2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.设f(x)为R上不恒等于零的奇函数，且f'(0)存在，则函数______．A.在x=0处左极限不存在B.有跳跃间断点x=0C.在x=0处右极限不存在D.有可去间断点x=02.设y=y(x)一阶可导，y(0)=π，若对任一点x∈(-∞，+∞)处函数的增量为，其中o(Δx)为Δx的高阶无穷小量，求y(x)．3.4.已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：|E-A2|=0．5.若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a=______．6.设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点，求L的方程．7.设u=f(x，y，z)，y=φ(x，t)，t=ψ(x，z)，其中f，φ，ψ可微，求．8.设函数f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是______

A．

B．

C．

D．9.设A，B为3阶可逆矩阵，A，B相似，且|A-3E|=0，λ1=1，λ2=2是矩阵A的两个特征值，则|B-1-2AB-1|=______

A．

B．

C．

D．10.设则有______．A.N＜P＜MB.M＜P＜NC.P＜M＜ND.N＜M＜P11.线性方程组

的基础解系有两个线性无关解组成，则参数a，b，c，d，e应满足关系______．12.在齐次线性方程组Am×nx=0中，若秩(A)=k且，η1η2…，ηr是它的一个基础解系，则r=______；当k=______时，此方程组只有零解．13.14.设y=y(x)(x＞0)是微分方程xy'-6y=-6满足条件y()=10的解.

(1)求y(x);

(2)设P为曲线y=y(x)上的一点,记曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为,IP,当IP最小时,求点P的坐标.15.反常积分的敛散性为______A.①发散，②收敛B.①收敛，②发散C.①收敛，②收敛D.①发散，②发散16.n阶矩阵求A的特征值和特征向量。17.对一般的n元实二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T，证明：f在条件下的最大值恰为矩阵A的最大特征值．18.f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且

证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．19.设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点(1，1)，求L的方程．20.21.计算曲线y=ln(1-x2)上相应于的一段弧的长度．22.设，其中ai≠0，bi=0(i=1，2，…，n)，则矩阵A的秩为r(A)=______．23.已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是A.如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．B.如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关．C.如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出．D.如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．24.(本题满分10分)

求不定积分。25.26.27.设F(x)是f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，则F(x)+f(x)在区间(0，1)内______．A.可导B.连续C.存在原函数D.是初等函数28.设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．29.30.设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记则A=______

A．P1P2

B．

C．P2P1

D．31.设D是由曲线围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．32.求．33.若，则为

A．0．

B．3．

C．

D．∞．34.设当x→0时，f(x)=ln(1+x2)-ln(1+sin2x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于______A.1B.2C.3D.435.以y1=excos2x，y2=exsin2x与y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是A.y'''+y''+3y'+5y=0.B.y'''-y''+3y'+5y=0.C.y'''+y''-3y'+5y=0.D.y'''-y''-3y'+5y=0.36.37.若方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为，则a为______．A.1B.2C.3D.438.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，α3，Ⅱ：α1，α2，…，αs，…，αs+r，则必有

(A)Ⅰ相关Ⅱ相关．

(B)Ⅰ无关Ⅱ无关．

(C)Ⅱ相关Ⅰ相关．

(D)Ⅱ相关Ⅰ无关．39.40.41.计算42.函数的跳跃间断点是x=______A.-1．B.1．C.0．D.2．43.f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0.证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f'''(ξ)=3.44.45.设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程

y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)

①

的3个解，且

则式①的通解为______．46.设平面区域D由星形线与x轴围成，则

A．

B．

C．

D．47.48.设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则______．A.A的n个特征值都是单值B.A是可逆矩阵C.A存在n个线性无关的特征向量D.A一定为n阶实对称矩阵49.计算定积分50.设函数f(x)连续，证明，并计算积分

