2021年高考数学全真模拟试卷-新高考专用-原卷+答案解析

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(新高考专用)

第一模拟

注意事项：

本试卷满分15。分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用。.5毫米黑色签字笔将自己的

姓名、班

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.(2020・山东高三其他模拟)已知集合4=卜|2'>1},B={X|X2+5X-6<0}，则4口8=()

A.(-1,0)B.(0,6)C.(0,1)D.(-6,1)

22

2.(2020•山东高三其他模拟)已知双曲线C：---乙=1,则〃〉机>0是双曲线C的离心率大于J2的

mn

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

笆汕工的部分图象大致为()

3.(2020•山东高三三模)函数

)3'+1

BW屋

A

一卜-1

i

cXrfV

—i,

4.（2020•山东）已知a>10,若log“A+log/,a=2,a"=b",则£=（）

2b

A.42B.2c.242D.4

5.（2020•山东高三其他模拟）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文

“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为

现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数）'和天

数/的函数关系为：）'=2川，且该种病毒细胞的个数超过IO'时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进

行的天数为（）天（lg2=0.3010）

A.25B.26C.27D.28

6.（2020•全国高三月考（文））已知AABC中，点M是线段上靠近B的三等分点，N是线段AC的

中点，则BN=（）

1-.一

A.-~AM+~MNB.-AM+MN

23

1——一■

C.-~\M+2MND.-AM+2MN

23

7.（2020•全国高三专题练习）已知点A,B,C在半径为2的球面上，满足AB=AC=1,BC=/，若S

是球面上任意一点,则三棱锥S-ABC体积的最大值为（）

A3+2币B3+2用c2+33口3+用

-12'-6~'12'12

8.（2020•广东广州•高三月考）已知抛物线C:>2=2Px（P>0）的焦点为F,准线为1，过P的直线交抛

2

物线于A,3两点，作AM,BNA.I，垂足分别为M,N，若帆刊=4,=半，则|4同=

（）

10“=16

33

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选

错的得。分）

9.（2020•海口市第四中学高二期中）下面关于/（力=25m[2%-]¥述中正确的是（）

A.关于点后,。]对称

B.关于直线》=总寸称

「兀]

C.在区间上单调递增

TT

D.函数“X）的零点为黄版（ZeZ）

10.（2020•河北正中实验中学高二月考）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内

没有发生大规模群体感染的标志为"连续1（）天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，4、B、G

D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）

A.4地：中位数为2,极差为5

B.8地：总体平均数为2,众数为2

C.C地：总体平均数为I,总体方差大于0

D.。地：总体平均数为2，总体方差为3

3

11（2020•德州市第一中学高二月考）对于二项式［S+/J+'I（"GN*），以下判断正确的有（）

A.存在〃eN*,展开式中有常数项

B.对任意〃eN*,展开式中没有常数项

C.对任意〃€N：展开式中没有x的一次项

D.存在〃GN,,展开式中有X的一次项

12.（2020•福建莆田一中高三期中）设函数〃力=相-/（”>1）的定义域为（0,+8）,已知/（X）有且只有

一个零点，下列结论正确的有（）

A.a=eB./（x）在区间（l,e）单调递增

c.尤=1是/（x）的极大值点D./（e）是/（x）的最小值

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2020•山东潍坊市•高一期中）已知偶函数/（X）在［0,+8）上单调递增，且1是它的一个零点，则不等

式/（8-2）<0的解集为.

14.（2020•河南高二月考（理））在AABC中，角A、B、C的对边分别为4、b、。，若A=］,a=用,

b1E,

，贝！J8=______・

c3

15.（2020•江西景德镇一中高二期中）已知双曲线C:》=13〉0">0）的左、右焦点分别为片，F2,

设过用的直线/与c的右支相交于A,8两点，且|A6卜恒工|,忸入|=2恒用|,则双曲线0的离心率是

16.（2020•山东高二期末）在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体

底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与

正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为;大球半径R的

4

最小值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（2020・山东师范大学附中高三学业考试）在①2S"+1=S“+1,②,③S“=1-2a*这三个条件

4

中选择两个补充在下面问题中并给出解答.已知数列｛七｝的前〃项和为S“满足,

又知正项等差数列｛4｝满足仇=2,且仇，仇-1,仇成等比数列.

