《现代控制理论》第3版课后习题答案

仅供个人参考《现代控制理论参考答案》1不得用于商业用途第一章答案1-1试求图

1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令(

s

)

y

，则

y

x1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图

1-28所示。以电压

u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻

R

2上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令i1

x1

,

i2

x2

,

uc

x3

，输出量

y R2

x2x1

x2

C

x有电路原理可知：

L2x

2

R2x

2

x

333R1x1

L1

x1

x

u既得2R2L1L11R1u1L1x3x1Cx2x

2x2x321L

1

LCy R2

x2x1

1x1x3写成矢量矩阵形式为：4两输入u1

，u2，两输出

y1

，y2的系统，其模拟结构图如图

1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：4 系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。.

..y

，x

2

y

，x

3

y

，则有解：令

x

1相应的模拟结构图如下：6(s

1)1-6

（2）已知系统传递函数W

(s),试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图s(s

2)(s

3)2313s3103s(s

2)(s

3)2

(s

3)2s

2

s6(s

1)4解：W

(s)1-7给定下列状态空间表达式1不得用于商业用途仅供个人参考x13

x212x12y0

01x02

001

u3‘3x

1x2xx311

0x31画出其模拟结构图2求系统的传递函数解：ss

s

3101

2（2）W

(s)

(sI

A)13-8求下列矩阵的特征矢量

01120276031

0（3）

A解：A的特征方程102362116

012

76I

A3解之得：11,22,331p1121

pp310

1当1

时，

31200

27

6p31p1121p解得：p21p31p11令

p11

1得11p112p1p31P1111p111

，得1

P

21

pp31（或令

p111）1p12222

pp32p1222p60

1当2

时，

312p3200272

11p2解得：p

22322

1p2

,

p令

p

212得41p122p2p32P221不得用于商业用途仅供个人参考12p1323p611p2p22p32（或令

p121

，得P22）1p13323

pp330

1当3

时，

312p330027解得：p233p13,

p333p1

3令

p13

1得33p132p3p33P311-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）y21y21x1x23

