第二节构造函数求极值最值解函数不等式问题

第二节构造函数法求极值、最值及求解函数不等式考点梳理1、多元归一构造法：（1）对于形如的问题，令，确定关于t的函数关系式，构造函数并利用导数求解；（2）对于形如的函数，令，构造函数求解.2、“同构法”构造新函数：对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解（主要是“指数”“对数”同构型函数问题），其常见形式有：（1）积型：的三种构造形式：①型，构建函数；②型，构建函数；③型，构建函数.（2）商型：的三种构造形式为：①型，构建函数；②型，构建函数；③型，构建函数.（3）已知和的关系式，适当构造新函数求解函数不等式或比较大小问题，常见类型有：=1\*GB3①型，构造函数=2\*GB3②型，构造函数=3\*GB3③型，构造函数=4\*GB3④型，构造函数=5\*GB3⑤型，构造函数=6\*GB3⑥型，构造函数=7\*GB3⑦型，构造函数=8\*GB3⑧型，构造函数.重难点题型突破一、多元归一构造法例1、（2023·广东湛江·统考二模）对于两个函数，与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，由，得，则，（），设函数，（），则，在上为增函数，且，所以当时，，单调递减,当时，,单调递增.故．故选:B.二、“同构法”构造新函数例2、（2022·四川遂宁市·高三模拟）若，则的最大值为（）A． B． C． D．【分析】首先对进行变形，即，由于左右“指”“对”同构，可构造函数，知在上单调递增，原不等式转化为，根据单调性的性质可得，再进行参变分离，求出函数最值，即可得解.【详解】原不等式化为，即，令，知在上单调递增，原不等式转化为，所以，即，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时取得最小值，所以的最大值为.故选：C.点睛：对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解：（1）化为是“指”“对”同构型函数的常用变形技巧，注意掌握；（2）构造函数、参变分离，转化为恒成立问题求解.三、已知和的关系式，适当构造新函数问题求解函数不等式或比较大小问题例3、（2023·山东淄博二模）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，设,则，因为，所以，即，所以，所以，，所以，解得.故选:B例4、（2023·山东菏泽二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数，有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则，因为，所以，即为减函数，又，故，则不等式等价，即，解得，故不等式的解集为．故答案为:.例5、（2023·山东青岛二模）设定义在R上的函数满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.所以.构造函数，所以在区间上单调递增，所以，即，也即.故选：A例6、（2023·山西·校联考模拟预测）定义域为的函数的导数为，若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，由得：且，在上单调递减，令，则，且；当时，，，在上单调递增，对于A，，即，，A错误；对于B，，即，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，即，，D正确.故选：D.例7、（多选题）（2023·甘肃金昌第一高级中学模拟）已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（

）A． B．C．是R上的增函数 D．，则【答案】AD【解析】由，得，即，所以函数为R上的增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如，显然是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.例8、（多选题）（2023·重庆市育才中学校考模拟预测）已知函数对于任