基于时域方法的风效应分析

基于时域方法的风效应分析

1基于时域方法的风速模拟目前，抗风计算主要分为频率范围和时间范围。频域分析是风振分析的一种常用方法,但在频域内只能对结构进行线性分析,要假定瞬时风压与风力之间的关系是线性的,结构的特性也假定为线性的,等等。强风作用下,细长的大跨结构在风荷载作用下往往会产生几何或材料非线性,所以频域分析有时并不能反应结构的真实特性。要进行较为精确的分析,只能借助于时域分析方法。时域方法可以直接了解结构的特性,求出力和位移随时间的变化规律和最大值。尽管时域方法计算复杂且耗时,但随着计算机的发展,该问题已经能很好地解决,况且时域方法对于实验验证和科学研究很有必要。目前,国内外对风速时程的模拟方法主要是CAWS(ConstantAmpfitudeWaveSuperposition)法、WAWA(WaveswithWeightedAmplitude)法及线性回归滤波器法。研究表明,对大型工程结构而言,其自由度是非常大的。特别是大型空间结构,对风荷载的三维分布都比较敏感,必须精确模拟各点的风谱。CAWS法与WAWA法计算量巨大,所产生的风速过程不能考虑时间相关性;Soarl提出的线性回归滤波器法很容易求出模型参数,但模型精度受风谱变化的影响,风谱的差异越大,精度越低;Iwatani提出的线性回归滤波器法具有较好的普适性,但模型参数一般采用迭代、递推的方法求解,容易产生并累积误差,导致模型的精度不够。2脉动风速与平均风速风对结构的作用可以看成由平均风作用和脉动风作用两部分组成,其中平均风在一定的时间间隔内,风的大小和方向不随时间变化;经过实测风时程记录可知,平均风剖面沿结构高度往往按指数或者对数规律变化;而脉动风荷载是随机荷载,是风力中的动力部分,它使结构产生随机振动。国内外的研究表明,一般可将脉动风近似看作高斯过程来考虑。脉动风速可以用下式表示:{v(t)}=[C]{u(t)}(1)式中,{u(t)}为互不相关的高斯过程;[C]为互相关矩阵,可以由后面的公式求得。因而,在某一时刻t、高度z处,风速V(z,t)可以看作高度z处的平均风速—v(z)与脉动风速u(z,t)之和。{V(z,t)}={—v(z)}+[C]{u(z,t)}(2)2.1脉动风速谱的特性历来的观测结果表明,脉动风速谱近似服从高斯分布。脉动风速谱的统计通常有两种方法:一种是将强风记录通过超低频滤波器,直接测出脉动风速的功率谱曲线;另一种是把强风记录经过相关性分析,获得风的相关曲线,然后通过傅氏变换求得功率谱曲线。其中,最著名、最常用的就是Davenport谱。Davenport根据近百次观测结果提出了脉动风速谱的经验公式:Sv(n)=4ΚV210x2n(1+x2)4/3(3)式中x=1200n/V10;K——地面粗糙度系数;V10——标准高度处(通常为10m)的平均风速;n——脉动风速的频率(Hz)。观测结果表明,实际上随着高度的增加,脉动风速谱的峰值将有所降低,然而Davenport谱并没有考虑这一变化。2.2空间相关系数求解阵风的特性除了用自相关性描述外,还可以用空间相关性来表示。强风观测表明,各点风速、风向并不是完全同步的,甚至可能是完全无关的。阵风的空间相关性包括侧向左右相关和竖向相关,在必要时还包括前后相关。试验表明,这种相关性是随着空间两点间的距离增大而近似地按一种指数形式衰减的,一般可写成ρz(z1,z2)=exp(-|z1-z2|lu)ρx(x1,x2)=exp(-|x1-x2|lu)(4)式中,ρz(z1,z2)表示上下相关系数;ρx(x1,x2)表示侧向相关系数。