（1）求｛%｝和他｝的通项公式；

（2）若。,=。也，求数列匕｝的前“项和7；.

18.（2020•山东省淄博实验中学高三月考）已知向量而=（瓜呜,1）,«=^cosj,cos2,函数

/（%）=应.万一；.

（1）若求/（X）的取值范围；

（2）在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若/（8）=1,。=5,。=5用，求"8C的

面积.

19.（2020•山东宁阳县一中高二期中）如图，在四棱锥「一48。。中，平面「8，平面488，且APCD

是边长为2的等边三角形，四边形ABC。是矩形，BC=2比，M为BC的中点.

5

(1)证明：AM_LPM；

(2)求二面角P-AM-D的大小；

(3)求点。到平面相仞的距离.

20.(2020•山东师范大学附中高三学业考试)冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用

在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯

发热膜.从石墨分离石墨熔的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现有A材

料、8材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.

.i疆破功勿试验失败

4材料3材料合计

成功

不成功

6

(1)由上面等高条形图，填写2x2列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③

2

表面封装层.每个环节生产合格的概率均为g,且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的

固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000

元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨熔发热膜获利可达1万元以上的目标？

n(ad-bc\

附：参考公式：，其中〃=a+8+c+d.

(a+/?)(c+++J)

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

22

21.(2020•五莲县教学研究室高二期中)已知抛物线C：尸=2px(p〉0)的焦点F与椭圆匚+=1的

43

右焦点重合，点M是抛物线。的准线上任意一点，直线MA,分别与抛物线。相切于点A,B.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设直线MA,MB的斜率分别为匕，k2,证明：仆化为定值；

(3)求怀用的最小值.

22.(2020山东高三期中)设函数/(x)=/一(a+2)x+alnx,g(x)=2alnx-4x+b，其中“>(),

7

heR.

(1)讨论函数，(x)的单调性；

(2)若。>2且方程/(x)=g(x)在(1,+8)，上有两个不相等的实数根无।,马,求证—巧&>0.

8

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(新高考专用)

第一模拟

注意事项：

本试卷满分15。分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用。.5毫米黑色签字笔将自己的

姓名、班

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.(2020・山东高三其他模拟)已知集合4=卜|2'>1},B={X|X2+5X-6<0}，则4口8=()

A.(-1,0)B.(0,6)C.(0,1)D.(-6,1)

【答案】C

【详解】

A={x|2,>1}=卜|2，>2。}={.山>0},

8={x|/+5x-6<0}={x|(x+6)(x-l)<0}={x|-6<x<1},「.4口3=(。/).

故选：C.

2.(2020•山东高三其他模拟)已知双曲线。£一上=1,则〃〉机〉0是双曲线C的离心率大于J2的

mn

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

9

解：因为双曲线C:----=1,若〃>机>0，则a2="7；b~=nic2=a24-/?2=777+n,所以

mn

e=£=乒>鹤=历故充分性成立；

aImIm

若〃<机<0,^a2=-n,b2=-m,c2=fl2+^2=-（m+n），所以e=£=JH^I〉及=历,

aI-nIn

故必要性不成立；

故〃>〃?>o是双曲线c的离心率大于历的充分不必要条件，

故选：A

11

3.（2020•山东高三三模）函数=I：->1'的部分图象大致为（）

【答案】B

【详解】

10

'->-2（3,—1）如《

因为=—JG）,

3~x+l3'+l

所以〃x）是奇函数，故排除A,C;

3i-1inLf|1i/iV

因为J⑵,且32—1>0,32+1>0,叫<0,

⑵3；+1

所以/，

故选：B

5

4.（2020•山东）已知a>b>0,若log.O+log"Cl———f,则）

2

A.J2B.2C.20D.4

【答案】B

【详解】

对出=匕"两边取以”为底的对数得k）g”，=log〃//,即。=alog/，同理有a="log〃a,

代入1。8“/2+1（唱〃。=2中得2+£=2，因为a>b>0,所以f〉l,令r=fj〉l,

2ab2bb

则r+L：，整理可得2/一5，+2=0，解得/=2或”!（舍去）所以：=2,

t22b

故选：B

5.（2020•山东高三其他模拟）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文

“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为

现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数.V和天

数，的函数关系为：y=2"1,且该种病毒细胞的个数超过IO'时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进

