=l,故命题q为真命题.

所以p!\q为真命题;IZIp/Xq为假命题;p八口«为假命题;□(/?▽4)为假命题.

4.(2021•全国乙・理4)设函数式》)=旨,则下列函数中为奇函数的是()

A次B/x-l)+l

C.於+1)-1D於+1)+1

命题意图本题主要考查函数的性质，考查逻辑推理、数学运算能力.

解析B函数y(x)=y^=-1+窘于故该函数图像的对称中心的坐标为(-11).

将该函数图像向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的图像对应的函数解析

式为g(x)8:片1)+1,其图像关于坐标原点对称，即为奇函数.故选B.

5.(2021•全国乙・理5)在正方体ABCO-4B6U中,P为BQ的中点，则直线PB与AA所成的角为

()

AA.2H%RUJQIun6-

命题意图本题主要考查异面直线所成的角，考查了逻辑推理能力.

解析D如图，连接3G,PG.

由正方体的性质可得A£）i〃BG,故NP8G为直线P8与4功所成的角.

设正方体的棱长为1,则8G=&,CIP=/IG4

而BP=y/BB'^+B.P2=Jl2+（y）2=y,

可得CF+BPLBC3故CyPLPB.

则在RS8PG中，有sin/PBC产鬻=

DC1L

于是/P8G即直线PB与A5所成的角等于

解题方法用平移法求异面直线所成痢的一般步骤：

（1）作南——用平移法找（或作）出符合题意的角；

（2）求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.

6.（2021.全国乙•理6）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进

行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种

C.240种D.480种

命题意图本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题.

解析C先分组有髭=10种方案，再分配有10xA*240种方案.

7.（2021•全国乙・理7）把函数yjx）图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，再把所得曲

线向右平移々个单位长度，得到函数y=sin«3的图像，则4x）=（）

Asin（rn）B.sin管+工）

C.sin^2x--^jD.sin^2x+3

命题意图本题考查了三角函数图像的变换，考查逻辑推理能力.

向左平移A个单位长度横坐标变为原来2倍.

解析B逆向考虑:y=sin[T）的图像~>yusin（%+工）的图像纵坐标不变

y=sinQ+"）的图像.

规律总结图像的变换法,由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin（（wx+9）的图像有两种途径:''先平

移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

8.（2021•全国乙•理8）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于［的概率为（）

zB-II

A.g呜

命题意图本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型，考查了推理能力与计算能力,属于基

础题.

解析B由题意记xd（0,1）,yW（1,2）,题目即求x+y＞：的概率.画出可行域（如图阴影部分），故

巴"2=纪

1x13232,

9.（2021.全国乙・理9）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量

海岛的高.如图，点£H,G在水平线AC上,OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，

称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高

A8=)

表高X表距表高X表距

A：+表高B.-表高

表目距的差表目距的差

c+表距D.■表距

表辑目距:的鬻差表普目距嘉的差

命题意图本题考查了直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

解析A如图，连接FQ并延长交AB于点M,则FM±AB,AB=AM+BM.

设NBDM=a,1仞=£,则NBHE=a,NFCG=6,

•cMB_..d11)_..D(GCEH\_..DGC-EH

••DF=MF-MD=------—MB、------/=MB\—-)—MB———,

tan/?tanatan/?tana\FGEDJED

.MR二DFDE_EGDE_表距x表高

•"一GC-EH=GC-EH=表目距的差'

•人K二表高x表距+表高.

•一表目距的差

10.(2021•全国乙•理10)设。#),若冗二。为函数段)=〃(工-〃)2(工-。)的极大值点,则()

A.a<hB.a>hC.ab<c^D.ah>a2

命题意图本题主要考查函数的极值，考查了逻辑推理、数学运算能力.

解析D因为J(x)=a(x-a)2(x-。),

所以f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)[(2x-2b)+(x-a)]=a(x-a)[3x-(a^-2b)]=3a(x-a)-

由,1(%)=0,解得x=a或x=—^―.

若〃<0,则由x=a为函数凡¥)的极大值点，可得一^—<。,化简得b<a.

此时在区间loo,审'和3,+8)内J3<0,函数及)单调递减;在区间(竽,，内J'(x)>0,函数危)

单调递增.

此时。(〃功)<0,即a2<ab.

若a>0,则由x=a为函数的极大值点可得化简得a<b.

