第一组力的功为课件

第十章能量方法§10-1概述§10-2杆件变形能的计算§10-3变形能的普遍表达式§10-4互等定理§10-5卡氏定理§10-6虚功原理§10-7单位载荷法莫尔积分§10-8计算莫尔积分的图乘法第十章能量方法§10-1概述1§10-1概述能量原理与功和能有关的定理，统称为能量原理。运用能量原理求解问题的方法称为能量法。功能原理外力的功等于变形能:§10-2杆件变形能的计算1轴向拉伸或压缩PlDl第十章能量方法§10-1概述能量原理与功和能有关的定理，统称为能21轴向拉伸或压缩轴力N是x的函数时应变能密度PlDl第十章能量方法1轴向拉伸或压缩轴力N是x的函数时应变能密度PlDl3应变能密度2纯剪切应变能密度3扭转第十章能量方法应变能密度2纯剪切应变能密度3扭转第十章能量方43扭转扭矩T是x的函数时4弯曲纯弯曲时第十章能量方法3扭转扭矩T是x的函数时4弯曲纯弯曲时第十章能54弯曲纯弯曲时转角纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。变形能第十章能量方法4弯曲纯弯曲时转角纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。6变形能横力弯曲时对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是x的函数。第十章能量方法变形能横力弯曲时对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变第75用广义力和广义位移表示变形能可将统一写为6非线性弹性材料的变形能第十章能量方法5用广义力和广义位移表示变形能可将统一写为6非线性弹8例1.已知:圆截面半圆曲杆，P，R,EI,GIp

。求：A点的垂直位移。解：1求内力截面mn,取左段TM2变形能第十章能量方法例1.已知:圆截面半圆曲杆，P，R,EI,GI91求内力截面mn,取左段2变形能TM第十章能量方法1求内力截面mn,取左段2变形能TM第十章能103外力的功由U=W，得:第十章能量方法3外力的功由U=W，得:第十章能量方法11例2.已知应变能密度公式。求：横力弯曲时的弯曲变形能和剪切变形能公式。解：应变能密度为y处应力第十章能量方法例2.已知应变能密度公式。求：横力弯曲时的解：应变能12解：应变能密度为y处应力

弯曲变形能第十章能量方法解：应变能密度为y处应力弯曲变形能第十章能量方法13与前面导出的弯曲变形能公式相同。I

弯曲变形能

剪切应变能密度第十章能量方法与前面导出的弯曲I弯曲变形能剪切应变能密度第十章能量方14

剪切变形能

剪切应变能密度记为

k第十章能量方法剪切变形能剪切应变能密度记为k第十章能量方法15记为

k其中的系数对矩形截面圆截面薄壁圆环第十章能量方法记为k其中的系数对矩形截面圆截面薄壁圆环第十章能量方法16例3已知:矩形截面简支梁。求：比较弯曲和剪切变形能的大小。解：由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。剪力方程弯矩方程弯曲变形能第十章能量方法例3已知:矩形截面简支梁。求：比较弯曲和剪切变17弯曲变形能剪切变形能两种变形能之比对矩形截面又：第十章能量方法弯曲变形能剪切变形能两种变形能之比对矩形截面又：第十18两种变形能之比对矩形截面又：取

=0.3，当h/l=1/5时:当h/l=1/10时:所以，对长梁，剪切变形能可忽略不计。第十章能量方法两种变形能之比对矩形截面又：取=0.3，当h/19§10-3变形能的普遍表达式1变形能的普遍表达式

比例加载比例系数

:

时广义力的大小为:

线弹性体无刚体位移广义力P1,

,Pn

力作用点沿力的方向的 广义位移

1,

,

n

第十章能量方法§10-3变形能的普遍表达式1变形能的普遍表达式比例20

时广义力的大小为:当

有d

时,位移的增量为:则功的增量为:力的总功为:第十章能量方法时广义力的大小为:当有d时,位移的增量为:则功21力的总功为:由功能原理，变形能为:

变形能的普遍表达式注意：

i

是P1,P2,

,Pn

共同作用下的位移。取一微段为研究对象2组合变形时的变形能第十章能量方法力的总功为:由功能原理，变形能为:变形能的普遍表达式注222组合变形时的变形能取一微段为研究对象由变形能的普遍表达式，有：积分可得杆的总变形能第十章能量方法2组合变形时的变形能取一微段为研究对象由变形能的普遍表达积23积分可得杆的总变形能注：1)上式中忽略了剪切变形能；2)若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip,应改为It；3)不同内力分量引起的变形能可以叠加，同一内力分量的变形能不能叠加。第十章能量方法积分可得杆的总变形能注：1)上式中忽略了剪切变形能；第十24§10-4互等定理1功的互等定理两种加载方式下的 变形能1)先加第一组，再加 第二组。