11

行的天数为（）天（1g2。0.3010）

A.25B.26C.27D.28

【答案】C

【详解】

取y=2'T=1()8,故f-1=地21。8=81og210,即r=81og210+l=8[；2)+l=27.6,

故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.

故选：C-

6.（2020•全国高三月考（文））已知AABC中，点M是线段上靠近B的三等分点，N是线段AC的

中点，则BN=（）

A.[AM+~MN1——.——

B.AM+MN

23

1——.——1——一■

C.AM+2MND.AM+2MN

23

【答案】C

【详解】

不妨设△ABC为等腰直角三角形，其中ZBAC=90。，以线段所在直线为无轴，线段8C的垂直平分

线AO为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系；

12

设AC=3历，故5（-3,0）,N

故3N=（羽,,A（0,3）,

故AM=（-1,一3）,MNI，1，

设BN=xAM+yMN,

95

-=-x+—y

22'

则

33

-=-3x+-y

2T

1

x——

解得2,

J=2

—•1————

故BN=—AM+2MN.

2

故选：C

7.（2020•全国高三专题练习）已知点A,B,C在半径为2的球面上，满足AB=AC=1,BC=43，若S

是球面上任意一点，则三棱推S-ABC体积的最大值为（）

A3+2用B3+23c2+33口3+3

12'-6~-12-12

【答案】A

【详解】

设△ABC外接圆圆心为0',三棱锥ABC外接球的球心为。，AB=AC=],

设。为BC中点，连AD,如图，

13

则ADJ.BC,且O'在AD上,AD=JAB2-（—）2=-,

122

设△ABC外接圆半径为r,

产=（与y+（A。_,）2=：+（：_r）2解得,=]

242

。。1=W—产=用

要使S-ABC体积的最大,需S到平面ABC距离最大，

即S为0'0的延长线与球面的交点，最大值为J3+2,

所以三棱锥S-ABC体积的最大值为lx（^+2）S,wc=；x（历+2）xgx框=更.

故选：A

8.（2020•广东广州•高三月考）已知抛物线C：V=2内（p〉0）的焦点为F,准线为/,过口的直线交抛

物线于A,8两点，作AM_L/,BNU，垂足分别为M,N，若根F|=4,|诉|=手，则|人同=

（）

1016

A.—B.4C.5D.—

33

【答案】D

14

【详解】

解：如图所示,

由题意知：/：X=—5,呜,

设A（X|，X）,B（w，%）,直线AB:x=my+^,

则«々必），N卜与乃,,

02=2px

由＜P1

x=my+—

得：y2-2pmy-p2=0,

弘+%=2p〃?，y%=~P2，

v|AfF|2=p2+yf=16,|N/「=p2+£=与，

:.p4=（16-p2）^y-/?2,

解得：P=2,

15

设抛物线准线/交X轴于K,

2IJT

贝!||KF|=p=2，在RSMFK中，可得COS/M尸K=W=,,ZMFK=

△AMF是等边二角形，

43

，'+%=亍

\AB\=xl+x2+p=m（必+y2）+2p=y.

故选：D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共2()分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选

错的得。分)

9.(2020•海口市第四中学高二期中)下面关于〃力=25山［2.］赞述中正确的是()

A.关于点对称

B.关于直线X=3寸称

兀］

c.在区间上单调递增

7T

D.函数/(x)的零点为黄质(&eZ)

6

【答案】AC

【详解】

对于选项A：,选项A正确；

16

对于选项B:/（；）25新9、4340，不是最值，选项B错误；

对于选项C:由2也一兀KZx-%wZE+'oE-71<x<kR+玩（女eZ）,

23212'12，

则/（x）的单调递增区间为-；+仇"宓桁（止Z）,

0,?」显然是一看,"]的子集，则选项C正确.