若需要同时考虑结构竖向和侧向相关性时,空间任意两点的相关系数一般采用Davenport提出的表达式:ρ(n,x1,x2,z1,z2)=exp[-n√C2x(x1-x2)2+C2z(z1-z2)212(Vz1+Vz2)](5)式中n——频率,n=ω/2π;Cx,Cz——分别表示侧向和竖向的衰减系数,其值的变化范围较大,根据Emil的建议,常取为Cz=10,Cx=16;x1,x2,z1,z2——分别为垂直于来流风的水平、竖向坐标;Vz1,Vz2——相应点的风速。由以上各式可以求出脉动风的相干函数,那么脉动风速的交叉谱就可以通过相干函数求出:SViVj(x1,x2,y1,y2,n)=ρij(x1,x2,y1,y2,n)⋅√SVi(x1,x2,n)SVj(y1,y2,n)(6)从整个式子可以看出,谱密度函数完全表征了脉动风随机过程的频率含量和能量性质;相干函数以及相位角反映了脉动风的相关性和相位关系,因此这些参数常常被看成脉动风速模拟过程的特征参数。3线性滤波法3.1kt的协方差函数线性滤波法又名白噪声滤波法(WhiteNoiseFiltrationMethod),将随机过程抽象为满足一定条件的白噪声,然后经过某一假定系统进行适当变换而拟合出该过程的时域过程。目前,最常见的是采用自回归模型AM(AutogressiveModel)[6,7,8,9,10,11,12,13,14]法模拟多维风速随机过程,M个相关的随机过程[u(x,y,z,t)]=[u1(x,y,z,t),…,uM(x,y,z,t)]T可由下式求算:[u(x,y,z,t)]=p∑k=1[ψk]⋅[u(x,y,z,t-kΔt)]+[Ν(t)](7)式中,[u(x,y,z,t-kΔt)]=[u1(x,y,z,t-kΔt),…,uM(x,y,z,t-kΔt)]T;[N(t)]=[N1(t),…,NM(t)]T,其中Ni(t)均值为0,具有给定方差的正态随机过程,i=1,2,…,M;[ψk]为M×M阶自回归矩阵;k=1,2,…p。对空间任意一点i(i=1,2,…,M)具有时间差的随机过程ui(t)和ui(t-kΔt)的协方差可以表示为Riu(x,y,z,kΔt)=E{ui(x,y,z,t-kΔt)-E[ui(x,y,z,t-kΔt)]}⋅{ui(x,y,z,t)-E[ui(x,y,z,t)]}(8)由于ui(x,y,z,t)和ui(x,y,z,t-kΔt)为均值为0的平稳随机过程,其协方差的值仅为时间差的函数,上式可改写成为Riu[x,y,z,kΔt]=E[ui(x,y,z,t-kΔt)ui(x,y,z,t)](9)式(7)两边同时乘[ui(x,y,z,t-kΔt)]=[u1(x,y,z,t-kΔt),…,uM(x,y,z,t-kΔt)],并且同时对方程求期望,考虑到N(t)的均值为0且与随机过程ui(x,y,z,t)独立,以及协方差Ru(kΔt)为偶函数,可得到协方差Ru(kΔt)与回归系数Ψk之间的关系有:[R]ΜΡ×Μ=[—R]ΜΡ×ΜΡ[ψ]ΜΡ×Μ(10)式中[R]MP×M=[Ru(Δt),…,Ru(pΔt)]T;[ψ]MP×M=[ψΤ1,…,ψTp]T。[—R]ΜΡ×ΜΡ的计算式如下:[—R]ΜΡ×ΜΡ=[R11(0)R12(Δt)⋯R1(p-1)[(p-2)Δt]R1p[(p-1)Δt]R21(Δt)R22(2Δt)⋯R1(p-1)[(p-1)Δt]R2p(0)⋮⋮⋮⋮⋮R(p-1)1[(p-2)Δt]R(p-1)2[(p-1)Δt]⋯R(p-1)(p-1)[(p-4)Δt]R(p-1)p[(p-3)Δt]Rp1[(p-1)Δt]Rp2(0)⋯Rp(p-1)[(p-3)Δt]Rpp[(p-2)Δt]]式中[Rik(jΔt)]=[R11(jΔt)⋯R1Μ(jΔt)⋮⋱⋮RΜ1(jΔt)⋯RΜΜ(jΔt)]；(i,k,j=1,2,⋯,p)[ψj]=[ψ11j⋯ψ1Μj⋮⋱⋮ψΜ1j⋯ψΜΜj]‚(j=1,2‚⋯,p)这里Ru(jΔt)可根据维纳-辛欣(Wiener-Khintchine)公式求得[Riku(jΔt)]∞∫0Siku(n)cos(2πjΔt)dn(i,k=1,2,⋯‚Μ)(11)通过以上各式可以求出回归系数矩阵[ψ]。