第21讲导数的最值4种常考考点点

第21讲导数的最值4种常考考点【考点分析】考点一：函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．考点二：求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数在内的导数；②求方程在内的根；③求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；④比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．注：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．考点三：最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．【典型例题】题型一：利用导数求函数的最值（不含参）【例1】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】为开区间

最小值点一定是极小值点

极小值点处的导数值为，充分性成立当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立，“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件，故选：【例2】函数在上的最大值、最小值分别是A． B． C． D．【答案】D【详解】函数所以，令解方程可得极大值由表格可知，函数在上的最大值为，最小值为，所以选D【例3】函数在[0，2]上的最大值是()A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，故选：A【例4】设，在上，以下结论正确的是（

）A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点【答案】C【详解】由已知，，由，得或时；由，得时，所以在上单调递增，在，上单调递减.对于选项A，取，易知的极值点为，且，而，所以不是最小值点，故A错误；对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但不是极值点，故B错误，C正确；对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.故选：C【例5】已知函数，，则函数的最大值为（

）A．0B．C．D．【答案】C【详解】∵，∴当时，单调递增，当时，单调递减，∴.故选：C.【例6】已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______．【答案】【详解】因为，所以，由题意可得，解得，则，，令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：x1200递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，极小值为，又因为，且，所以，所以，故答案为：【例7】若，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，因为，而在上单调递增，故，令，则．所以．令得或（舍去）．极大值所以的极大值也为最大值为，即的最大值为．故选：A．【例8】已知函数(1)当时，求在上的值域；【答案】(1)【分析】（1）由题意知，，时，，，时，恒成立，所以单调递增，∴，即所以的值域为.【例9】已知函数．(1)求函数在区间上的最小值；【答案】(1)0【分析】（1）因为，所以．记．则，所以为上的单调减函数．又，，所以存在唯一的实数，使得．所以当时，；当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，因为，，所以，【例10】已知函数有极小值．(1)求的单调区间；(2)求在上的最大值和最小值．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，；(2)最大值为，最小值为．【详解】（1），令，解得或，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）由（1）知，的极小值为，解得．∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，的极大值为又，，所以在上的最大值为，最小值为．【例11】已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)当时，求的值域.【答案】(1)；(2)【详解】（1），则，所以在处的切线方程为；（2），令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以当时，的值域为.【题型专练】1．（多选题）下列结论中不正确的是（

）.A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值【答案】ABC【详解】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC.2.函数的最大值为()A．e－1 B．e C．e2 D．10【答案】A【解析】令当时，；当时，，所以函数得极大值为，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.3．函数在上的最小值为___________．【答案】【详解】因为，当时,，所以在上单调递增，所以．故答案为：4.函数在上的最大值为（）A． B．π C． D．【答案】B【详解】由题意，在上，即单调递增，∴.故选：B5．定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，则下列说法正确的是A．函数的最大值也可能是 B．函数有最小值，但不一定是C．函数有最小值 D．函数不一定有最小值【答案】C【详解】∵定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，∴当时，函数有极小值，也为最小值．故选：C．6.在区间上的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【详解】因为，所以，令，解得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在上的最小值为，故选：B．7．（多选题）下列说法错误的是（

）A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C．对于，若，则无极值;D．函数在区间上一定存在最值.【答案】ABD【详解】对于A，因为函数的极值是它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，所以A错误，对于B，因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得，所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，所以B错误，对于C，由，得，当时，，所以，所以在上递增，所以无极值，所以C正确，对于D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，所以函数在区间上没有最大值和最小值，所以D错误，故选：ABD8.函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由，得，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，因为，所以函数的最大值为，故选：B9.已知函数(1)当时，求，的最大值和最小值.(2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【详解】（1）当时，，，，当时，，单调减；当时，，单调增，则当时，有极小值，即，当时，，当时，，，∴；（2）在上有两个不同的极值点，，即在上有两个不同解，即在上有两个不同解，令，则在上有两个不同解，对称轴为，由根的分布可得，∴

即．10.设函数．(1)求的单调区间；(2)当时，求的最值．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)最大值为，最小值为2【详解】（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以的最大值为，最小值为2.题型二：根据最值求参数【例1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得或（舍去）．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时取最小值，而，即最大值为，所以，所以此函数在区间上的最小值为故选：B.【例2】已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】．令，得或（舍去）．当时，，当时，，故为极小值点，也是最小值点．∵，，，∴的最小值为，最大值为，∴，解得，∴．故选：C【例3】已知函数的最小值为0．求实数的值；【答案】【详解】，显然在定义域内是增函数，有最小值，则有实数解，时，，单调递减，，，单调递增，则有，，，，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，因此由得.【例4】已知函数和函数有相同的最大值.(1)求实数的值；(2)直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且.下列两个结论①；②.其中只有一个正确，请选择正确的结论，并证明.【答案】(1)1；(2)正确结论②，证明见解析【详解】（1）的定义域为，且时，无意义，不合题意；时，当时，递减；当时，递增；所以，无最大值，不合题意，时，当时，递增；当时，递减；所以，的定义域为，且，当时，递增，当时，递减；所以所以，又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以；（2）正确结论为②，证明如下：由（1）可知：在递增，在递减，且，在递增，在递减，且，和的图象如图所示：设和的图象交于点A，则当直线经过点A时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，则，且，因为，所以，即，因为，且在递增，所以，所以，因为，所以，即，因为，且在递减，所以，所以，所以，即.【例5】已知函数．(1)若f(x)在(–1，f(–1))处的切线方程为，求a，k的值；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)若f(x)在区间[–2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【答案】(1)(2)和；(3)【分析】(1)因为，所以，由题设可得，解得.(2)令，解得或，所以函数f(x)的单调递减区间为和．(3)因为，所以．因为在上，所以f(x)在[–1，2]上单调递增，又由于f(x)在[–2，–1]上单调递减，因此f(2)和f(–1)分别是f(x)在区间[–2，2]上的最大值和最小值．于是有22+a=20，解得．故.因此，即函数f(x)在区间[–2，2]上的最小值为–7．【题型专练】1．若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(