又

对于选项D:由2sin[2x—?J=0得2%一看桃左€2,所以》=兀-1亨Z,则选项D错误.

故选：AC.

10.（2020•河北正中实验中学高二月考）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内

没有发生大规模群体感染的标志为"连续1（）天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去1（）日，4B、G

D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）

A.A地：中位数为2,极差为5

B.8地：总体平均数为2,众数为2

C.C地：总体平均数为1，总体方差大于0

D.。地：总体平均数为2，总体方差为3

【答案】AD

【详解】

对A,因为甲地中位数为2,极差为5.故最大值不会大于2+5=7.故A正确.

对B,若乙地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似

病例不超过7人，故B错误-

17

对C,若丙地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9.则满足总体平均数为1,总体方差大于0,但不满足每天

新增疑似病例不超过7人，故C错误.

对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于x(8-2)2=3.6>3.与题设矛盾，故连续

10天，每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.

故选：AD

11(202(h德州市第一中学高二月考)对于二项式［五+1)(〃eN*)，以下判断正确的有()

A.存在〃€N*,展开式中有常数项

B.对任意〃6N*,展开式中没有常数项

C.对任意〃eN：展开式中没有工的一次项

D.存在〃eN,展开式中有x的一次项

【答案】AD

【详解】

解：对于二项式(五+：)的展开式的通项公式为刀|=c〉3-x号，〃=0,1,2,，

而卜丁

的通项公式为九=。,"一一"，攵=0，1，2,.

c|n-3r

对于二项式+-+x3〃GN"),展开式的通项为c:3

X

〃一3厂3〃

未知数的次数为——+4k-n^--r--+4k

222

3〃«-3r

当一］「5+4^=0时，即3r+〃=8"当厂=1M=1,〃=5是其中一组解，由于cyl］丁.厂・工软-〃

的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0,故A正确，B错误，

18

3n

当—r---I~4Z=1时,即3r+〃+2=8Z，当r=0,k=\,n=6是其中一组解，由于

22

n-3r

C；3“丁-。：”“-"的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为°，展开式中

有一次项，故D正确，C错误，

故选：AD.

12.（2020•福建莆田一中高三期中）设函数/（x）=优-x"（。>1）的定义域为（0,田），已知/（X）有且只有

一个零点，下列结论正确的有（）

A.a=eB./（x）在区间（l,e）单调递增

C.x=l是“X）的极大值点D./（e）是“X）的最小值

【答案】ACD

【详解】

/（X）只有一个零点,即方程优-个=0在（0,+8）上只有一个根,ax=xa,取对数得Xlnn=alnx,即

Inx=也只有一个正根

xa

设力（X）=止，则//（回=上雪，当0<x<e时，力'5）>0，力（x）递增，x-»0时，依x）f—8,x>e

XX

时，h\x)<0,h(x)递减，此时力(x)>0,

心）0»=〃。=！.

e

二要使方程叱=皿只有一个正根.则则•=1或业•<（），解得a=e或"0，又,」.a=e.A

xaaea

正确；

f(x)=ex-xe,f\x)=e-exe~',

f(x)=ex-exe-'=O,尸=婷，取对数得％-l=(e-l)lnx,

19

易知X=1和X=e是此方程的解.

设p(x)=(e-l)lnx-x+1,p'(x)=6匚1,当0<x<e-l时，p'(x)>0,p(x)递增，x>e-\时，

X

p'(x)<0,p(x)递减，p(e-l)是极大值,

又MD=P(e)=。，

所以p(x)有且只有两个零点，

e1x

0cx<1或x>e时,p(x)<0，即(e-l)lnxcx-l,<e'-',ex-<e,f'M>0，同理\<x<e

时，八九)<0,

所以/⑶在(0,1)和(e,+8)上递增，在(l,e)上递减，所以极小值为/(e)=0,极大值为了⑴,

又/(0)=1,所以/(e)是最小值.B错，CD正确.

故选：ACD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(2020•山东潍坊市•高一期中)已知偶函数/(X)在［0,+8)上单调递增，且1是它的一个零点，则不等

式/(X-2)<0的解集为.