由式(10)确定了自回归系数以后,同时对式(7)两边进行右乘[u(t)]T=[u1(t),…,uM(t)],同时对方程求期望,可求得RN为RΝ=R(0)-p∑k=1ψkRu(kΔt)(12)对[RN]进行乔利斯基(Cholesky)分解,[RN]=[L][L]T,则[Ν(t)]=[L][n(t)](13)式中L=[L110⋯0L12L22⋯0LΜ1LΜ2⋯LΜΜ]Lij=Rij-i-1∑k=1LikLjkLjj‚Lii=√Rii-i-1∑k=1L2iki,j=1,2‚⋯,Μ求得系数矩阵[ψ]和[RN]后,可以求出M个相关的随机风过程。将式(7)按时间间隔Δt离散化并考虑t<0时,ui(t)=0,于是可以得到求随机过程的表达式:[u1(jΔt)⋮uΜ(jΔt)]=p∑k=1[ψk][u1[(j-k)Δt]⋮uΜ[(j-k)Δt]]+[Ν1(jΔt)⋮ΝΜ(jΔt)],(jΔt=0,⋯,Τ;k≤j)(14)通过式(14)就可以求出M个时间、空间相关、时间间隔离散的脉动风速过程向量。在计算中一般假定初始时刻之前的风速为0,即t<0时,v(t)=0。3.2u3000随机过程后,各变化的动力系统计算应用线性自回归器可以产生脉动风速向量u(t),余下的问题就是如何把这N个统计无关的随机过程uj(t)转化为N个具有特定相关特性的随机过程脉动风速v(t)。可以通过如下关系进行转化。vj(t)=Ν∑i=1Cijui(t)(15)把式(15)两边同乘Vk(t),然后对方程两边求期望,可得Rvjvk=E[vj(t)vk(t)]=E[Ν∑i=1Cijui(t)Ν∑i=1Cikui(t)](16)如果随机过程u(t)互相关矩阵为D,那么脉动风速的互相关矩阵可表示成:R=CDCΤ(17)式中,矩阵C=[Cij]是一个下三角矩阵:C=[C110000C12C22000⋯⋯⋱00Cj1Cj2⋮Cjj0Cn1Cn2⋮Cnn-1Cnn]由于随机过程向量ui(t)中的元素是统计无关的,且其方差均为同一常数,因此,矩阵D可表示为D=σ2uΙ(18)式中,I为n×n阶单位矩阵。把式(18)代入式(17)中,可得R=σ2uCΙCΤ(19)由于u(t)为均值,为标准的高斯过程,故σu为单位矩阵。从而矩阵C中的元素可以表示为如下的递推公式:Cij=Rij-i-1∑k=1cikcjkcjjCii=Rii-i-1∑k=1c2iki,j=1,2,⋯,Μ}(20)4线性滤波法的nb过程线性滤波法的MATLAB程序实现如图1所示。5粗糙度的模拟结果江阴长江大桥曾是我国跨度最大的悬索桥,其桥梁主跨度1385m,单侧吊杆85根,吊杆间距为16m。运用根据前面所编制的通用程序,模拟了桥面上沿跨度方向均匀分布的100个点的水平脉动风速。模拟时所用到的参数见表1。在模拟过程中,所采用的功率谱函数为Simiu谱:S(ω)=200u2*fn(1+50f)5/3(21)式中f——相似坐标,f=nz/V(z);z——离开地面的高度;V(z)——高度z处的平均风速;u*——摩擦风速,u*=KV(z)/ln(z/z0),与地面粗糙度相关,K≈0.4,z0为地面粗糙长