)A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【详解】，令，解得或，当时，；当时，或，故在和上单调递增，在上单调递减，从而在上单调递减，在上单调递增，又，，则，所以在区间上的最大值为，解得．故选：B．2．已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，由得或，故函数在上单调递增；由得，故函数在上单调递减，故函数的最大值为．故．又，，故当时，函数取得最小值为-37．故选：D.3．若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（

）A．-5 B．7 C．10 D．-19【答案】A【详解】，，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值是，得，函数的最小值是.故选：A4．已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（

）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【详解】，令，解得或.①当时，可知在上单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故A正确.②当时，可知在上单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故B正确.③当时，可知在的最小值为，最大值为b或或，，则，与，，则或或，与矛盾.故C､D错误.故选：AB5．已知函数．(1)若函数的最大值是，求实数的值；【答案】(1)1【解析】(1)解：因为的定义域为，由题意

，由．当时，，，则函数在上单调递增，故当时，，不合乎题意；当时，由，可得．当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减则，故，解得．6．已知函数的最小值为．(1)求的值；【答案】(1)【解析】(1)由题可知.令，解得；令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.7．设函数的导数满足，.(1)求的单调区间；(2)在区间上的最大值为，求的值.(3)若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，；(2)；(3)【解析】（1）由可得，因为，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的单调递增区间为，单减区间为和.（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，，，则在区间上的最大值为，所以.（3）由（1）知当时，取得极小值，当时，取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，解得，即的范围是.8.已知与有相同的最小值.(1)求实数的值；【答案】(1)1；(2)证明见解析【详解】（1），则，若单调递减，若单调递增．.，若，则无最小值，.若单调递减，若单调递增，，，，，令，则，在，；题型三：根据最值求参数范围【例1】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【例2】若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，而，所以函数在区间上的最小值为2e，必有，即.故选：B【例3】若函数在上有最大值，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，，当时，；当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，故在处取到极大值，又因为在上有最大值，且，所以，则，解得，故选：A【例4】已知函数无最大值，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则，令，解得或；令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，g(－1)＝2，g(1)＝－2，据此，作出和y＝－2x的图像，由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.故选：D.【例5】函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，设，因为，因此有两个不同实根，又，因此两根一正一负，由题意正根在内，所以，解得，故选：A．【例6】若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：∵，则，当，则当时恒成立，即，∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即，∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立，当，令，则，∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立，故选：A.【题型专练】1．函数在区间上有最小值，则m的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】，易知在，单调递增，在单调递减，又，，，，故f(x)图像如图：函数在区间上有最小值，则由图可知.故选：B.2.若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，因为函数在区间内有最小值，所以，且，所以，且，解得，故选：D3.已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．【答案】【详解】，，当时，单调递减；当或时，单调递增，∴在取得极大值，处取得极小值.令，整理得，解得：或∵函数在上存在最小值，∴，解得.故答案为：.4.已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，其中当时，，故在上单调递减，此时在时，若，则，若，则，故在上为增函数，在上为减函数，故在处取最大值，故选：A.5.已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．6.设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若，当时，为增函数，且，最小值为.若，当时，的最小值为.当时，，若，则，若，则，在在，在上递增，故的最小值为.由，，，设，它在上是增函数，且，所以的解是．可得综上，常数的取值范围为.故选：B．题型四：含参数最值讨论问题【例1】已知函数，其中为常数，且.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或.【解析】（1），，令，得或1，则列表如下：1+0_0+增极大值减极小值增所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）∵，令，，，因为在处取得极值，所以，①时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得；②当，；(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，∴，∴，(ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得而，所以，解得，与矛盾；(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，综上所述，或【例2】已知函数.（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.【答案】1【解析】（1）函数定义域是，，时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，由（1）当时，，且，满足题意；当，在上递增，，在递减，，只要即可，∴，综上，的最小值是1.．故答案为：；1．【例3】已知函数.（1）若，求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若函数的最小值为0，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【详解】解：（1）∵，∴.令，得.当，∴，∴是单调递减的；当，∴，∴是单调递增的，∴，.又∵，，∴，∴，.（2），当时，，∴在上是递增的，无最小值，不满足题意；当时，令，得.当时，，∴是单调递减的；当时，，∴是单调递增的，∴.令，.令，则.当，，∴是递增的；当，，∴是递减的.∴，∴，即.【例4】已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最小值是，求a的值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）当时，，，所以切点为，，则，所以切线方程为，即.（2），，若，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，不满足题意；若，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，解得，满足题意；若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，解得，不满足题意，综上，.【题型专练】1．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（

）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【详解】由，得，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，由，得或，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），当时，当时，，所以在上递减，所以，解得，综上，，故选：C2.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，最大值为b或．若，b=1，则，与