x1x33x22

1

7

u1

203130

50

14

2

x11x1x

1x23解：A的特征方程2(

1)(3)2

0412111p2

311

p1121p

3

21pI

A1当3

时，

13p31p3124

101

1p21

p31

p11解之得令

p11

1得111p112p1p31P121114

11

0113当3

时，22p11

p1121p

3

21

pp31

p31221,32解之得

p

12pp

22p令

p12

1得100p12p22p32P2323pp

p131323

pp33当1

时，1

021

13p334

124不得用于商业用途仅供个人参考解之得p1

30,

p2

32

p3

3令

p33

1得021p33p13P3p23约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为

W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结;（第

3版教材）已知如图

1-22所示的系统，其中子系统

1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第

2版教材）已知如图

1-22所示的系统，其中子系统

1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数

b(即控制列阵)为1

1（1）

b解法

1：解法

2：1B

1

1求t,使得T0

11得T11所以0

11T1所以，状态空间表达式为（2）

A=第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数eA

t

。1

14

1解：第一种方法：令I

A

0则111

0

，即41240

。求解得到13

，2111p1

2p1当3

时，特征矢量

p111

1由App

，得11

pp21131

p3

p1

14

12111不得用于商业用途仅供个人参考21p

p11

214

p11

2p13

p即113

p，可令

p1122当1p2

2p21时，特征矢量

p22 2

2由App

，得12121

14

122ppp

22ppp

p即12

224

p12

2p212222

p，可令

p12则T21

12

41

12

411

，

T21第二种方法，即拉氏反变换法：

第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知1

23

，

12-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。2e

te

2t

2e

2t（3）

tet

e

2t2e2e

t2t

e

t412e

t

3et12te

e13tet

e3tet

e3t（4）t解：（3）因为00

10

1I

，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件（4）因为010

10I

，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6求下列状态空间表达式的解：1初始状态

x

01，输入

u

t

时单位阶跃函数。1解：A00

0因为1B

0

，u

t

I

t2-9有系统如图

2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u1

和u2

为分段常数。图2.2系统结构图11不得用于商业用途仅供个人参考解：将此图化成模拟结构图列出状态方程则离散时间状态空间表达式为0TAt由G

T e

At

和

H

T

e

dtB

得：当T=1时1ke

1k

1

e01e10u

kx

k

1x

k1

e

11当T=0.1时e

0.1

00.1k

10x

k

u

ke

0.11

e

1x

k

10.1k

e

0.90.1T11

-1

，

T-1112

2第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示：解：由图可得：状态空间表达式为：由于x2

、x3、x4

与u

无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y

只与x3

有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a0,b

0

。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c0,d

0

。3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形。1

1122T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。3-3

确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数

i

和i11不得用于商业用途仅供个人参考解：构造能控阵：要使系统完全能控，则构造能观阵：112

，即121

0要使系统完全能观，则13-4设系统的传递函数是21

，即121

01当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？2当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。3当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。s

a(s

1)(s

3)(s

6)yu(s

)解：(1)方法1：W

(s)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。2

当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型2

根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为..

.6

y

11

y

6

y

6u3-6已知系统的微分方程为：y试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：

a0

6，a1

11，a2

6，a3

3，b0

6系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：66s

2

11s

6s

3传递函数为W

(s)3-9已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。6s

8

14s

3s

2s

2s

24s

32s

5解：W

(s)系统的能控标准I型为能观标准II型为3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。11不得用于商业用途100仅供个人参考01