线弹性体上作用有 两组力。第一组为P1,

,Pm;第二组为Q1,

,Qn。第十章能量方法§10-4互等定理1功的互等定理两种加载方式下的1251)先加第一组，再加第二组加完第一组力时的功为:加完第二组力时，第二 组力的功为:加第二组力时，第一组力的功为:总的功为三项之和:第十章能量方法1)先加第一组，再加第二组加完第一组力时的功为:加完第26加第二组力时，第一组力的功为:总的功为三项之和:2)先加第二组，再加第一组第十章能量方法加第二组力时，第一组力的功为:总的功为三项之和:2)先272)先加第二组，再加第一组加完第二组力时的功为:加完第一组力时，第一组力的功为:加第一组力时，第二组力的功为:总的功为三项之和:第十章能量方法2)先加第二组，再加第一组加完第二组力时的功为:加完第28加第一组力时，第二组力的功为:总的功为三项之和:变形能与加载次序无关，所以:第十章能量方法加第一组力时，第二组力的功为:总的功为三项之和:变形29变形能与加载次序无关，所以:这就是功的互等定理，即:第十章能量方法变形能与加载次序无关，所以:这就是功的互等定理，即:第十30这就是功的互等定理，即:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。2位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d21,

21第十章能量方法这就是功的互等定理，即:第一组力在第二组力引起的位移上所作的312位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d21,

21

12而P2作用时，在P1作用点产生的沿P1作用线方向的位移为d12

,则由功的互等定理，有:当P1=P2时，则有第十章能量方法2位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记32P1P2

21

12则由功的互等定理，有:当P1=P2时，则有即:当P1=P2时，P1作用点沿P1方向由于P2的作用而引起的位移，等于P2作用点沿P2方向由于P1的作用而引起的位移。

位移互等定理说明：1)位移应理解为广义位移；2)功的互等定理和位移互等定理只对线弹性材料和结构成立。第十章能量方法P1P22112则由功的互等定理，有:当P1=P33例4.已知:静不定梁，P,

a,l

。求：用功的互等定理求B处反力。解：取静定基相当系统如图RB取第一组力:P,RB假想作用第二组力 为:X=1。设第一组力在X作用点B引起的位移为

B

。

B第十章能量方法例4.已知:静不定梁，P,求：用功的互等定理解：取静定34取第一组力:P,RB假想作用第二组力 为:X=1。设第一组力在X作 用点B引起的位移 为

B

。RB

B由变形协调条件：第二组力X在P,RB作用点引起的位移为

1,

2。第十章能量方法取第一组力:P,RB假想作用第二组力设第一组力在35RB

B可得:第一组力在第二组力引起的位移上的功为:第二组力在第一组力引起的位移上的功为:第十章能量方法RBB可得:第一组力在第二组力引起的位移上的功为:第二36第一组力在第二组力引起的位移上的功为:第二组力在第一组力引起的位移上的功为:由功的互等定理，二者应相等:第十章能量方法第一组力在第二组力引起的位移上的功为:第二组力在第一组力37§10-5卡氏定理1卡氏第一定理设di有一增量Ddi,其它各dj不变，则

Pi作的功为PiDdi

，其它各Pj不作功，则:两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。

卡氏第一定理第十章能量方法§10-5卡氏定理1卡氏第一定理设di有一增量Ddi382卡氏第二定理两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。

卡氏第一定理设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所作的功为DPiDdi/2，其它各Pi所作的功为PiDdi

。但由于di一般是未知的，使用不方便。第十章能量方法2卡氏第二定理两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性39忽略高阶微量DPiDdi/2，有:2卡氏第二定理设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所作的功为DPiDdi/2，其它各Pi所作的功为PiDdi

。为应用功的互等定理，取两组力第十章能量方法忽略高阶微量DPiDdi/2，有:2卡氏第二定理设Pi40忽略高阶微量DPiDdi/2，有:为应用功的互等定理，取两组力将P1,P2,……,Pn看作第一组力,DPi看作第二组力。第一组力在第二组由功的互等定理,有力DPi

作用点引起的位移为di，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2,……,Ddn。第十章能量方法忽略高阶微量DPiDdi/2，有:为应用功的互等定理，41将P1,P2,……,Pn看作第一组力,DPi

看作第二组力,第一组力在第二组由功的互等定理,有力DPi

作用点引起的位移为di，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2,……,Ddn。第十章能量方法将P1,P2,……,Pn由功的互等定理,有力DPi42由功的互等定理,有两边取极限，得:注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理，所以它只适用于线弹性材料及结构。