第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：D[考点]极限、间断点

[解析]由题设，f(-x)=-f(x)，则有f(0)=0，

从而，

即g(x)在x=0处极限存在，但x=0时g(x)无定义，

因此可补充定义g(0)=f'(0)，则g(x)在x=0处连续．

综上，g(x)有可去间断点x=0，所以选(D)．2.参考答案：[解析]由可知，

已知y(0)=π，上式两边做定积分，得

即y=πearctanx．3.参考答案：[解]4.参考答案：由已知条件可得

|A|2=|A|·|AT|=|AAT|=|E|=1．

若|A|=1，则

|E-A|=|AAT-A|=|A(AT-ET)|=|A|·|A-E|=|-(E-A)|

=(-1)2n+1|E-A|=-|E-A|，

从而|E-A|=0．

若|A|=-1，则由

|E+A|=|AAT+A|=|A(AT+ET)|=|A|·|A+E|=-|E+A|,

可得|E+A|=0．

又因

|E-A2|=|(E-A)(E+A)|=|E-A|·|E+A|，

所以无论|A|为1还是-1，一定有|E-A2|=0．5.参考答案：-4．[解析]．6.参考答案：解：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA:Y-y=y'(X-x)．

令X=0，则Y=y-xy'，故A点的坐标为(0，y-xy')．

由|MA|=|OA|，得

即，或者

则

因为曲线经过点，所以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为7.参考答案：[解]

8.参考答案：D[解析]因为

如果此极限存在，则由导数定义可知，函数f(x)在x=a处可导，即该极限存在是f(x)在x=a处可导的一个充分条件。故选D。9.参考答案：B[考点]本题考查相似矩阵的幂，逆矩阵的性质和伴随矩阵。首先结合|A-3E|=0可得出矩阵A和B的所有特征值，利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质即可计算|B-1-2AB-1|。[解析]根据|A-3E|=0可知λ=3是矩阵A的一个特征值，因此A的所有特征值为1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。E-2A的特征值分别为1-2×1=-1，1-2×2=-3，1-2×3=-5。因此

|E-2A|=(-1)×(-3)×(-5)=-15，|B|=λ1λ2λ3=1×2×3=6，

故10.参考答案：C[解析]三个积分的积分区间相同，都为对称区间，且被积函数的子函数又有奇偶性．利用此可算出三个积分再比较大小．

M中被积函数为奇函数，故M=0．去掉被积函数中等于0的奇函数的积分，得到

故N＞M＞P．仅(C)入选．11.参考答案：e+bc-ad=0．12.参考答案：n-k，n；13.参考答案：14.参考答案：解：(1)原方程整理,得,则

P(x)=-,Q(x)=-,

所以,通解y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dx+C]

=1+Cx6,

又因为y()=10,得10=1+C()6,

解得C=,

所以y(x)=1+x6(x＞0);

(2)P为曲线y=y(x)上一点,设P点坐标为(x,1+)．

又因为)y'=(1+)'=2x5,则P点处的法线方程为

令X=0,得法线在Y轴上的截距,

令,得驻点x=1,

当0＜x＜1时,＜0,当x＞1时,＞0,

则x=1为极小值点,也是最小值点,此时P点坐标为(1,)．15.参考答案：B[解析]故①收敛；

故②发散。

故选B。16.参考答案：解：矩阵A的特征多项式为

则A的特征值为1+(n-1)b和1-b(n-1重)。

①当b=0时，A的特征值是1(n重)，任意n维非零列向量均为A的特征向量。

②当b≠0时，对方程组{[1+(n-1)]bE-A}x=0的系数矩阵作初等行变换得

解得上述方程组的基础解系为ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的属于λ=1+(n-1)b的全部特征向量为

kξ1=k(1，1，1，…，1)T，k≠0。

对方程组[(1-b)E-A]x=0的系数矩阵作初等行变换得

解得上述方程组的基础解系为

ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T，

所以A的属于λ=1-b的全部特征向量为

k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全为零的常数。17.参考答案：[解]对于实二次型f=xTAx，存在正交变换x=Qy，使得：

f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2．

其中，λ1，λ2，…，λn为A的全部特征值．不妨假定：λ1≤λ2≤…≤λn

则λ1xTx=λ1yTQTQy=λ1yTy，

λ2xTx=λ2yTQTQy=λ2yTy，

依此类推：

λnxTx=λnyTQTQy=λnyTy，

于是，

又λ1yTy=λ1y12+λ1y22+…+λ1yn2，

λnyTy=λny12+λny22+…+λnyn2，

且λ1≤λ2≤…≤λn．

所以λ1yTy≤xTAx=λ1y12+λ2y22+…+λn2yn2≤λnyTy，

所以λ1xTx≤xTAx≤λnxTx．

当，即当xTx=1时，λ1≤xTAx≤λn

由λnxTx=λnyTQTQy=λnyTy知，当yTy=1时，xTx=1．取y=(0，0，…，1)T时，相应的x有xTAx=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2=λn．