此时在区间(-8,4)和(券,+8)内/(%)>0,函数加)单调递增;在区间(4,土罗)内/(%)<0,函数於)

单调递减.

此时〃(。功)<0,即a1<ab.

综上可得〃2<成故选D.

11.(2021•全国乙・理11)设8是椭圆碍+"=13泌>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足

|PB|<26,则C的离心率的取值范围是()

A[Q)B.[河

c(。百以0周

命题意图本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题.

解析C由题意，点8(0力).

设P(xo,yo),则置+患=1,得诏=次(1一患),

.".\PB\2=X1+(yo-b)2=a2(^L-患)+yo-^byo+b2=-^7o-^byo+a1+lr,yoG[-b,b].

由题意知当加=心时|尸3|2最大，

.：。《瓦得从2。2,即

.：离心率0=£工率即e40,争.

ci2.\2J

12.(2021•全国乙•理12)设a=21n1.01力=ln1.02,。="^-1,则()

A..a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<h

命题意图本题考查了实数的大小比较,导数和函数的单调性的关系，考查了转化思想，属于难题.

解析B：a=lnl,012=lnl.0201>ln1.02=6,

.：排除A,D.

令.x)=ln(l+x)-“l+2x-l)j旬0,

则大0.02)=ln1.02-(A/T04-1)=/?-(?.

2_Vl+2x-(l+x)

.『*)一,一24\+2X-(l+x)dl+2x‘

当x20时,l+x=J(1+x)2=V1+2x+x2>71+2x,.：F(x)W0,且F(x)不恒为0.

.忧x)在区间［0,+00)上单调递减，

.忧0.02)£*0)=0,即b-c<0^b<c.

令g(x)=21n(1+x)-(V1+4x-1),x\0,

则^(0.01)=21nl.01-</L04-1)^a-c.

•-o'(x\=—-4=2［后或-(1+刈

'*'J1+x2Vl+4x(l+x)Vl+4x'

当0Wx<2时+2X+/W1+2X+2JC,即(1+X)2W1+4X,.：g'(x)》0在区间(0,2)内成立，且g,(x)

不恒为0.

.：g(x)在区间［0,2)内单调递增，

•：g(0.01)>g(0)=0,

即a-c>0,.'.a>c.

综上可得,a>c>A.：选B.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分洪20分。

13.(2021・全国乙・理13)已知双曲线cl-VEO"〉。)的一条渐近线为伍+阳=。，则C的焦距

为.

命题意图本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，考查分析问题、数学运算能

力,属于基础题.

解析4由双曲线方程可知其渐近线方程为*土y=。，即丫=上看3得吊二看解得力=3.可得C的焦

距为27m+1=4.

14.(2021•全国乙•理14)已知向量a=(l,3),b=(3,4),若(a-2b)_Lb,则2=.

命题意图本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于

基础题.

解析|由已知得,aUb=(l-32,3-4»,由(a-2b)_Lb,得3(1-32)+4(342)=0,即15-257=0,解得2=|.

规律总结L巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意

方程思想的应用.

2.向量问题坐标化:向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代

数化，将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.

15.(2021•全国乙・理15)记的内角A,B,C的对边分别为“力,c,面积为U,B=60°,/+/=3讹,则

b=.

命题意图本题主要考查正弦定理、余弦定理，考查数学运算、逻辑推理能力.

解析2夜由题意可知"BC的面积S=、csin60°=百,整理得ac=4.

结合已知得a2+c2=3ac=12.

因为8=60°,由余弦定理可得。2=a2+c2_2“ccosB=12-2x4xcos60°=8,所以b=2a.

16.(2021・全国乙•理16)以图⑦为正视图,在图②8玲⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个

三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即

可).

图③

图©

图⑤

命题意图本题主要考查三视图，考查直观想象、逻辑推理能力.

解析②⑤或@©根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，侧视图只能是②或③

若侧视图为②如图⑴，平面PBCL平面ABC,ABC为等腰三角形(8C为底边)，俯视图为⑤

⑴

若侧视图为③如图(2),P8J_平面ABC,AB=BC,俯视图为④

⑵

解题方法画三视图的三个规则：

(1)画法规则产长对正、宽相等、高平齐”.

(2)摆放规则:侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.

(3)实虚线的画法规则:可见轮廓线和棱用实线画出，不可见的线和棱用虚线画出.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题

考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(2021•全国乙・理17)(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指

标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

10.310.()10.29.99.810.010.110.29.7

10.410.110.010.110.310.610.510.410.5

I日设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为亍和歹，样本方差分别记为受和s2

⑴求五歹用词;

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-元22下^,则认为新

设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

命题意图本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,考查了运算能

力,属于基础题.