卡氏第二定理3几种常见情况横力弯曲第十章能量方法由功的互等定理,有两边取极限，得:注：推导卡氏第二定理时433几种常见情况横力弯曲横力弯曲的变形能代入卡氏第二定理交换求导和积分的次序，有桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为:第十章能量方法3几种常见情况横力弯曲横力弯曲的变形能代入卡氏第二定理交44代入卡氏第二定理桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为:扭转代入卡氏第二定理扭转变形能为:第十章能量方法代入卡氏第二定理桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为:扭45组合变形代入卡氏第二定理扭转变形能为:若Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则第十章能量方法组合变形代入卡氏第二定理扭转变形能为:若Pi力同时引起轴力46用卡氏定理解题的一般步骤1)求约束反力；2)分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程）；3)对广义力求偏导数；4)将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。第十章能量方法用卡氏定理解题的一般步骤1)求约束反力；第十章能量方47例1.已知:

EI,m,P,a,l。求：fC,

A。解：求反力AB段分段列弯矩方程RBRABC段第十章能量方法例1.已知:EI,m,P,a,l。求：fC48AB段分段列弯矩方程BC段RBRA求偏导数第十章能量方法AB段分段列弯矩方程BC段RBRA求偏导数第十章能量方49求偏导数由卡氏定理RBRA将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理第十章能量方法求偏导数由卡氏定理RBRA将弯矩方程和偏导数代入卡氏定50由卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理第十章能量方法由卡氏定理将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理第十章能量方法51将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理求

C第十章能量方法将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理求C第十章能量方法52求

CRBRA第十章能量方法求CRBRA第十章能量方法53

问题RBRA本例中求fC,

A。题中正好C点作用有P，A点作用有m。若没有P力作用或没有力偶m作用，则怎样求出

fC或

A？第十章能量方法问题RBRA本例中求fC,A。有力偶m作用，则怎54aa2aABCDm例2.已知:

EI为常数,m。求：

C及D点的水平位移

x，轴力及剪力不计。解：1为求

C

，加m2分段列弯矩方程并求对m2的偏导数m2求反力RAyRD将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理积分求出第十章能量方法aa2aABCDm例2.已知:EI为常数,m。55将弯矩方程和偏导数 代入卡氏定理积分求出实际上并无m2，所以令m2=0，得：通常在积分前即令m2=0，可使积分简单。aa2aABCDmm2RAyRD第十章能量方法将弯矩方程和偏导数积分求出实际上并无m2，所以通常在积分562为求

x

，加Paaa2aABCDmPaRAxRAyRD分段列弯矩方程并求 对Pa的偏导数求反力在弯矩方程和偏导数中，令Pa=0积分求出将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理第十章能量方法2为求x，加Paaa2aABCDmPaRAxRAy57§10-6虚功原理微小位移力在虚位移上所作的功。分为:弹性体的虚位移：满足约束条件和连续条件的 微小位移。小变形2虚功1虚位移外力的虚功;内力的虚功虚变形能3虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:第十章能量方法§10-6虚功原理微小位移力在虚位移上所作的功。分为:583虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:4外力虚功表达式广义力P1,

, Pn;

q(x)

力作用点沿力的

外力的虚功方向的广义虚位移第十章能量方法3虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:4外力虚功表59

外力的虚功5内力虚功表达式取微段考虑内力在刚体虚位移 上的虚功为零内力在虚变形上作 虚功不同内力的虚功可 以叠加微段上内力的虚功为第十章能量方法外力的虚功5内力虚功表达式取微段考虑内力在刚体虚位60不同内力的虚功可 以叠加积分可得物体上内力的总虚功为微段上内力的虚功为(忽略高阶微量后)第十章能量方法不同内力的虚功可积分可得物体上内力微段上内力的虚功为第十章61积分可得物体上内力的总虚功为6虚功方程将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得:虚功原理可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料。第十章能量方法积分可得物体上内力的总虚功为6虚功方程将外力的虚功和内力的62例已知:

