2022-2023学年甘肃省酒泉市肃州二中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省酒泉市肃州二中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.如果a>b，则下列不等式中不正确的是(

)A.a+2>b+2 B.a−2>b−2 C.−2a>−2b D.3a>3b3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是(

)A.(a+1)(a−1)=a2−1

B.a2−2a+1=(a−2+1)

4.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为(

)A.3

B.1

C.2

5.函数y=x+2的图象如图所示，当y>0时，x的值是(

)A.x<−2

B.x>−2

C.x>2

D.x<26.若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为(

)A.13 B.13或17 C.10 D.177.将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x−1的是(

)A.x2−1 B.x(x−2)+(2−x)

C.x28.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB′C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为(

)A.30°

B.60°

C.90°

D.150°9.根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是(

)A.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5 B.a∶b∶c=5∶3∶4

C.a=5，b=2，10.在△ABC中，AB=AC，BC=8cm，∠BAC=120°，将△ABC沿BC方向平移2cm到△DEF，AC与DE交于G点，则△GEC的面积为(

)A.6cm2 B.33cm二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：______．12.分解因式：xy2−4x=______13.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设________14.若x2+kxy+25y2是一个完全平方式，则k的值是15.在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(−2,3)，把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，则点16.关于x的不等式组2x+1>3a−x>1的解集为1<x<3，则a的值为______．17.如图，点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A=58°，则∠BOC=______度．

18.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集为

．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(−4,4−5a)位于第二象限，点B(−4,−a−1)位于第三象限，且a为整数．

(1)求点A和点B的坐标；

(2)若点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．四、解答题（本大题共6小题，共39分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20.(本小题4.0分)

两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点21.(本小题7.0分)

解不等式与不等式组并把解集表示在数轴上．

(1)3−x<2x+9；

(2)2x−13−22.(本小题7.0分)

分解因式：

(1)a2(x−2)+(2−x)；

23.(本小题7.0分)

在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：

(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

(2)将△A1B1C1绕原点24.(本小题7.0分)

如图，△ABC是等边三角形，分别在BC、AC边上取点D、E，且AE=CD，连接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH=6，PE=2．

(1)求证：△ABE≌△CAD；

(2)求BE的长．25.(本小题7.0分)

某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．

(1)求这两种品牌计算器的单价；

(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；

(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过答案和解析1.【答案】D

解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D．

根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2.【答案】C

解：A、a+2>b+2正确，不符合题意；

B、a−2>b−2正确，不符合题意；

C、应该是−2a<−2b，此选项不正确，符合题意；

D、3a>3b正确，不符合题意．

故选：C．

根据不等式的性质逐一判断即可．

本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】D

【解析】解；A、是整式的乘法，故A错误；

B、a2−2a+1=(a−1)2，故B分解错误；

C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；

D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；

故选；D．

4.【答案】B

解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，

∴BE=CE=2，

∴∠B=∠DCE=30°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，

∴∠A=180°−∠B−∠ACB=90°．

在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，

∴AE=12CE=1．

故选B．

先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°−∠B−∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．

5.【答案】B

解：由函数y=x+2的图象可知，当x>−2时，函数图象在x轴上方，

故当y>0时，x的值是x>−2．

故选B．

直接根据函数y=x+2的图象进行解答即可．

本题考查的是一次函数的图形，利用数形结合解答是解答此题的关键．

6.【答案】D

解：(1)若3为腰长，7为底边长，

由于3+3<7，则三角形不存在；

(2)若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．

所以这个三角形的周长为7+7+3=17．

故选：D．

求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

7.【答案】D

解：A.x2−1=(x+1)(x−1)，故该选项不符合题意；

B.x(x−2)+(2−x)=(x−2)(x−1)，故该选项不符合题意；

C.x2−2x+1=(x−1)2，故该选项不符合题意；

D.x2+2x+1=(x+1)8.【答案】B

解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠A=60°，

∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，

∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，

∴△ACA′为等边三角形，

∴∠ACA′=60°，

即旋转角度为60°．

故选：B．

先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，

9.【答案】D

解：A.∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，

∴最大角∠C=180°×52+3+5=90°，

∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.∵a：b：c=5：3：4，

∴b2+c2=a2，

∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.∵a=5，b=2，c=3，

∴b2+c2=a2，

∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴3∠C=180°，

∴∠C=60°，

∴∠A+∠B=120°，不能求出△ABC的一个角是直角，

即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D．10.【答案】B

解：如图，过点G作GH⊥EC于点H，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠ACB=30°，

∵将△ABC沿BC方向平移2cm到△DEF，

∴AB//ED，BE=2cm，

∴∠GEC=∠ABC=30°，∠EGC=∠BAC=120°，

∴∠GEC=∠GCE=30°，EC=6cm，

∴GE=GC，

∵GH⊥EC，

∴EH=HC=12EC=12×6=3cm，

在Rt△GEH中，EH=3cm，GH=12EG，

∵EH2=EG2−GH2，

∴9=4GH2−GH2，

解得GH=3，

S△EGC11.【答案】x−5≤2x

【解析】【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意抓住关键词语，弄清不等关系．x与5的差为x−5，不大于即小于等于，x的2倍为2x，据此列不等式．