解(1)由题中数据可得，元=也(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=-1x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

2222222

s2=_LX[(9.8-10)+(10.3-10)+(10.0-10)+(10.2-10)+(9.9-10)+(9.8-10)+(10.0-10)+(10.1-

10>+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036;

si=^x[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-

10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.

(2)因为歹一元=10.3-10=0.3,

2手票=2J°-°^°--=2V0,0076~0.174,

所以9一元>2序i,

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

18.(2021・全国乙・理18)(12分)如图,四棱锥P-A2CO的底面是矩形，尸D_L底面A8CDPO=Z)C=1,M为

8c的中点，且PBLAM.

⑴求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

命题意图本题考查空间距离、二面痢，考查了直观想象、逻辑推理的能力.

解(1)连接BD.；PD上底面A8C2AMU底面ABCD,

.\PDVAM.

:PBD,

.\AM±BD.

・：NAO8+NOAM=90°.

又NQAM+NMA3=90°,

.\ZADB=ZMAB,

・IRl^DABsRt^ABM,•

⑵如图，以D为原点，万?，万，万F分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得4(2,0,0),B(⑸,0),例件,1,0),尸(0,0,1),族=(-鱼,0,1)而=(-y,l,0),BM=(-

y,0,0),5P=(-V2,-l,l).

-y/2x+Zi=0,

设平面AM尸的一个法向量为m=3,yi,zi),则|机__'即721

｛mAM=0,(-彳％1+%=0,

令即=&,则〉[=1*]=2,可得111=(企,1,2).

设平面BMP的一个法向量为n=(X2,y2,Z2),

同理可得n=(0,l,l).

设二面角A-PM-B的平面角为。，则sin^^l-cos2<m,n>=Jl4=詈.

19.(2021・全国乙・理19)(12分)记Sn为数列｛小｝的前〃项和，儿为数列｛S”｝的前〃项积.已知+二=2.

3nSt

(1)证明:数列｛仇)是等差数列；

(2)求｛斯｝的通项公式.

命题意图本题考查数列的递推公式，等差数列的判定，数列通项公式,考查了逻辑推理能力与化简运算

能力,属于中档题.

⑴证明当〃=1时为i=Si,易得

当心2

“nbn

故｛仇｝是以I为首项4为公差的等差数列.

(2)解易得41=S1=%1=|.

由G)可得“詈由9?2可得S“啜

当心2时4=S,$尸誉-f=-悬国显然G不满足该式.

故an=\1

I--------,n>2.

In(n+l)J

20.(2021・全国乙・理20)(12分)设函数於)=ln(〃-x),已知x=0是函数尸式c)的极值点.

⑴求。；

(2)设函数g(x)=，？：),证明:g(x)<1.

命题意图本题考查了导数的综合应用,主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等

式问题，此类问题经常构造函数,转化为证明函数的取值范围问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能

力，属于难题.

(1)解由题意<x)的定义域为(-8,4).

令p(x)=_y/(x),则p(x)=xln(a-x)MC(-8,a),

p'(x)=ln(a-x)+x-^=ln(a-x)+高.

因为x=0是函数尸可危)的极值点，则有p'(0)=0,即lna=0,所以a-\.

当a=l时,p'(x)=ln(l-x)+m，且“(0)=0,

当x<0时,“(尤)>0,

当0cx<1时,p'(x)<0,

所以当a=l时,x=0是函数y=0(x)的一个极大值点.

(2)证明由(1)可知"x)=xln(1-x),

x+fMx+ln(Lx)<]

要证<1,即需证明

xf(x)xln(l-x)

因为当x£(-oo,0)时Kln(l-x)v0,

当xe(0,l)Bt,xln(l-x)<0,

所以需证明x+ln(l-x)>xln(l-x),^Px+(l-x)ln(l-x)>0.

令h(x)=x+(l-x)ln(l-jc),x<1,

则〃3=(1・x)・『-+1-ln(l-x)=-ln(l-x),

所以勿(0)=0,当工£(-8,0)时”(幻<0,

当xe(0,l)B+,/jU)>0,

所以x=0为〃(x)的唯一极小值点，也是最小值点,所以当xe(-8,0)u(0,l)时,/z(x)>〃(0)=0,即

x+ln(1-x)>xln(1-x),

所以需詈<1,所以x+f(x)<1.

xf(x)

21.(2021•全国乙・理21)(12分)已知抛物线。/=20)”>0)的焦点为F,且尸与圆M:x2+(y+4)2=\上点

的距离的最小值为4.