【答案】仲<x<3}

【详解】

因为1是函数/(x)的一个零点，所以/(1)=。,

因为函数/(x)是偶函数，所以〃%一2)=/(卜—2|),

20

所以由/(%-2)<0，可得/(x_2)</(l),

又因为函数/(x)在［0,+8)上单调递增，

所以有x-2<l,解得l<x<3.

故答案为：｛x|l<x<3)

14.(2020•河南高二月考(理))在“BC中，角A、B、C的对边分别为“、方、。，若A*历,

b1c,,

-=-，贝昉=_____•

c3

【答案】I

【详解】

由2=,，则c=38

c3

根据余弦定理可得

a2-b2+c2-2bccosA,

即7=^+9/—3方2=7/,

解得分=1或力=-1(舍去)

故答案为：1

15.(2020•江西景德镇一中高二期中)已知双曲线C:》*3>0">0)的左、右焦点分别为耳，1,

设过E的直线/与C的右支相交于A,8两点，且同卜山斗，忸图二2|Aq，则双曲线C的离心率是

【答案】|

【详解】

21

如图：设AF2的中点为M,连接,BF一

因为,耳卜|耳周=2c,M为Ag的中点，所以£M_LAg,

由|A耳卜|4叫=2a，得|Ag|=2c-2a,

所以|MM|=g|AE|=c—a,

\MF\-a

在△MFE中，cosN8gK=M2=wc-,

忸周=2|A闾=4c-4a,所以忸K|=2a+忸％|=4c—2a,

忸用2+忸周2_忸6『_4c2+]6(c_q)2_4(2c_a)2

在中,cosNBFE=

2x|£Fj怛居|-2x2cx4(c-a)

4c2+12a2-16ac

16c(c-a)

因为NBKK+/M居6=兀，cosABF2F}+COSZMF2Fl=0,

c-a4/+12/-16砒

所以工+0

16c(c-a)

整理可得：16/一16ac+l2c2=0，即5/-8ac+3c?=0,

22

所以5a2-8ac+3c2=0，即（5"-3c）（a-c）=0,

所以5a=3c或a=c（舍），

5

所以离心率e=£c=|,

a3

故答案为：I

16.（2020•山东高二期末）在棱长为6的正方体空盒内,有四个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体

底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与

正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为；大球半径R的

最小值为.

【答案】彳3?15

28

【详解】

当四个半径为一的小球相切时，小球的半径最大，大球的半径最小，

如图所示：

四个小球的球心和大球的球心'构成一个正四棱锥P-ABCD,

3

所以4广6,解得/■=；；,

2

23

PA=R+3,AB=2r=3,OA=2^,OP=6-R-r=^—R

其中222

在放APAO中，PA2=OA2+OP2,

即,+/［半］+《-小

解得R=^,

o

315

故答案为：（1）彳；（2）工.

Zo

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（2020•山东师范大学附中高三学业考试）在①2S“+|=S“+1,②4=!，③S“=1一2。"这三个条件

4

中选择两个补充在下面问题中，并给出解答.已知数列｛a.｝的前"项和为S,满足,

又知正项等差数列｛4｝满足仇=2,且々，仇-1,仇成等比数列.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）若c“=anbn,求数列｛c.｝的前〃项和Tn.

【答案】（1）答案见解析；（2），=5-券^

【详解】

（1）选择①②：

当“22时，由2S“+|=S.+1得2sLs.Ji,

即乐…

两式相减，得2%讨=an

24

由①得2s2=，+1,即2（%+4）=%+1,

,C,111

「.q=1-2々Ml-2=2，将4=2,

二幺=；，二｛%｝为4=：，公比为、的等比数列，

%，22

选择②③：

当〃22时，由③S“=l-2a,…得S,i=l-2a.，

两式相减，得4=2。“-2。,用，」.展=；（〃？2）,

an,

又5=1—2/,得4=；,

.谭=；••｛%｝为4=；,公比为女的等比数列,

选择①③，由于2s，用=S.+1和S„=l-24M等价，故不能选择；

设等差数列｛%的公差为d,d>0,

且々，仇-1,4成等比数列.

