2021年河南省焦作市高考数学第三次大联考试卷（文科）

2021年河南省焦作市高考数学第三次大联考试卷（文科）

（3月份）

一、单选题（本大题共22小题，共100.0分）

1.已知全集〃={-1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},8={-1,0,1},贝1」((：［/4)08=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

2.已知{aQ为无穷等比数列，且公比0<q<l,记S”为{an}的前〃项和，则下面结论

正确的是（）

A.B.X>0

C.{即}是递减数列D.Sn存在最小值

3.已知抛物线C：y2=©的焦点为凡过点尸的直线/交C于两点，且|4B|=8,

则线段4B中点的横坐标为（）

A.1B.2C.3D.4

4.设xeR,贝ij"％2—5方+6<0”是—的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是直

角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）

6.在平面直角坐标系xO），中，直线/的方程为y=k（x+l）+3,以点（1,1）为圆心且

与直线/相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（）

A.2B.2V2C.4D.8

7.已知定义在/?上的基函数/（%）=%机51为实数）过点4（2,8）,iEa=/（log053）,b=

/(log25),c=f(m),则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bc<a<bD.c<b<a

8.设。为△ABC所在平面内一点，BC=2CD1则（）

A.AD=--AB+-ACB.而=--AB+-AC

3322

C.AD=l~AB+^AC

D.AD=-2AB--2AC

9.已知函数=+则不等式f(x)~2X>0的解集是()

I-%2+2%+l,x0,

A.(—1,0)U(0,1)B.(—1,1)C.(0,1)D.(-1,+<»)

10.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：驾驶员的100,泣血液中酒精含量

为［0,20）mg,不构成饮酒驾车行为（不违法），达到［20,80）mg的即为酒后驾车，80,咫

及以上为醉酒驾车,某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

1.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%,要想不构成酒

驾行为，那么他至少经过（）（参考数据：0.84=0.41,0.86=0.26,0.88=

0.17,0.810=0.11）

A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时

11.已知集合4={1,。2},B={-1,0,1},若AUB=B,则A中元素的和为（）

A.0B.1C.2D.-1

12.已知。为实数，复数2=缶-2）+山。为虚数单位），复数z的共规复数为若z

为纯虚数，WlJl-z=（）

A.l-2iB.l+2tC.2+iD.2-i

13.给出一组样本数据：1,4,m,3,它们出现的频率分别为0.1,0.1,0.4,0.4,且

样本数据的平均值为2.5,从1,4,〃?，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概

率为（）

1211

A.之B.-C.-D.z

14.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是

第2页，共34页

15.已知锐角a,口满足血。=咨sin(a—0)=—|,则si印的值为()

A.MB.在C.越D.匹

552525

16.已知方=(0,—2),b=(-1,1)>c=(x,y),若五+B—1=6，则|方+2口|=()

A.2V2B.V7C.2D.45

17.已知已是曲线C：x+J2y—y2=o上的点,。是直线x—y-1=0上的一点，则

|PQ|的最小值为()

A.迥B.V2-1C.交—1D.返

222

na

18.已知函数f(x)=log3x,给出三个条件：①/(即)=2；②/(an)=n；@/(n)=

从中选出一个能使数列｛aj成等比数列的条件，在这个条件下，数列｛an｝的前〃项

和S"=()

A.3n-1B.2n+1-1C.|(3"

19.已知函数/■(%)=log4(x+k)的图象如图所示，则

2八2)+2力2)=()

A.2V3

B.2

c-v

D1

20.已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&、F2,B是椭圆C的上

顶点，直线久=：c与直线BFz交于点人若乙4&尸2=?，则椭圆C的离心率为()

A-?B-TC-TDT

21.如图，已知四棱锥S-ABC。的底面是边长为6的菱

形，4340=60。，AC,8。相交于点O,SOI平

ffiABCD,S0=4,E是BC的中点，动点尸在该

棱锥表面上运动，并且总保持PE171C,则动点P

的轨迹的长为()

A.3

B.7

C.13

D.8

22.已知曲线G：/(x)=xe*在x=。处的切线与曲线C2：g(x)=丹〜(aeR)在尤=1处

的切线平行，令/i(x)=/(x)g(x),则h(x)在(0,+8)上()

A.有唯一零点B.有两个零点C.没有零点D.不确定

二、单空题(本大题共9小题，共45.()分)

23.若复数z=(1-2i)(a+i)(i为虚数单位)是纯虚数，则a=.

24.已知双曲线条一，=l(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,遍)，则双曲线的离心率

为.

25.在二项式(a+x)7的展开式中，系数为有理数的项的个数是.

26.已知△4BC的面积为2VI，AB=2,4口=泉则鬻=.

27.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电

线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事

实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光

学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为/(%)=aex+

be-(其中“，匕是非零常数，无理数e=2.71828...),对于函数/(x)以下结论正确

的是.

