119二项分布与正态分布(理)

一、选择题1．某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率是()A． B．C． D．[答案]A[解析]Ceq\o\al(3,4)·＋Ceq\o\al(4,4)·＝.故应选A.2．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为()A． B．C． D．[答案]C[解析]设事件A为“预报一次，结果准确”P＝P(A)＝，至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报，恰有4次准确；5次预报，恰有5次准确，故5次预报，至少有4次准确的概率为P5(4)＋P5(5)＝Ceq\o\al(4,5)××＋Ceq\o\al(5,5)××≈.故应选C.3．(2022·湖北理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)＝()A． B．C． D．[答案]C[解析]本题考查利用正态分布求随机变量的概率．∵P(ξ<4)＝，∴P(ξ≥4)＝，又μ＝2，∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝－P(ξ≥4)＝－＝.4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率是eq\f(1,2).质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A．(eq\f(1,2))5 B．Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5C．Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))3 D．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))5[答案]B[解析]由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))3·(eq\f(1,2))2＝Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))5＝Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5.故应选B.5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是()A．[,1) B．(0,]C．(0,] D．[,1)[答案]A[解析]Ceq\o\al(1,4)P(1－P)3≤Ceq\o\al(2,4)P2(1－P)2,4(1－P)≤6P，P≥，又0<P<1，∴≤P<1.6．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3[答案]D[解析]当μ一定时，曲线由σ确定，当σ越小，曲线越高瘦，反之越矮胖．故选D.二、填空题7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为，则X在(0,2)内取值的概率为________．[答案][解析]∵X～N(1，σ2)，X在(0,1)内取值概率为，∴X在(1,2)内取值的概率也为.∴X在(0,2)内取值的概率为.8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是eq\f(2,3)，每次命中与否互相独立，求油罐被引爆的概率______．[答案]eq\f(232,243)[解析]记“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为eq\x\to(A)，则P(eq\x\to(A))＝Ceq\o\al(1,5)(eq\f(2,3))(eq\f(1,3))4＋(eq\f(1,3))5∴P(A)＝1－[Ceq\o\al(1,5)(eq\f(2,3))(eq\f(1,3))4＋(eq\f(1,3))5]＝eq\f(232,243).三、解答题9．2022年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道被该考生正确做出的概率都是eq\f(3,4).(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．[解析](1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(Ai)＝eq\f(3,4)，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(A1)·P(A2)·P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,64).(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故P(B)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3×eq\f(1,4)＋Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(189,256).一、选择题1．(2022·山东理)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝，则P(－2≤X≤2)＝()A． B．C． D．[答案]C[解析]∵P(X>2)＝，∴P(X<－2)＝，故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1第n次摸取红球,1第n次摸取白球))，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5 B．Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5C．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5 D．Ceq\o\al(3,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5[答案]B[解析]有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为eq\f(2,3)，摸到白球的概率为eq\f(1,3)，这是一个独立重复试验．S7＝3，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球多3次，即摸到白球5次，摸到红球2次，所以S7＝3的概率为Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5.二、填空题3．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k次正面的概率与出现k＋1次正面的概率相同，则k的值是________．[答案]2[解析]由Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－k＝Ceq\o\al(k＋1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4－k，得k＝2.4．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是；②他恰好击中目标3次的概率是×；③他至少击中目标1次的概率是1－.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．[答案]①③[解析]本小题主要考查独立事件的概率．“射手射击1次，击中目标的概率是”是指射手每次射击击中目标的概率都是，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是Ceq\o\al(3,4)××，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是，故至少击中目标1次的概率是1－，③正确．三、解答题5．有甲、乙、丙3批饮料，每批100箱，其中各有一箱是不合格的，从3批饮料中各抽出一箱，求：(1)恰有一箱不合格的概率；(2)至少有一箱不合格的概率．[解析]记抽出“甲饮料不合格”为事件A，“乙饮料不合格”为事件B，“丙饮料不合格”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)从3批饮料中，各抽取一箱，恰有一箱不合格的概率为P＝P(eq\o(A,\s\up6(—))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(—))C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(—)))＝×＋×＋×≈.(2)各抽出一箱都合格的概率为××≈.所以至少有一箱不合格的概率为1－≈.6．(2022·全国卷Ⅰ)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．[分析]本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．[解析](1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，而P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝＋×＝.(2)X～B(4,，X的可能取值为0,1,2,3,4且P(X＝0)＝(1－4＝P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)××(1－3＝P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)××(1－2＝P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)××(1－＝P(X＝4)＝＝故其分布列为X01234P期望EX＝4×＝.7．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？[解析](1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次相当于作4次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(2,3))4＝eq\f(65,81)，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为eq\f(65,81).(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))4－2＝eq\f(8,27)；P(B2)＝Ceq\o\al(3,4)×(eq\f(3,4))3×(1－eq\f(3,4))4－3＝eq\f(27,64).由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为eq\f(1,8).(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，则A3＝D5D4eq\x\to(D3)(eq\a\vs4\al(\x\to(D2))eq\a\vs4\al(\x