她=色-1）2，即2（2+21）=（1+4）:,

解得d=3,d=-\（舍去），.•也=2+（〃-1）3=3〃-1.

3n-l3x1-13〃一1

（2）%=ab+•+

nn2"22〃

25

3x1-13x2-13n-43/t-l

2+、+…++

223T2/,+,

17=1+3+..+3_3〃！5_3_3〃-1

2"222〃2M+,2T2,川

Tu5+3〃

1=3—

"2〃

X2X

18.(2020•山东省淄博实验中学高三月考)已知向量m=，n=cos—,cos"—,函数

/(%)=比•亢

(-求/(x)的取值范围；

(1)若xe

(2)在“BC中，角A,8,C的对边分别是“，b,c,若“8)=1,。=5,。=5用，求△ABC的

面积.

【答案】(1)(-1,・⑶竽

【详解】

(1)向量而=(用sin］』),不=(coscos2学,

x24历.1八\

..///•/?=>|3sin—cos—+cos—=——sinx+—(1+cosx)•

22222

质.万-1=21isinx+Lcosx

由此可得函数/(尤)==sin(x+*),

222

/7CTC.7CJU7C

又•.・X€(-—；-4,得x+—G~)•

3oo63

•.sin(x+£)e(-；，苧，即f(X)的取值范围是(-1,

jrTT

(2)v/(x)=sin(x+—),:.f(B)=sin(B+—)=1,

66

26

n兀/兀7兀、n兀兀-TAB兀

乂・・・B+e(,),/.B4--=—,可得3=一.

666623

a=5,b=5A(3,

-.71

ab•D5xsin—

・•・根据正弦定理—-7=~p，可得sinA=6fsinn3L

sinAsinBb1。-5比2

兀

由QV/7得Av3,所以A=—,

6

7T

因此。=兀—（A+B）=二可得AABC是以C为直角顶点的直角三角形，

2

.'.^ABC的面积S=—ab=—x5x5J3=之，’.

222

19.（2020•山东宁阳县一中高二期中）如图，在四棱锥P-ABCD+,PCD1ABCD，且APCZ）

是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC=2近，M为BC的中点.

（1）证明：AMJ.PM；

（2）求二面角P-AM-D的大小；

（3）求点。到平面APM的距离.

17

【答案】（1）证明见解析；（2）45。；（3）会9吧.

3

【详解】

27

(1)取CO的中点E，连接PE、EM、EA.

•;APCD为正三角形，；.PE工CD，

•••平面PC。，平面ABC。，.-.PE，平面ABC。

AM±PE

•••四边形ABC。是矩形

NADE、AECM、AABM均为直角三角形

由勾股定理可求得：EM=肥,AM=厮，AE=3

:.EM2+AM2=AE2

AM1EM

又PEp|EM=EAM1平面PEM

：.AM1PM

(2)由(1)可知EM1AM,PM1AM

.•.NPME是二面角P—AM-。的平面角

PE

/.tanZ.PME==~^==1

EMJ3

28

，ZPME=45°

・•・二面角尸一AM-。为45。

(3)设。点到平面PAM的距离为d,连接则

^P-ADM-^D-PAM»••—S&ADM，PE=gS.pAMd

而反曲=9℃0=20，

在R^PEM中，由勾股定理可求得PW=J4

••^^PAM=A.M-PM=3,所以：；x2>15xJ5=；x3xd

.・.7

3

即点D到平面PAM的距离为2比.

3

20.(2020・山东师范大学附中高三学业考试)冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用

在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯

发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现有4材

料、8材料供选择，研究人员对附着在A、8材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.

29

石墨烯再结晶试验

A材料试验结果B材料加佥结果

■泌创发功物试检划攵

4材料8材料合计

成功

不成功

给十

(1)由上面等高条形图，填写2x2列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨熔发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③

2

表面封装层.每个环节生产合格的概率均为g,且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的

固定成本为I万元，若生产不合格还需进行修复，且生产I吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000

元.如何定价，才能实现每