考点25 平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类（原卷版）

考点25平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类考点一平面向量的有关概念考点二平面向量的线性运算考点三由平面向量的运算判断四边形的形状考点四共线向量定理的应用（一）向量共线问题（二）三点共线问题（三）向量共线性质的应用考点五平面向量基本定理及应用（一）对基向量概念的理解（二）用基底表示向量（三）利用平面向量基本定理求参数考点六平面向量的坐标运算考点七共线向量的坐标表示及应用（一）由坐标判断向量是否共线（二）利用向量共线求参数（三）利用向量共线解决三点共线问题（四）利用向量共线求向量或点的坐标（五）共线向量坐标表示的应用1.向量的有关概念名称定义说明向量在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向线段具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示有向线段包含三个要素：起点、方向、长度向量的模向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|向量的模是数量零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量a是非零向量，则±eq\f(a,|a|)是单位向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a0的相反向量仍是02.有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．(6)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；(7)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(8)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(9)对于任意非零向量a，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(10)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(11)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.3.向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律(性质)加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立减法求与的相反向量的和的运叫做与的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|；其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0设λ，μ∈R，则λ(μa)＝μ(λa)；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）加法运算的推广：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).（5）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．（6）向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).（7），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．（8）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．4.平面向量的线性运算解题策略（1）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．（2）找出图形中的相等向量、共线向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．5.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．6.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．注：a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：①当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；②当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0.换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件.7.三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握注：A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得．注：、、三点共线，这是直线的向量式方程．8.平面向量共线定理的三个应用9.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．10.线段定比分点的向量表达式如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．11.线性运算重要结论(1)中线向量定理:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).(2)若G为△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(n,m＋n)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋n)eq\o(AC,\s\up6(→))，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).12.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.13.平面向量基本定理的推论(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(3)平面向量基本定理的推论①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).特别地，当t＝eq\f(1,2)时，点P是线段AB的中点.②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.14.平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(3)特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．15.平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)线性运算的坐标表示文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2).两点构成的向量坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1).数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy).(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.16.重要坐标公式已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).17.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．18.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．考点一平面向量的有关概念1．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；④方向相反的两个单位向量互为相反向量；⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．其中正确的命题的个数为______．2．（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题：①向量与共线，则必在同一条直线上；②如果向量与平行，则与方向相同或相反；③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；④若，则、的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.其中正确的命题有______个.3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（

）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若，是两个单位向量，且．则4．（2023·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤5．（2023·全国·高三专题练习）设，都是非零向量，成立的充分条件是（

）A． B．C． D．且6．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（）A． B．C． D．考点二平面向量的线性运算7．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．8．（2023·河北·统考模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（

）A． B．C． D．9．（2023·山东·校联考模拟预测）在正六边形中，，若，则（

）A． B．3 C． D．10．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（

）A．5 B．7 C．9 D．1111．（2023·江西南昌·统考三模）如图是函数的部分图象，且，则（

）A．1 B． C． D．考点三由平面向量的运算判断四边形的形状12．（2023·广东揭阳·校考二模）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形13．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．（2023·湖南益阳·校联考模拟预测）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形15．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形考点四共线向量定理的应用（一）向量共线问题16．（2023·北京·高三专题练习）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件17．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件18．（2023·河南·统考二模）已知不共线，向量，，且，则_______．19．（2023春·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________．20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与共线的条件为（）A． B．C． D．或21．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（）A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部（二）三点共线问题22．（2023·全国·高三专题练习）设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（

）A．2 B．3 C． D．823．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D24．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件25．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______（三）向量共线性质的应用26．（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.27．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．928．（2023·全国·高三专题练习）P是所在平面内一点，若，则（

）A． B． C． D．29．（2023·全国·高三专题练习）已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．30．（2023·全国·高三专题练习）设为内一点，且满足关系式，则__．31．（2023·全国·高三专题练习）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（

）A． B． C． D．32．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.考点五平面向量基本定理及应用（一）对基向量概念的理解33．（2023·陕西西安·统考一模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（

）A． B．C． D．34．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（

）A． B．C． D．35．（2023·河北·高三学业考试）在下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．，B．，C．，D．，（二）用基底表示向量36．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在中，，，则（

）A． B．C． D．37．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（

）A． B．C． D．38．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-39．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形中，点在边上，，记，则（

）A． B．C． D．40．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（

）A． B． C． D．41．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（

）A． B．C． D．（三）利用平面向量基本定理求参数42．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．43．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，，，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且，则（

）

A．1 B． C． D．44．（2023·北京·高三专题练习）在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（

）A． B． C．1 D．245．（2023·江西赣州·统考二模）在平行四边形中，点，分别满足，，若，则________．46．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，在直角梯形中，为的中点，，，若，则（

）A． B．0 C． D．47．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（

）A． B． C． D．48．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为_______.49．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（

）A． B． C． D．50．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（

）A． B． C． D．考点六平面向量的坐标运算51．（2023·河北·高三学业考试）已知点，，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．52．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，则与方向相反的单位向量是（

）A． B． C． D．53．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（

）A． B．C．或 D．或54．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．55．（2023·湖北·模拟预测）在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为__________,56．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．57．（2023·全国·高三专题练习）已知两点、，点满足，则的坐标为___________.58．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，且，则_____.59．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．2考点七共线向量的坐标表示及应用（一）由坐标判断向量是否共线60．【多选】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知平面向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．与的夹角为45°61．【多选】（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设，非