2022-2023学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数；【详解】解：，所以.故选：B2．化简所得的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】.故选：C3．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出总的基本事件，列举出点数之和是6的基本事件，再由古典概率求解即可.【详解】抛掷两个质地均匀的骰子，总的基本事件有个，其中点数之和是6的有共5个，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为.故选：C.4．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为，所以直观图的面积是选C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.5．已知一组数据，且．若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为（

）A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】A【分析】由已知可得该组数据的众数是，以及中位数是，利用众数是中位数的倍列方程解出，进而可计算出该组数据的平均数．【详解】，这组数据为，则该组数据的众数是，又该组数据的众数是中位数的倍，则中位数是，即，解得，则该组数据的平均数为，故选：A．6．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的半径为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理求得正确答案.【详解】依题意，，即，，，，所以，则为锐角，所以，所以外接圆的半径为.故选：C8．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出.【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，，在中，因为为中点，所以，，因为与所成的角为，所以或，当时，为等边三角形，所以，当，由余弦定理可得，即，所以的长为1或.故选：C.二、多选题9．下列选项中，错误的是（

）A．若存在实数使成立，则与共线B．若，则C．若（M、A、B、C四点不同），则A、B、C三点共线D．若，则或【答案】BD【分析】由向量共线定理判断A；根据向量的运算判断BCD.【详解】由向量共线定理可知A正确；当时，满足，此时可取任意实数，故B错误；由，可得，即，所以A、B、C三点共线，故C正确；如下图所示，当，时，满足，但与不相等且不等于，故D错误；

故选：BD10．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】由三角形三边关系，得到，由，可得，再由余弦定理得到的范围，从而得到答案.【详解】由三角形三边关系，得到；因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，因为，所以，且所以，所以，当且仅当时，等号成立，故.故选：BC.11．已知总体划分为三层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，得到各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则下列判断正确的是（）A．B．C．记第一层的每一个数据为（…），则有D．【答案】BCD【分析】根据均值、方差的定义求解判断．【详解】，A错，B正确．，所以，C正确；，所以D正确．故选：BCD．12．如图，棱长为的正方体的外接球的球心为，、分别为棱、的中点，在棱上，则（

）A．对于任意点，平面B．存在点，使得平面平面C．直线被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的截面圆面积的最小值为【答案】BC【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.【详解】对于A选项，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；对于B选项，因为四边形为正方形，则，当为的中点时，，则，平面，平面，则，因为，则平面，因为平面，所以，同理，，因为，所以平面，即平面，平面，故平面平面，B正确；对于C选项，取的中点，，为的中点，则，，同理可得，则.因为平面，平面，则，所以，，则，球的半径为，所以直线的被球截得的弦长为，C正确；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，D错误，故选：BC.三、填空题13．已知复数满足，则．【答案】【分析】由复数的四则运算与模的概念求解，【详解】由题意得，．故答案为：14．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个的概率是．【答案】【分析】分成两种情况，恰好两门科目，三门科目，根据独立事件的乘法公式计算.【详解】考生至少拿到两个的事件为，三门科目为事件，恰好两门科目为事件，由题意，，且互斥.三门科目，恰好两门科目，.根据互斥事件的加法公式，.故答案为：15．“丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7:30分，2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际.由主碑和副碑组成.纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七·二八”这一难忘时刻（如图1）.唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物，高约为16.5，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，纪念碑顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得纪念碑顶部的仰角为15°，则纪念碑的高度约为米．【答案】【分析】由题意只需求出的长，在中运用正弦定理求解即可.【详解】由题意，为等腰直角三角形，设，则，，在中，，在中，，，则，根据正弦定理，，解得，即为纪念碑高度.故答案为：16．以棱长为的正四面体中心点为球心，半径为的球面与正四面体的表面相交部分总长度为.【答案】【分析】求出正四面体内切球半径即为球心到面ABC的距离，从而得到球被平面所截得的圆的半径，再求出的内切圆的半径，此圆恰好为球被平面所截得的圆，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，求四个内切圆的周长即可.【详解】

将正四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，所以正四面体的体积为，表面积为，设正四面体的内切球半径为，则，解得.显然内切球心为，故到面的距离为，球面与面相交部分为以的圆，设三角形的内切圆半径为，圆心为为的中点，则，故，此时恰好，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当时，圆弧总长度为.故答案为：【点睛】方法点睛：有关平面（可以无限延展的）截球所得截面的计算时，第一步求出球心到截面的距离，第二步根据计算出截面圆的半径，第三步在截面（只是有限大小的平面图形）内通过计算判断所截图形是一个完整的圆还是圆的一部分，这时要根据平面几何中的数据进行计算.四、解答题17．已知：三点,其中.（1）若三点在同一条直线上，求的值；（2）当时，求．【答案】(1).(2).【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量共线得到的值；(2)根据的值，再求．【详解】（1）依题有，共线，

，.（2）由得，.又,

,,.【点睛】（1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)如果=,=，则||的充要条件是,则.18．如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，将问题转化为点到平面的距离，再利用等体积法即可求得所求.【详解】（1）连结交于，连接，因为在直三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，又因为平面，平面，故平面；（2）由（1）知平面，所以直线与平面的距离等价于点到平面的距离，不妨设为，因为，，所以，，则，又因为为的中点，所以，因为在直三棱柱中，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，则，故，所以由得，即，解得，所以直线与平面的距离为.19．航天员安全返回，中国航天再创辉煌！2023年6月4日，当地时间6时30分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好.这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功.飞行乘组在中国空间站组合体中度过了整整六个月的工作和生活，在太空见证了中国空间站正式建成的历史时刻.某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】(1)人(2)平均数为，中位数为(3)【分析】（1）由各个矩形面积和为1列方程求出的值，再利用分层抽样的定义求解即可；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（3）利用独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由，得，因为（人），（人）．所以不高于50分的抽（人）；（2）平均数．因为在内共有80人，则中位数位于内，则中位数为（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．（I）求角A的值；（Ⅱ）求的范围．【答案】（I）；（Ⅱ）.【分析】（I）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.【详解】（I）由，利用正弦定理可得，即故，又，（Ⅱ），，利用正弦定理故，在中，，故，，所以的范围是【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算能力，属于较难题.21．某中学的高二（1）班有男同学45名、女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到实验数据为68、70、71、72、74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69、70、70、72、74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．【答案】(1)；3男1女(2)(3)平均数均为71，第一个学生方差4，第二个学生方差3.2，因此第二个同学更稳定【分析】（1）根据随机抽样的定义可求得概率，再结合分层抽样的定义即可求解课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可；（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解.【详解】（1）某同学被抽到的概率为，课外兴趣小组中男同学的人数为，课外兴趣小组中女同学的人数为.（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为.（3），，因，所以第二位同学的实验更稳定.22．如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB．(1)证明：DM⊥PC.(2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接AC，交DM于点O，连接PO，根据线段长度关系可得四边形AMCD为菱形，从而得到DM⊥AC，再根据等腰三角形证明DM⊥PO即可证明DM⊥平面PCO，从而得到DM⊥PC.（2）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再由（1）可得∠POC＝60°，进而得到，再根据线面角的向量求法求解即可【详解】（1）证明：