【解答】

解：由题意得：x−5≤2x；故答案为x−5≤2x．

12.【答案】x(y+2)(y−2)

解：原式=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，

故答案为：x(y+2)(y−2)

原式提取x，再利用平方差公式分解即可．13.【答案】一个三角形中有两个角是直角

解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．

故答案为：一个三角形中有两个角是直角．

根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．

此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．

14.【答案】±10

解：∵x2+kxy+25y2是一个完全平方式，

∴kxy=±2⋅x⋅5y，

解得：k=±10，

故答案为：±10．

根据完全平方式得出kxy=±2⋅15.【答案】(2,3)

解：把△ABC向右平移4个单位，点A的纵坐标不变，横坐标增加4个单位，

∴点A1横坐标为−2+4=2，

即点A1坐标为(2,3)，

故答案为：(2,3)．

根据平移的性质以及坐标的变化规律计算即可．

16.【答案】4

解：2x+1>3 ①a−x>1 ②

∵解不等式①得：x>1，

解不等式②得：x<a−1，

∵不等式组2x+1>3a−x>1的解集为1<x<3，

∴a−1=3，

∴a=4

故答案为：4．

求出不等式组的解集，根据已知得出a−1=3，从而求出a的值．

本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出a−1=317.【答案】119

解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，

∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，

∵∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB，

∴∠BOC=180°−12(∠ABC+∠ACB)，

∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，

∴∠BOC=180°−12(180°−∠A)，

=90°+12∠A

=90°+12×58°

=119°．

故答案为：119．

利用角平分线的性质得到BO18.【答案】x>−1

【解析】【分析】

本题考查了一次函数与一元一次不等式．

观察函数图象得到，当x>−1，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b>kx−1的解集．

【解答】

解：当x>−1，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，

所以关于x的不等式x+b>kx−1的解集为x>−1．

故答案为：x>−1．

19.【答案】解：(1)∵点A(−4,4−5a)位于第二象限，点B(−4,−a−1)位于第三象限，且a为整数，

∴4−5a>0−a−1<0，

∴−1<a<45，

∵a为整数，

∴a=0，

∴A(−4,4)，B(−4,−1)；

(2)∵A(−4,4)，B(−4,−1)，

∴AB=5，

∵点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，

∴AC=AB=5，

∵AC=(m+4)2+42，

∴(m+4)2+16=25，【解析】(1)根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；

(2)根据等腰三角形的性质解答即可．

本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形的性质、两点距离公式，掌握这几个知识点的熟练应用是解题关键．

20.【答案】解：(1)作出线段AB的垂直平分线；

(2)作出角的平分线；

它们的交点即为所求作的点C(2个)．

【解析】仔细分析题意，寻求问题的解决方案．

到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．

由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．

本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．

21.【答案】解：(1)3−x<2x+9，

移项得−x−2x<6，

合并同类项得−3x<6，

化简得x>−2，

解集用数轴表示为：

(2)2x−13−5x+12≤1⋯①5x−1<3(x+1)⋯②，

①去分母得2(2x−1)−3(5x+1)≤6，

去括号得4x−2−15x−3≤6，

移项合并同类项得−11x≤11，

化简得x≥−1②去括号得5x−1<3x+3，

移项合并同类项得2x<4，

化简得x<2，

故原不等式的解集为−1≤x<2【解析】(1)先将含未知数的项移到等号左边，然后合并同类项，最后按照不等式的性质化简；

(2)分别解不等式组中的两个不等式，然后找出两组解集的公共部分即可．

本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．

22.【答案】解：(1)a2(x−2)+(2−x)

=(x−2)(a2−1)

=(x−2)(a+1)(a−1)；

(2)2ax2【解析】(1)先提取公因式(x−2)，再根据平方差公式分解因式即可；

(2)先提取公因式2a，再根据完全平方公式分解因式即可．

本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．

23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(−3,3)；

(2)如图，△【解析】本题考查了作图−旋转变换依据平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

(1)利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；

(2)根据△A1B1C24.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠ACB=∠BAC=60°，

在△ABE与△CAD中，

AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，

∴△ABE≌△CAD(SAS)；

(2)解：∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠DAC，

又∵∠BAD+∠DAC=60°，

∴BAD+∠ABE=60°，

∴∠BPD=60°，

∵BH⊥AD，

∴∠BHP=90°，

在R