2-1 等式关系与不等式关系（解析版）导学案（人教A版2019必修第一册）

2.1等式关系与不等式关系1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的有关性质．4.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明或解决范围问题．重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．阅读课本内容，自主完成下列内容。知识点一基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的与的大小.【答案】a－b>0a－b＝0a－b<0差0符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？【答案】作差x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立.【答案】1.（多选）下列判断正确的是（）A实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.B不等式x≥2的含义是指x不小于2.C若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．D【答案】BCD2.某购买甲产品x件，乙产品y件，甲、乙两种产品总量至少需要120个，则x，y应满足的不等关系是()A．x＋y>120B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120【答案】C知识点三等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b

a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c

b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒

_______a>b，c<0⇒

_______c的符号5同向可加性a>b，c>d⇒

___________同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒

________同向7可乘方性a>b>0⇒an

bn(n∈N，n≥2)同正【答案】<>ac>bcac>bca＋c>b＋da＋c>b＋d>思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？【答案】a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？【答案】不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＝b是eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)成立的充要条件．()(2)a>b⇒ac2>bc2．()(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．()(5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√考点一用不等式(组)表示不等关系例1（2023高一专题练习）某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．【解析】设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000,3x≥y,x≥0,y≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≤40,3x≥y,x≥0,y≥0)).将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等式所联系的量.②用适当的不等号连接.③多个不等关系用不等式组表示.【对点演练1】如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．【答案】eq\f(1,2)(a2＋b2)>ab【对点演练2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？【解析】提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.考点二比较大小角度1做差比较大小例2比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小【解析】∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法1.作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．2.变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．【对点演练1】已知x，y均为正数，设m＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，n＝eq\f(4,x＋y)，比较m和n的大小．【解析】∵m－n＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y,xy)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq\f(x－y2,xyx＋y).又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．【对点演练2】（2022山东滨州联考）设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<N D．与x有关【答案】A【解析】M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N，故选A．【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（）B．C．D．，大小关系不确定【答案】B【详解】，∴M<N.故选：B.角度2作商比较大小例3（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小【答案】【详解】，，，.【对点演练1】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.角度3利用不等式的性质比较大小例4（2023高一课时作业）若，，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，因为，所以即.故选：B【对点演练1】若，，则（

）．A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确；对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误；对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误；对于D：，因为，可得，所以，故D正确．故选：AD.考点三不等关系的判断与证明角度1不等关系的判断例5已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3【答案】D【解析】∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．【对点演练1】若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【答案】C【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C【对点演练2】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，则a<bC．若a<b<c<0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)D．若a>b，则a2>b2【答案】C【解析】对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于B选项，由不等式性质知，eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故eq\f(b,a)－eq\f(b＋c,a＋c)＝eq\f(ba＋c－ab＋c,aa＋c)＝eq\f(b－ac,aa＋c)<0，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)，故正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误．角度2不等式的证明例6已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).【证明】∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).【对点演练1】已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.【证明】因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.【对点演练2】若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).【证明】∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).考点四利用不等式的性质求取值范围例7(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．【答案】(－4,2)(1,18)【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.(2)已知3<a<8,4<b<9，则eq\f(a,b)的取值范围是________．【答案】【解析】∵4<b<9，∴eq\f(1,9)<eq\f(1,b)<eq\f(1,4)，又3<a<8，∴eq\f(1,9)×3<eq\f(a,b)<eq\f(1,4)×8，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<2.利用不等式的性质求取值范围的策略

1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.

2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围.【对点演练1】已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]【答案】A【解析】因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.【对点演练2】已知－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．【解析】设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).【对点演练3】（多选）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令，根据，求得的值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：BC.一、单选题1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400【答案】B【解析】x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ac2>bc2 B．a>bC．a＋c>b＋c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)【答案】D【解析】若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则eq\f(ac,c2)>eq\f(bc,c2)，即eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，故D正确．3.（2022秋•青岛期末）若，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b B．a2b＞ab2 C．|a|＞﹣b D．【答案】B【分析】根据可得：b＜a＜0，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解．【解答】解：因为，所以b＜a＜0，故A错误；因为b＜a＜0，所以ab＞0，则有a2b＞ab2，故B正确；因为b＜a＜0，所以﹣a＜﹣b，又因为a＜0，所以|a|＝﹣a，则﹣a＝|a|＜﹣b，故C错误；因为b＜a＜0，所以a+b＜a+a，两边同时除以2可得：，故D错误．故选：B．4.已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为()A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N【答案】B【解析】因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.5.（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，，则【答案】C【详解】AB选项，若，满足，但此时，，AB错误；C选项，如果，则，故，不等式两边同时除以，则，C正确；D选项，若，满足，，但，，D错误.故选：C6.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D7.（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.故选：B.8.（2023·全国·高三专题练习）已知,则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为,所以,由,得,故选：A多选题9.下列说法正确的是A.某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B.小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”【答案】.CD解析：对于A，x应满足x≤2000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；CD正确.10、若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是()A．ad>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)【答案】BCD【解析】因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以eq\f(ac＋bd,cd)＝eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．11.(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．ab>ac【答案】BCD【解析】因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.12.（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D