华北理工大学材料力学刘文增第五版第7章 应力和应变 强度理论

第7章应力和应变分析强度理论一、受力杆件内应力的特点1、空间各点某一方向截面的应力是该点坐标的函数。2、某点各方向截面的应力是截面方向角的函数。二、应力状态的定义：受力构件内一点处不同截面上应力的集合称为一点处的应力状态或应力状态。1、内容研究通过一点的不同截面上的应力变化规律。2、方法截取单元体进行分析。三、应力分析§7.1应力状态概述四、单元体的概念：围绕研究点截取的边长无限小的正六面体的截离体称为单元体。各截面应力均布，等于过该点相应截面的应力。可代表该点的应力状态。1、定义:2、性质：3、截取方法一般选取横截面为一对截面。横截面应力由相应公式计算；其他截面应力由切应力互等定理及变形特点确定。

例：一矩形截面简支梁，试求从m—n截面A、B、C、D、E五点截取单元体。解：A点：C点：B点：FmnABECDτσMFSσ=τ=τ=σ=五、主平面、主应力1、主平面τ=0的截面。2、主应力主平面上的正应力;过一点总有三个相互垂直的主平面。表示符号σ1

、σ2、σ3（σ1≥σ2≥σ3）。六、应力状态分类：4、简单应力状态：5、复杂应力状态：2、二向（平面）应力状态：1、单向应力状态：3、三向应力状态：可用平面图形表示应力状态。可用平面图形表示应力状态。只有一个主应力不为零。两个主应力不为零。三个主应力均不为零。单向应力状态。

二向和三向应力状态。

一、薄壁圆筒受内压作用（二向应力状态）薄壁圆筒：1、横截面应力：2、过轴线的纵向截面应力：只有均布正应力。只有均布正应力。由得：从而：3、筒壁点应力状态：为二向应力状态。每侧截面内力：分布外力合力：§7.2二向和三向应力状态实例二、三向应力状态实例滚珠轴承解：过圆心截面只有均布正应力。由得：应力状态：二向应力状态。一、分析的内容分析二向应力状态中与主应力为零的主平面相正交截面上的应力规律。

：由x轴逆时转到n轴的角度为正。§7.3二向应力状态分析----解析法二、斜截面应力（1）符号规定1、公式推导σx(σy)

：法线与x(y)轴平行截面上的正应力；拉为正，压为负。τxy(τyx)

：法线与x(y)轴平行截面上的与y(x)

轴平行的切应力；顺时正，逆时负。σα

：斜截面正应力；拉为正，压为负。τα

：斜截面切应力；顺时正，逆时负。（2）由平衡条件导出公式由得：由得：由：整理得：选取截离体：2、规律分析三、主平面和主应力由：得：1、主平面（2）特点：主平面相互垂直。（1）位置计算：

为的函数。2、主应力：（由：得：①主应力为各截面上正应力的极值。切应力为零的截面正应力取极值。）②两个主应力分别为最大值和最小值。（2）主应力值计算①由σx，

σy，

α0计算：（1）性质：②由σx，

σy计算：将代入式：得：σmax的截面位置确定：与切应力方向相同。方法一：方法二：当σx>

σy时，在与+90°中绝对值较小的方向上。四、切应力极值1、截面位置由：若

=1时则：可取相差90°的两个

1确定截面位置。（2）位置特点：（1）位置确定：由：得：2

0与21相差90°，即：

0与1相差45°。45°（2）最大切应力计算解：1)建立坐标系2)确定坐标面应力3)求主平面位置

0=19.33°或109.33°20=38.66°或218.66°4)求主应力：σ1=39MPaσ2=0σ3=-89MPa

5)在图上画出主平面位置及主应力。主应力：解：1)讨论表面点的应力状态：（1）取表面点的单元体：（2）求主应力及主平面：①建立坐标：②确定坐标面应力：③求主应力：σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ

④确定主平面位置：

0=-45°或-135°20=-90°或-270°得：（3）应力状态讨论：为二向应力状态。主应力方向与轴向成45°角。2)铸铁试件受扭破坏现象分析破坏现象：原因：最大拉应力达到了材料的拉应力强度极限。⑤在图上画出主平面位置及主应力。解：（1）建立坐标：（2）确定坐标面应力（3）求主平面位置

0=27.5°或117.5°20=55°或235°（4）求主应力：1）A点应力状态分析：σ1=26MPa，σ2=0，σ3=-96MPa

（5）在图上画出主平面位置及主应力。2）同一截面其他点的应力状态讨论：DECDEBC（2）特点：（1）应力状态分析方法同上。①上下点为单向应力状态，其他点为二向应力状态（中性轴上的点为纯切应力状态）。②主平面方向逐渐变化（中性轴处主平面方向与轴线夹角为45°）。③主应力：σ1≥0，σ2=0，σ3≤0