1

32解：A213

0

，b1

，C003-11试将下列系统按能控性进行分解3111

00 ,

b210 ,

C11

104（1）

A0解：00

001ra4nkM=2<3，系统不是完全能控的。Ab

A

2

b1

3构造奇异变换阵

R

：c

R

1

b9Mb0010

3

，R300

，2

R

Ab11

，3其中R

是任意的，只要满c足R

满秩。010

0即Rc101

3

00

103得Rc

1011

03-12试将下列系统按能观性进行结构分解312

1

01

0

1

0 ,

b1

10 ,

C10（1）

A31解：由已知得A141

20

1

0 ,

b1

100 ,

C10412

1

24

3

7

41CCACA2则有Nrank

N=2<3，该系统不能观111

11构造非奇异变换矩阵

R

0，有

R

0

2230

011则

R0

3

2

1010

0111不得用于商业用途仅供个人参考3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1

0

02

2

3 ,

b

2 ,

C2

0

112解：由已知得MA

Ab1 1

2（1）

A11

12

262

02Ab12rank

M=3，则系统能控rank

N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统1取Tc

2

22

0213

412c

211

112 26，则T74731

534

4则A10

0

21

015

，

Bc

2

T

b

0

，

c013c

2cT

70

1

43-14求下列传递函数阵的最小实现。2311

1s

1

1（1）

w

s01

，

B0解：1

111，

cA1

010Bc0

11

0，

cCc，

D1

11

10

000系统能控不能观取R0

110

1，则0R110

110

R01100

c

，

Bˆ0

1R所以Aˆ1

AR

011

B1Cˆ

C

R1

0，

Dˆ00c

01

00

0仅供个人参考所以最小实现为Aˆ

m

1，Bˆm11

，mCˆDˆ，m

00110w

s0ˆ验证：

Cˆm

sI

AmBm1

ˆ1

1

1s

1

13-15

设

1

和

2

是两个能控且能观的系统1

试分析由

1

和

2

所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；2试分析由和

所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。

解：1

2（1）1

和2

串联当

1

的输出

y1

是

2

的输入u2

时，

x32x3

2x1

x2000x321x14

0

x1

u

，

y00

012则rank

M=2<3，所以系统不完全能控。当

2

得输出

y2

是

1

的输入u1

时010x13

4

1

x00x0

u

，

y12

102001216因为Mb

Ab

A

brank

M=3

则系统能控01

24ccAcA22103

1

2因为N6

5则系统不能观4rank

N=2<3（2）

1

和

2

并联000x13

4

0

x011不得用于商业用途1x1

u

，

y12

102仅供个人参考因为rank

M=3，所以系统完全能控因为rank

N=3，所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）

Q

(

x

)x

23

x

2

11x2

2

x

x

x

x

2

x

x1

22312

3 1

3（2）

v

(

x

)x

24

x

2x

22

x

x

6

x

x

2

x

x1

22312

3 1

3解：（1）由已知得11 0

，211310

，

3122111

11312117140因此Q

(x

)是负定的（2）由已知得11 0

，21

1

43

3

0

，11111433

116

01因此Q

(x

)不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。a22即：

a11

0且a11a22a12a21e

0为大范围渐近稳定，等价于AT

P方法（2）：系统的原点平衡状态xPAQ

。取Q

I

，令PP12

P22P

P1

12，则带入

AT

P

PAQ

，得到若2a11

2a21a12

a1111不得用于商业用途0a22a210

2a122a224(a11a22

)(a11a22a12a21

)0，则此方程组有唯一解。即仅供个人参考其中det

A

Aa11a22a12a21要求P

正定，则要求a22因此a11

0

，且det

A

04-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。1x（1）

x2131x1（2）

x11解：（1）系统唯一的平衡状态是

x

0

。选取

Lyapunov

函数为V

(

x

)11不得用于商业用途x

2

x

20，则e12V

(x)

是负定的。

x

，有V

(

x

)。即系统在原点处大范围渐近稳定。（2）系统唯一的平衡状态是

x

0

。选取

Lyapunov

函数为V

(

x

)x

2

x

210，则e2V

(x)

是负定的。

x

，有V

(

x

)4-6设非线性系统状态方程为：。即系统在原点处大范围渐近稳定。试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取

P

I很明显，

Q

(

x

)

的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取

Lyapunov

函数为V

(

x

)

x

21

x2

2

0

，则V

(x)

是负定的。

x

，有V

(

x

)。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：x

，有V

(

x

)

。

取P

I2120

1

13x

，根据希尔维斯特判据，有：1

3x

2则Q(x)13x2

1101

3x210，222

（31x2

1）

0，Q

(x

)的符号无法判断。仅供个人参考34

x41

23

x22（2）李雅普诺夫方法：选取

Lyapunov

函数为V

(x) 0

，则V

(x)

是负定的。

x

，有V

(

x

)。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解：假设V

(x

)的梯度为：计算V

(x

)的导数为：选择参数，试选a11

a22

1,

a12

a21

0

，于是得：2x2x12

1，显然满足旋度方程xx

V2

,即xVx1V1x1x20，表明上述选择的参数是允许的。则有：如果11

21

222x

x1

20或x

x1

，则V

(x)是负定的，因此，xx21

21是x

和x

的约束条件。计算得到V

(x

)为：V

(x

)是正定的，因此在1

21x2

x

即0x1

x22e1范围内，

x

0是渐进稳定的。现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有：0

1

122Mb

AbA

b11

1

20rankM3，系统能控。系统0(A,b,C

)的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有x310

10000

u

。k

kk11不得用于商业用途1

0

2，则系统引入状态反馈后，系统的状态方程为：x0

1

x1

2(A bK

)x bu

，其中

K

为13矩阵，设

KK(A,bK

,C

)的特征多项式为：根据给定的极点*

值，得到期望特征多项式为：比较

f

( )与f

( )

各对应项系数，可解得：0

kk19

k259则有：K-5

-9-9。仅供个人参考5-3有系统：画出模拟结构图。若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？3若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(A,b,C

)完全能控。0对于系统M b

Ab（3）系统(A,b,C

)有：1

011rankM2，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。0(A,b,C

)的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有x012x310u

。k1

k0

，则系统11不得用于商业用途K(A,bK

,C

)的特征引入状态反馈后，系统的状态方程为：

x

(

A bK

)

x bu

，设

K项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较

f

( )与f

*

( )

各对应项系数，可解得：

k07

k1，K

37

3

。5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈K

，并画出系统结构图。(s

1)(s(s

1)(s2)2)(s

3)s2s3s

22s2

5s

6解：W

(s)由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为令K

k0

k1

k2

为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为比较f

(*)的