2023年河南省信阳市罗山县青山中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省信阳市罗山县青山中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作(

)A.10℃ B.0℃ C.−10℃ D.−20℃2.下列正方体的展开图中，每个面上都有一个汉字，则“口”的对面是“手”的展开图是(

)A. B.

C. D.3.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，∠1=25°，则∠2的度数是(

)

A.25°

B.30°

C.40°

D.50°4.下列计算正确的是(

)A.

32=6 B.(−25)35.甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是(

)A.甲、乙的总环数相同 B.甲的成绩比乙的成绩稳定

C.乙的成绩比甲的成绩波动大 D.甲、乙成绩的众数相同6.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(

)A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分7.定义运算：m∗n=m2+mn−n2，例如：4∗2=4A.没有实数根 B.有两个相等的实数根

C.有无数个实数根 D.有两个不相等的实数根8.现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为(

)A.56 B.12 C.139.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是(

)

A.25 B.35 C.10.如图，已知P(3,2)，B(−2,0)，点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时(即三条线段PM、MN、NB长度之和最小)，点M的坐标为(

)

A.(0,12) B.(0,23)二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.计算：(−14)−112.写出一个比−3大且比−2小的无理数是______．13.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E为AB的中点，以BE为边在正方形内部作等边三角形BEF，过点F作FG⊥EF，交AD于点G.则DG的长为______．

14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB=75°，则AB的长为______．15.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题10.0分)

(1)计算：12x−1≥−3,4−x>1.

(2)化简：(17.(本小题9.0分)

某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质(大小、甜度等)，进行了抽样调查.在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．

甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜(分)75858688909696乙种西瓜(分)80838790909294

甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b(1)a=______，b=______；

(2)从方差的角度看，______种西瓜的得分较稳定(填“甲”或“乙”)；

(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．18.(本小题9.0分)

如图1，线段AB⊥x轴于点B，AB=8，反比例函数y=kx(x>0)交AB于点C.AB的垂直平分线交反比例函数图象于点D．

(1)在图1中用直尺和圆规作出点D(保留作图痕迹，不写画法)．

(2)连接AD，BD.若AD=5，

①当点B的坐标为(8,0)时，求反比例函数解析式；

②连接OD，当AD=AC时，求OD的长．

19.(本小题9.0分)

数学课上，赵老师在黑板上写出以下已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是AC的中点，以BC为直径作⊙O交AB于点D，连接DE，OD，OE.王洋同学根据赵老师给出的已知条件提出以下两个问题，请你帮助王洋完成：

(1)求证：△DOE≌△COE；

(2)若⊙O的半径为3，DB=4，求AD的长．20.(本小题9.0分)

九年级数学“综合与实践”的活动课题是“测量物体的高度”，第一小组和第二小组的成员分别采用不同的方案测量古树的高度，下面是他们的研究报告的部分记录内容．课题：测量古树的高度AB组别第一小组第二小组示意图

(说明：图中的所有点均在同一竖直平面内，其中点C，B，E，G在同一水平线上，点D，M，F，H在同一水平线上)方案用高度为1.4m的测角仪在C处测得古树顶端A处的仰角为40°，并测得点C到古树的水平距离CB为9.76m用高度为1.4m的测角仪在G处测得古树顶端A处的仰角为45°，在E处测得古树顶端A处的仰角为55°，并测得E，G两点间的距离为2.56m参考数据tan40°≈0.84，tan55°≈1.43，计算过程在Rt△ADM中，DM=CB=9.76，∠ADM=40°，tan∠ADM=AMDM，

……组员签字(1)请完成第二小组成员的计算过程．(结果保留一位小数)

(2)你认为哪个小组的测量方案得到的结果更加准确，请说明理由．21.(本小题9.0分)

某公司到果园基地购买某种水果慰问医务工作者，果园基地向购买超过3000kg以上(含3000kg)的客户推出两种购买方式，方式甲：价格为9元/kg，由果园基地运迭到公司；方式乙：价格为8元/kg，由顾客自己租车运回，从果园基地到公司的租车费用为5000元.设该公司购买水果的质量为x kg(x≥3000)．

(1)根据题意，填写下表：购买水果的质量/kg350045005500…方式甲的总费用/元______40500______…方式乙的总费用/元______41000______…(2)设该公司按方式甲购买水果的总费用为y1元，按方式乙购买水果的总费用为y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；

(3)根据题意填空：

①若按方式甲购买水果的总费用和按方式乙购买水果的总费用相同，则该公司购买水果的质量为______kg．

②若该公司购买水果的质量为5200kg，则按方式______的方式购买水果的总费用少．

③若该公司购买水果的总费用为3600022.(本小题10.0分)

如图，二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于点C左侧)，与抛物线对称轴交于点D(2,−3)．