。五、主应力迹线的概念当受力构件内某平面上各点满足σ1≥0、σ2=0、σ3≤0

时，可作满足线上各点的切线为该点的主拉应力方向或主压应力方向的平面内曲线，这些曲线称为主应力迹线并分别称为主拉应力迹线或主压应力迹线。DECDEBC主压应力迹线主拉应力迹线钢筋1、主应力迹线2、主应力迹线特点切线方向为主应力方向。3、主应力迹线应用主拉应力迹线与主压应力迹线成正交。如钢筋配置等。一、应力圆的概念1、截面正应力与切应力间的关系2、应力圆：在，坐标系上，以C为圆心R为半径所作的圆周曲线称为应力圆又称莫尔圆。=-称为应力圆方程。§7.4二向应力状态分析----图解法3、应力圆的性质：应力圆上一点的坐标值为单元体上一截面的应力值。可表示该点的应力状态。二、图解应力圆（1）建立σ—τ直角坐标系，选定比例尺；（2）确定点D（σx，τxy）；（4）DD'

与σ轴交点为C点；（3）确定点D'（σy

，-τxy）；（5）以C点为圆心，CD为半径作圆。1、作图解应力圆方法：2、方法证明：3、应力圆与单元体的对应关系：D点—x

面（以x轴为外法线的面）D'点—

y

面（以y轴为外法线的面）点面对应，转向相同，转角2倍。E点—

n

面（以n轴为外法线的面）规律要点：三、图解法1、完全图解方法：（1）精确作应力圆。（2）量图线尺寸确定相应数值。2、图解计算法：（1）作应力圆草图。（2）由应力圆草图确定的几何关系确定相应数值计算式计算。解：（1）建立σ—τ直角坐标系，选定比例尺；（2）确定点D（80

，-60），D'（-40

，60）；（3）DD'

与σ轴交点为C点；（4）以C点为圆心，CD为半径，作圆。1）作应力圆2）求主应力3）求主平面位置4）在单元体上画出主平面位置及主应力。解：1）作应力圆草图：采用图解计算法2）由几合关系列式计算：F3）在单元体上画出主平面位置及主应力。§7.5三向应力状态一、任意斜截面上的应力计算1、已知三个主应力的应力状态（1）选取截离体①设：ABC的法线n的三个方向余弦为l，m，n。②设：ABC的面积为dA。OCA的面积=mdAOAB的面积=ndA③将斜截面应力分解为平行x，y，z轴的三个分量：px，py，pz。则：OBC的面积=ldA则：（一）解析法（2）列静力平衡方程：由得：由得：由得：（3）斜截面上总应力：（4）斜截面正应力

n和切应力

n：2、一般应力状态方法同上。p（二）图解法由：有：再变化为：1、截面应力

n，

n间的关系：①三式为三个圆周方程。②在

n，

n坐标上，三圆交于一点，坐标为截面应力值。2、关系式讨论3、图解计算①由已知l，m，n任意作两个应力圆。②量出交点坐标值确定截面应力值。二、规律分析1、截面应力取值范围由：及：得：截面应力值域为阴影部分。2、应力极值注意：为特定方向面的最大切应力。

习题7.19试求图示应力状态的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。解：1）由平面应力状态确定另两个主应力：2）确定主应力：3）确定最大切应力：§7.6应变状态的概念一、应变分量1、线应变：

x—x方向线应变，伸长为正。2、切应变：

xy—xy方向切应变，LMN增大为正。二、应变状态的定义一点沿各个方向应变的集合称为这一点的应变状态。三、平面应变状态平面应力状态下的点的应变状态称为平面应变状态。§7.7平面应变状态分析一、任意方向应变计算二、主应变及主应变方向1、主应变：线应变的极值称为主应变。主应变方向的切应变为零。2、主应变方向：三、应变圆：四、应变的实测：测三个方向的线应变确定该点的应变状态。§7.8广义胡克定律一、概念1、广义胡克定律的概念：复杂应力状态下的应力与应变的关系称为广义胡克定律。2、广义胡克定律建立方法：（1）单元体变形特点:②切应变只与切应力有关。变形看作是三组单向应力和三组纯剪切的组合，利用由试验建立的简单状态下的胡克定律叠加建立广义胡克定律。（2）建立方法：（3）简单状态下的胡克定律:①单向应力状态：②纯剪切状态：①线应变只与正应力有关；二、线应变及切应变胡克定律=++1、一般应力状态：

