等差数列的前n项和公式第2课时课件上学期高二数学选择性

4.2.2等差数列前n项和公式复习回顾1.等差数列前n项和公式推导方法——倒序相加法.2.掌握等差数列前n项和公式的三种形式.

例8某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn.由题意可知,{an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项。解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.

根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.一、等差数列前n项和的实际应用

例8某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.

根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.

因此，第1排应安排21个座位.

练习

根据科学计算，某运载飞船的火箭点火1分钟内通过的路程为2千米，以后每分钟通过的路程增加2千米，在到达离地面240千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是(

@23@

)A.10分钟B.13分钟 C.15分钟D.20分钟解:由题设条件知，火箭每分钟通过的路程(单位：千米)构成以2为首项，2为公差的等差数列{an}，设其前n项和为Sn，则

令Sn=240，解得n=15或

n=−16(舍).故选C.例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

解法1:由an+1

-an=-2<0,得an+1<an,所以{an}是递减数列.又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12,可知:当n<6时,an>0;当n=6时,an=0;当n>6时,an<0;二、等差数列前n项和中的最值问题例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解法1:由an+1

-an=-2<0,得an+1<an,所以{an}是递减数列.又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12,可知:当n<6时,an>0;当n=6时,an=0;当n>6时,an<0;所以，

S1<S2<…<S5=S6>S7>….

也就是说，当n=5或6是，最大Sn.

所以Sn的最大值为30.例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

如图,当d<0时,Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点,因此，可以利用二次函数求相应的n,Sn的值.例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

=-n2+11n

求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：①当a1>0，d<0时，Sn有最大值，

此时可由an≥0且an+1≤0求出n的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.(2)利用等差数列的增减性及an的符号变化，②当a1<0，d>0时，Sn有最小值，

此时可由an≤0且an+1≥

0求出n的值；例10数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.

分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．例10数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.解:

(1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，

法二:由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.

解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.例10数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.an＝34－2n.(2)法一:(公式法)令an≥0,得34－2n≥0,所以n≤17,

故数列{an}的前17项大于或等于零．故数列{an}的前16项或前17项的和最大．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，例10数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.an＝34－2n.当n≥18时，(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0.所以，当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.＝S17-(Sn-S17)＝2S17-SnSn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝n2－33n＋544.练习(多选题)已知递减的等差数列{an}的前n项和为

Sn，S5=S9

，则(

@19@

)

A.

a7>0B.

S7最大 C.S14>0

D.S13>0

解:因为S5=S9

，所以a6+a7+a8+a9=0，所以a7+a8=0，又等差数列{an}为递减数列，所以公差d<0，所以a7>0，

a8<0，故A，B正确.ABD又S14=7(a7+a8)=0

，S13=13a7

>0，故C错误，D正确.故选ABD.例11(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为(

)A.9 B.12 C.16 D.17解:由等差数列的性质知S4,S8−S4,S12−S8,S16−S12,S20−S16构成一个等差数列,A三、等差数列的前n项和的性质及应用设该数列的公差为d,则d=(S8−S4)−S4=2,所以S20−S16=S4+(5−1)d=1+4×2=9,即a17+a18+a19+a20=9,故选A.

4解:由等差数列的性质可得

C课堂小结设等差数列{an}前n项和为Sn，则性质1：数列{an}是等差数列

等差数列.性质3：在等差数