(1)求b的值；

(2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧)，四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P′(x1,y1)、Q′(x2,23.(本小题10.0分)

问题背景

如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；

尝试应用

如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；

拓展创新

如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4，AC=23，直接写出AD答案和解析1.【答案】C

解：因为零上10℃记作+10℃，

所以零下10℃记作：−10℃，

故选：C．

根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．

本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键．

2.【答案】D

解：A、“口”的对面是“洗”，故A不符合题意；

B、“口”的对面是“勤”，故B不符合题意；

C、“口”的对面是“洗”，故C不符合题意；

D、“口”的对面是“手”，故D符合题意；

故选：D．

根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，一线隔一个，即可解答．

本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．

先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．

【解答】

解：∵∠AOC=75°，

∴∠AOC=∠BOD=75°．

∵∠1=25°，∠1+∠2=∠BOD，

∴∠2=∠BOD−∠1

=75°−25°

=50°．

故选：D．

4.【答案】D

解：32=9，故A选项错误；

(−25)3=−8125，故B选项错误；

(−2a2)2=4a4，故5.【答案】D

解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环，

∴甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；

∵甲射击成绩的方差是1.1；乙射击成绩的方差是1.5，

∴甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B，C都正确，不符合题意；

由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意；

故选：D．

根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．

本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．

【解答】

解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．

故选：C．

7.【答案】B

解：由题意可知：0∗x=02+0⋅x−x2=−x2=0，

∴Δ=0−4×(−1)×0=0，

∴方程有两个相等的实数根．

故选：B．

根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程8.【答案】B

解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，

∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为36=12，

故选：B．

画出树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，再由概率公式即可求得答案．

此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率9.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．

连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB//CD，通过△COF≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=12AC=25，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．

【解答】

解；连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，OE=OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，AB//CD，

∴∠ACD=∠CAB，

在△COF与△AOE中，∠FCO=∠OAB∠FOC=∠AOEOF=OE，

∴△COF≌△AOE(AAS)，

∴AO=CO，

∵AC=AB2+BC2=45，

∴AO=12AC=25，

∵∠CAB=∠CAB，10.【答案】A

解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN=AM，

∴四边形ABNM是平行四边形，

∴MN=AB=1，

∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，

此时PM、MN、NB长度之和最小，

∵P(3,2)，B(−2,0)，AB=1，

∴A(−1,0)，

设AP的解析式为y=kx+b，则

0=−k+b2=3k+b，解得k=12b=12，

∴y=12x+12，

令x=0，则y=12，即M(0,12)，

故选：A．

将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM11.【答案】−7

解：原式=−4−3

=−7．

故答案为：−7．

直接利用负整数指数幂的性质以及立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．

此题主要考查了立方根的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

12.【答案】如−5等(答案不唯一解：由题意可得，−2>−5>−3，并且−5是无理数．

故答案为：如−5等(答案不唯一)．

根据这个数即要比−3大且比−2小又是无理数，解答出即可．13.【答案】4−2解：∵E是AB的中点，

∴AE=BE=2，

∵△BEF是等边三角形，

∴EF=BE=2，∠BEF=60°，

∴AE=EF，

连接GE，

在Rt△AEG和Rt△FEG中，

AE=FEGE=GE，

∴Rt△AEG≌Rt△FEG(HL)，

∴∠AEG=∠FEG=(180°−60°)÷2=60°，

在Rt△AEG中，AG=AE⋅tan60°=2×3=23，

∴DG=AD−AG=4−23．

故答案为：4−23．

先利用等边三角形的性质得到EF=BE=2，∠BEF=60°，连接GE，再证Rt△AEG和Rt△FEG全等，进而可得∠AEG=60°，最后利用锐角三角函数进而可求出AG长，进而可得14.【答案】2π

解：取CD的中点O，连接OB、OA、AD，

∵小正方形的边长为1，

∴CD=6，

即CO=OD=3，

由勾股定理得：AC=AD=32+32=32，

∴AC2+AD2=(32)2+(32)2=18+18=36，

∴AC2+AD2=CD2，

∴△CAD是等腰直角三角形，

∴∠ADC=45°，∠CAD=90°，

∴CD是⊙O的直径，半径OA=3，

∴∠ABC=∠ADC=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=180°−45°−75°=60°，

∴∠AOB=2∠ACB=120°，

∴AB的长是15.【答案】8

【解析】【分析】

本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′.由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′−EF；