P,1号杆长

l,,三杆材料均为相同的线弹性材料，截面积相同，E，A已知。求：三杆的内力。解：设平衡时，A点的真实位移为v。各杆的伸长由胡克定律n第十章能量方法例已知:P,1号杆长l,,求：三杆的内力。解：63由胡克定律nv设A点有一虚位移外力虚功内力虚功因为杆中轴力为常量第十章能量方法由胡克定律nv设A点有一虚位移外力虚功内力虚功因64n内力虚功因为杆中轴力为常量v而第十章能量方法n内力虚功因为杆中轴力为常量v而第十章能量方法65代入虚功方程代入轴力表达式第十章能量方法代入虚功方程代入轴力表达式第十章能量方法66§10-7单位载荷法莫尔积分为求出结构上某一点沿某方向的位移△，1单位载荷法取结构在外载荷作用下产生加一单位载荷。的真实位移作为虚位移，第十章能量方法§10-7单位载荷法莫尔积分为求出结构上某1单位67取结构在外载荷作用下产生的真实位移作为虚位移，由虚位移原理为单位载荷引起的内力;其中，为外载荷引起的真实位移.几种简化形式以弯曲为主的杆拉压杆轴力为常量时第十章能量方法取结构在外载荷作用下产生的真实位移作为虚位移，由虚位移原理68几种简化形式以弯曲为主的杆拉压杆轴力为常量时

n根杆(桁架)扭转

注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;第十章能量方法几种简化形式以弯曲为主的杆拉压杆轴力为常量时n根杆69扭转

注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;2)若求出的△为正，则表示△与单位力的方向相同。3)单位力和位移均为广义的。2莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为第十章能量方法扭转注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;2)若求702莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为则:第十章能量方法2莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为则:第十章71则:这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。第十章能量方法则:这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。第十章能量方72这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。或:式中：加一杠的内力是单位力引起的内力；未加杠的内力是原外力引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于线弹性结构。第十章能量方法这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。或:式中：加一杠的73求相对位移加一对方向相反的单位力。第十章能量方法求相对位移加一对方向相反的单位力。第十章能量方法74例3已知:

P,l,

,截面积A,求：B点垂直位移。解：单位载荷法可求解材料非线性问题。对杆系求杆的伸长应力应变关系为其中，C为常数，s,e

皆取绝对值。N1N2取B点，受力如图第十章能量方法例3已知:P,l,,截面积A,求：B点垂直位75对杆系求杆的伸长N1N2由平衡方程应力取B点，受力如图(压力)(压应力)第十章能量方法对杆系求杆的伸长N1N2由平衡方程应力取B点，受力76应力应变杆的伸长第十章能量方法应力应变杆的伸长第十章能量方法77杆的伸长单位载荷引起的轴力取B点，受力如图由平衡方程第十章能量方法杆的伸长单位载荷引起的轴力取B点，受力如图由平衡方程78例4已知:

P,l,a,E,I1,I2,

不计轴力和剪力的影响。求：A点垂直位移

y及B截面的转角

B

。解：1实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力laCEI2BAEI1x1x2P

BC段2求

y

CBAx1x21第十章能量方法例4已知:P,l,a,E,I1,I2,791实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力

BC段2求

y

CBAx1x21单位载荷的弯矩AB段BC段代入莫尔积分公式第十章能量方法1实际载荷的弯矩AB段在A点加y方向单位力BC段280代入莫尔积分公式

AB段

BC段第十章能量方法代入莫尔积分公式AB段BC段第十章能量方法81在B点加单位力偶矩2求

B

CBAx1x21单位载荷的弯矩AB段BC段代入莫尔积分公式第十章能量方法在B点加单位力偶矩2求BCBAx1x21单位载荷82代入莫尔积分公式

AB段

BC段CBAx1x21这里的负号表示转向为顺时针的。第十章能量方法代入莫尔积分公式AB段BC段CBAx1x21这里的负83§10-8计算莫尔积分的图乘法杆件为等截面直杆。图乘法的条件：莫尔积分对等截面直杆，EI,GIp或EA为常量。所以需要计算积分成为用图乘法计算莫尔积分第十章能量方法§10-8计算莫尔积分的图乘法杆件为等截面直杆。图乘84所以需要计算积分用图乘法计算莫尔积分通常是x的线性函数设直线与x轴的夹角为

则有：上述积分可表示为：M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。第十章能量方法所以需要计算积分用图乘法计算莫尔积分通常是x的线性函数85M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。记M(x)弯矩图的面积为

。根据静矩的计算公式，有:第十章能量方法M(x)弯矩图的面积对y轴记M(x)弯矩图的面积为。根据静86式中，为图中与图的形心位置C所对应处的纵坐标。莫尔积分的图乘公式为第十章能量方法式中，为图中与图的形心位置C所对应处的纵坐标。莫尔积分的图87莫尔积分的图乘公式为此式对轴力和扭矩也适用即：莫尔积分的计算，可用载荷的弯矩图的面积与该图形形心位置所对应之处的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替。几种常用图形的面积和形心位置第十章能量方法莫尔积分的图乘公式为此式对轴力和扭矩也适用即：莫尔积分的88几种常用图形的面积和形心位置顶点顶点顶点第十章能量方法几种常用图形的面积和形心位置顶点顶点顶点第十章能量方法