⑴求P；

(2)若点P在M上,PA,P8是C的两条切线力,3是切点，求△PA8面积的最大值.

命题意图本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档

题.

(2)由(1)知，抛物线的方程为炉=4),,即旷=/,则y'=7：x.

设切点A(x],yi),8(%2,y2),则易得直线/夕人:广冷人-*直线3：产会>亭,从而得到户(,

设直线/"：尸区+"联立抛物线方程，消去y并整理可得f-4"-4b=0,

•63+16/?>0,即3+/?>0,且xi+%2=4£X[X2=-4。,.：PQk,-b).

2

：・|A8|=Jl+、2.(X1+不)2-4%1%2=V1+k•716k?+16b,点P到直线AB的距离"=华山,

13

,：丁—苫|明仁4(炉+型@

又点P(2A,-b)在圆M:/+(y+4)2=l上，

3

故尸=喑，代入窈£.=4(此A)：

而%=»G[-5,-3],.：当b=5B+,(SAPA8)max=20V5.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(2021・全国乙・理22)[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,OC的圆心为C(2,l),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作。C的两条切线，以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线

的极坐标方程.

命题意图本题主要考查圆的参数方程,直角坐标方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基

础题.

解(1)OC的参数方程为俨=：：cos?矽为参数)

j.十sin(7

(2)OC的直角坐标方程为(x-2)2+()，-1>=1.

①当直线斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离4=2,有d>r(r为圆C的半径)，不

合题意，舍去；

②当直线斜率存在时,设直线方程为y-l=A(x-4),化简得履-)，-4好1=0,

此时圆心C(2,l)到直线的距离"=件丝工=_jBL,由〃=r=l,得2|Jt|=V/c2+1,

旧+1Jk2+1

两边平方得4k2=k2+1,解得A=土与

代入直线方程并化简得x-V3y+73-4=0或x+V^y-■乃-4=0,化为极坐标方程为pcos6-V^/?sine=4-

或pcos0+V3psin0=4+V3.

23.(2021•全国乙•理23)[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知函数式X)=|x-“|+|x+3|.

(1)当”=1时，求不等式/(x)26的解集；

(2)若求a的取值范围.

命题意图本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

解⑴当a=l时，由式x)26可得|x-l|+|x+3]26.

当xW-3时,不等式可化为l-x-x-326,

解得xW-4;

当-3<r<lB寸,不等式可化为1.+%+326,解得》《0；

当xNl时,不等式可化为『1+犬+3》6,解得;<:22.

综上，原不等式的解集为(-8,-4]U[2,+8).

(2)若兀1)>-。,则ftx)tma>-a.

因为<x)=|x/|+|x+3|2|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)W0时，等号成立)，所以

式x)min=|a+3|,所以|a+3]>-a,即a+3〈a或a+3>-a,解得aG(-|,+8).

故a的取值范围为(-|,+ooY

2021年全国乙卷理科数学查缺补漏表

题题

号一考查要点学科能力学科素养查缺补漏

型

1复数的加减法运算、共聊夏数运算求解能力数学运算

2集合的基本关系(真包含)和基本运算(交集)运算求解能力数学运算

3命题的真假和逻辑联结词推理论证能力、运算求解能力数学运算、逻辑推理

选

择4函数的奇偶性及图像平移变换运算求解能力数学运算

题5正方体中异面直线所成的角空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算

6有限制条件的排列组合问题推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算

7三角函数图像的平移变换运算求解能力、推理论证能力数学运算、逻辑推理

S几何概型抽象概括能力、运算求解能力直观想象、数学运算

一

9解三角形及数学文化运算求解能力、创新能力数学运算

10函数的极值运算求解能力数学运算

11椭圆的性质（定点和离心率）推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算

12构造函数比较大小运算求解能力、创新能力数学运算、数学建模

13双曲线的几何性质（渐近线和焦距）运算求解能力数学运算

14平面向量坐标运算运算求解能力数学运算

15应用正弦定理、余弦定理解三角形运算求解能力数学运算

二

16三视图空间想象能力、抽象概括能力直观想象

续表

逆题