【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．

在Rt△EDD′中，∵DE=6，DD′=8，

∴ED′=62+82=10，

∵DP=PD′，

∴PD+PF=PD′+PF，

∵EF=EA=2是定值，

∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10−2=8，

∴PF+PD的最小值为8

16.【答案】解：(1)12x−1≥−3①4−x>1②，

解不等式①得：x≥−4，

解不等式②得：x<3，

故原不等式组的解集为：−4≤x<3；

(2)(3a+1−1)÷a【解析】(1)利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可；

(2)先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．

本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

17.【答案】解：(1)将甲种西瓜的得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，

因此中位数是88，即a=88，

乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b=90，

故答案为：88，90；

(2)由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2>s乙2，

∴乙种西瓜的得分较稳定，

故答案为：乙；

【解析】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．

(1)根据中位数、众数的意义求解即可；

(2)根据数据大小波动情况，直观可得答案；

(3)从中位数、众数的比较得出答案．

18.【答案】解：(1)如图所示，点D即为所求；

(2)①如图，设线段AB的垂直平分线交AB于E，

∵AB=8，∠AED=90°，

∴AE=12AB=4，

∵AD=5，

∴DE=AD2−AE2=3，

∵点B的坐标为(8,0)，

∴OB=8，

过D作DF⊥x轴于F，连接OC，

则四边形BEDF是矩形，

∴BF=DE=3，

∴OF=5，

∴D(5,4)，

∴k=4×5=20，

∴反比例函数解析式为y=20x；

②∵AD=AC=5，AB=8，

∴BC=3，

设D(a,4)则C(a+3,3)，

∵点D，C在y=kx(x>0)的图象上，

【解析】(1)根据题意作出图形即可；

(2)①如图，设线段AB的垂直平分线交AB于E，根据勾股定理得到DE=AD2−AE2=3，过D作DF⊥x轴于F，根据矩形的性质得到BF=DE=3，求得D(5,4)，于是得到结论；

②设D(a,4)则C(a+3,3)，根据点D，C在y=19.【答案】(1)证明：∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ADC=90°，

∵点E是AC的中点，

∴DE=12AC=EC．

在△DOE与△COE中，

OD=OCDE=CEOE=OE，

∴△DOE≌△COE(SSS)；

(2)解：∵点E是AC的中点，点O是BC的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE=12AB．

设OE=x，则AB=2x，AD=2x−4．

在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，

∴CD=BC2−BD2=62−42=25．

在Rt△OCE中，∵∠OCE=90°，

【解析】(1)首先根据圆周角定理得出∠BDC=90°，那么∠ADC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=12AC=EC.然后利用SSS证明△DOE≌△COE；

(2)首先证明OE是△ABC的中位线，根据中位线定理得出OE=12AB.设OE=x，则AB=2x，AD=2x−4.在Rt△BCD中利用勾股定理得出CD=BC2−BD2=25.在20.【答案】解：(1)由题意可得BM=FE=HG=1.4m，FH=BG=2.56m，

设AM=x m，在Rt△AMH中，∠AHM=45°，

∴MH=AM=x m，

∴MF=MH−FH=(x−2.56)m，

在Rt△AMF中，

∵AM=MF⋅tan55°，

∴x≈1.43(x−2.56)，

∴x≈8.51，

∴AM≈8.51m，

∴AB=AM+BM=8.51+1.4≈9.9(m)，

答：古树的高度AB约为9.9m；

(2)第二小组的测量方案得到的结果更加准确，理由如下：

【解析】(1)设AM=x m，在Rt△AMH中，∠AHM=45°，可得MH=AM=x m，在Rt△AMF中根据锐角三角函数可得出x的值，进而可得出结论；

(2)第一小组测量的只是测角仪所在位置与古树底部边缘的最短距离，不是测量测角仪所在位置与古树底座中心的距离．

本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】31500

49500

33000

49000

5000

乙

甲

解：(1)方式甲购买3500kg费用为3500×9=31500(元)，购买5500kg费用为5500×9=49500(元)，

方式乙购买3500kg费用为3500×8+5000=33000(元)，购买5500kg费用为5500×8+5000=49000(元)，

故答案为：31500，49500；33000，49000；

(2)根据题意得：y1=9x；

y2=8x+5000；

(3)①∵按方式甲购买水果的总费用和按方式乙购买水果的总费用相同，

∴9x=8x+5000，

解得x=50000，

故答案为：5000；

②当x=5200时，按方式甲购买水果的总费用y1=5200×9=46800，

按方式乙购买水果的总费用y2=5200×8+5000=46600，

∵46800>46600，

∴按方式乙的方式购买水果的总费用少；

故答案为：乙；

③当购买水果的总费用为36000元，按方式甲购买水果360009=4000(kg)，

购买水果的总费用为36000元，按方式乙购买水果36000−50008=3875(kg)，

∵4000>3875，

∴按方式甲的方式购买水果的质量多，

故答案为：甲．

(1)方式甲购买费用等于购买质量乘以9，方式乙购买，费用为购买质量乘以8再加上租车费用，列式计算可得答案；

(2)根据甲购买费用等于购买质量乘以9，方式乙购买，费用为购买质