所以f在条件下的最大值恰为矩阵A的最大特征值．18.参考答案：[证]令F(x)=xe-xf(x)，则由中值定理得

故在上，对F(x)运用罗尔定理，可得存在使f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．19.参考答案：[解析]设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y'(X-x)，令X=0，则Y=y-y'x，故点A的坐标为(0，y-y'x)．

由|MA|=|OA|得

即

这是一阶线性非齐次方程，解得

因为曲线经过点(1，1)，所以C=2．

再由曲线在第一象限内，得曲线方程为20.参考答案：A21.参考答案：解：

22.参考答案：1；23.参考答案：B例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确．应选(B)．

关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1，α2，α3线性表出．

关于(C)：由已知条件，有

(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，

(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．

若r(α2，α3)=1，则必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出．

关于(D)：经初等变换有

(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，

(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，

从而

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．

因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．24.参考答案：解：运用变量替换，令，得

由分部积分得

其中，C是任意常数

于是，C是任意常数。

根据下图所示三角形示意图，作变量还原得

，C是任意常数。

[考点]换元法、分部积分法在不定积分求解中的应用。25.参考答案：26.参考答案：27.参考答案：C[考点]原函数的存在条件

[解析]因F(x)是f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，故F'(x)=f(x)，

因此F(x)在区间[0，1]内连续，于是F(x)在区间[0，1]内存在原函数，

因此F(x)+f(x)在区间(0，1)内存在原函数，选(C)．28.参考答案：1[解析]根据题设条件，得

A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(0，2α1+α2)=．

记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵，因此，从而．记，则A与B相似，从而有相同的特征值，因为

，所以λ=0，λ=1．故A的非零特征值为1．29.参考答案：D30.参考答案：D[解析]由题设条件可知，矩阵P1，P2正是和题中所给的初等变换对应的初等矩阵，根据初等矩阵的性质，有B=AP1和E=P2B，从而E=P2(AP1)，即，因此有A=，故选D。31.参考答案：解

设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，表面积为S，则

32.参考答案：解：令φ(x)=max{x3，x2，1}，则

设F(x)为φ(x)的一个原函数，则有

其中C1，C2，C3为待定常数．

因为F(x)连续，故

所以

因此

[考点]不定积分、定积分、反常积分33.参考答案：C[解析]

因为

又

所以选C．

对sin3x2用泰勒公式．由

令t=3x2得

于是

34.参考答案：D[解析]因为

因此n=4.35.参考答案：B[解析]线性无关特解y1=excos2x，y2=exsin2x与y3=e-x对应于特征根λ1=1+2i，λ2=1-2i与λ3=-1，由此可得特征方程是

由此即知以y1=excos2x，y2=exsin2x与y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是y'''-y''+3y'+5y=0．应选(B)．36.参考答案：37.参考答案：A[考点]特征值、特征向量及二次型

[解析]二次型对应的矩阵为，则A的特征值为0，1，4，而|A|=-(a-1)2，所以a=1．应选A．38.参考答案：A39.参考答案：40.参考答案：A41.参考答案：[解]将D分成两部分D1，D2，其中

则42.参考答案：C[解析]x=0，x=±1，x=2是f(x)的间断点．

由于

故x=0是f(x)的跳跃间断点．

经计算知，x=1是f(x)的可去间断点，x=-1和x=2是f(x)的无穷间断点．故C正确．43.参考答案：证：由泰勒公式得

两式相减得f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6.

因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f'''(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f'''(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f'''(ξ1)+f'''(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．