y

、

z同样，最后得：切应变：线应变：2、主应力状态：用

1，

2，

3分别表示

1，

2，

3方向的线应变称为主应变，则：3、公式讨论：只适用于各向同性的线弹性材料。三、体积胡克定律单元体变形前体积：单元体变形后各棱边长：单元体变形后体积：1、单元体体积应变：（又称体积应变）单元体体积应变：以下公式代入上式：得体积胡克定律：或：K,

m分别称为体积弹性模量和平均应力。3、公式讨论：体积应变只与三个主应力之和有关。2、体积胡克定律：解：1）柱体受力分析：上下表面均压py，侧面均压p。2）选取单元体：3）建立坐标确定应力:4）求p：径向线应变：习题7.6即：得：5）确定主应力：由广义胡克定律有：一、复杂应力状态的应变能密度线弹性变形时：可只研究主应力的情况。§7.9复杂应力状态的应变能密度或：二、体积改变能密度1、定义：因体积变化而储存的应变能密度称为体积改变能密度（vv）

。2、计算：由：得：三、畸变能密度1、定义：因形状改变而储存的应变能密度称为畸变能密度（vd）

。2、计算：例题7.10解：1）由切应力切应变表示的纯剪切应变能密度：2）由主应力表示的纯剪切应变能密度：3）由二式应相等得：σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ

§7.10强度理论概述一、强度分析的概念1、强度失效：强度不足引起的失效。2、强度失效的两种形式：（1）塑性屈服：发生明显塑性变形的失效。（2）脆性断裂：无明显塑性变形而突然断裂的失效。3、极限状态或失效状态：材料开始失效的状态。4、极限应力或失效应力：材料在极限状态或失效状态下的应力。5、失效准则或失效条件：材料进入极限状态的条件。6、强度条件：材料正常工作的条件。二、建立强度条件的基本方法1、完全试验法：由模拟试验确定极限应力，进而确定许用应力建立强度条件。例如：单向拉（压）、纯剪切的强度条件。不适合复杂应力状态。2、部分试验法：依据部分试验结果，利用理论假说建立复杂应力状态的强度条件。三、强度理论的概念1、定义：依据部分试验结果建立复杂应力状态强度条件的理论假说称为强度理论。2、局限性：一般一种强度理论只适用某些情况。§8.11四种常用的强度理论一、断裂失效理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）：（1）理论假说：认为最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。（2）材料最大拉应力的极限值确定：由材料单向拉伸试验测定：（3）断裂准则（断裂条件）：（4）强度条件：（5）适用情况：

1>0的脆性断裂。2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：（1）理论假说：认为最大伸长线应变是引起材料断裂的主要因素。（2）材料最大伸长线应变的极限值确定：由材料单向拉伸试验测定：（3）断裂准则（断裂条件）：（4）强度条件：（5）适用情况：脆性断裂。或：二、屈服失效理论1、最大切应力理论（第三强度理论）：（1）理论假说：认为最大切应力是引起材料屈服的主要因素。（2）材料最大切应力的极限值确定：由材料单向拉伸试验测定：（3）屈服准则（屈服条件）：（4）强度条件：（5）适用情况：屈服失效。或：2、畸变能密度理论（第四强度理论）：（1）理论假说：认为畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。（2）材料畸变能密度的极限值确定：由材料单向拉伸试验测定：（3）屈服准则（屈服条件）：（4）强度条件：（5）适用情况：屈服失效。或：三、强度理论比较1、当绝对值最大的主应力为拉应力时，第一强度理论与试验符合更好。2、第三强度理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象，较第四强度理论偏于安全。3、第四强度理论屈服准则与试验更吻合。平面应力状态下最大切应力准则的几何表示：平面应力状态下畸变能密度准则的几何表示：四、强度理论的统一表达式五、复杂应力状态强度计算方法步骤1、确定计算点主应力。2、判断失效形式：脆性材料发生脆性断裂失效；塑性材料发生塑性屈服失效。（1）一般应力状态：（2）三向均拉应力状态：均发生脆性断裂失效。（3）三向均压应力状态：均发生塑性屈服失效。3、选择强度理论：（1）脆性断裂失效：第一主应力为绝对值最大的拉应力时选最大拉应力强度理论。其他情况选最大伸长线应变理论。（2）塑性屈服失效：选用最大剪应力理论或畸变能密度理论。4、用强度条件计算：解：1）已求出表面点的主应力：σ1=150MPaσ2=75MPa,σ3=0

2）该点发