①如果a=b,那么函数/(x)为奇函数；

②如果ab<0,那么/(x)为单调函数；

③如果ab>0,那么函数f(x)没有零点；

④如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为2.

28.执行如图所示的程序框图，若输入〃的值为3,则输出，•的值为.

(结束榆出i/n=n+l

n=—n

9

29.已知数列｛即｝是等差数列，%>-1>a2<2,a3>0,则z=3%-的最大值是

第4页，共34页

30.已知数列｛册｝的前〃项和为Sn,%=1,且对任意的nWN*,都有

a2n=log2^+an_

,n+2，则561-----------

«2n+i=一a*4-log2—

31.已知函数f(x)=*3+]g(x+V^TT),若|a-1|-[f(2a-3)+/(2)]>0,则实数

〃的取值范围是.

三、解答题(本大题共13小题，共167.0分)

32.己知函数/(%)=2y/3sinxcosx—2asin2x+a(a>0),再从条件①，条件②中选择

一个作为已知，求：

(I的值;

(口)将f(x)的图象向右平移看个单位得到g(x)的图象，求函数g。)的单调增区间.

条件①：/(%)的最大值为2；

条件②：6)=-1

33.如图，四棱柱4BCC-&B1GD1的底面A8CD是边长

为2的正方形，侧面ACD14为矩形，且侧面4D54_L

底面ABCD,441=4,E,M,N分别是BC,BB〔,ArD

的中点.

(I)求证：MN〃平面GCE；

(II)求二面角。一GE-%的余弦值.

B

34.2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年

02月04日〜2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第

一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上

项目.如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）

北京赛区延庆赛区张家口赛区

自当

2022速短花高

由日

年开闭冰冰陵道样山有舵钢架无舵跳台北欧越野单板冬季

式决

2月幕式壶球滑速滑滑雪橇3个雪橇滑守两项滑雪滑雪两项

滑赛

冰滑冰雪

雪数

5(六)**11*11*116

6(H)**1*1111117

说明：。”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.

（I）（团）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

（助若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

（II）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分

布列及期望E（X）.

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35.已知函数/(%)=—Inx+2x—2.

(I)求曲线y=/(x)的斜率等于1的切线方程；

(n)求函数/(%)的极值；

(皿)设g(x)=/f(%)-2/。)，判断函数g(x)的零点个数，并说明理由.

36.已知椭圆C：=19>b>0)经过点P(1号,离心率e=容

(I)求椭圆C的标准方程；

(n)设AB是经过椭圆右焦点F的一条弦(不经过点P且A在8的上方)，直线AB

与直线x=2相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为七，k2,k3,将的、k2.

心如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论.

37.若无穷数列｛即｝满足：EN*,对于Vn2兀。(沏6N*),都有放；=q(其中q

u

为常数)，则称5｝具有性质Q(m,n0,qy.

(I)若｛an｝具有性质”Q(3,2,2)"，且。2=。4=2,a6+a7+aQ=18,求的；

(n)若无穷数列｛&｝是等差数列，无穷数列｛”｝是公比为:的等比数列，b3=c3=4,

瓦+q=C2，an=bn+cn,判断｛册｝是否具有性质<2(2,1,2)”，并说明理由;

(HI)设5｝既具有性质“Q(i,l，q1)"，又具有性质"Q0/，q2)"，其中i，/6N*,

j—i

i<j，求证：｛即｝具有性质“QO—iN+Lq])”，

38.一年一度的剁手狂欢节-“双H~一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双H^一,

淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝、京东、天猫等各大电商平台从10月20号就开

始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27

号一周内，每天销售预定服装的件数》（百件）与获得的纯利润y（单位：百元）之间的

一组数据关系如表：

X3456789

)'66697381899091

（1）若>与x具有线性相关关系，判断），与x是正相关还是负相关;

（2）试求y与x的线性回归方程；

（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天

销售服装的件数x（百件）与获得的纯利润y（单位：百元）之间的关系仍然服从（1）中

的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周

的平均利润相差多少百元？（有关计算精确到小数点后两位）

参考公式与数据，="+"=哙f铲,a=亍-后几项%=3487.

，乙兀Ix），

39.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且直线x=4为函数=

y/3sin2x+Zsin?%图象的--条对称轴.

⑴求4

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(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.

40.如图，在三棱锥S-4BC中，已知ASAC是正三角形，G为△SAC的重心，D,E分

别为SC,AB的中点，尸在AB上，且=

(1)求证：DE〃平面SGF；

(2)若平面SAC_L平面ACB,AC=BC=2,乙4cB=120。，求三棱锥S-ABC的体

积.

41.已知椭圆C：W+、=l(a>b>0)的左右焦点分别为6,尸2，过尸2的直线/与椭

圆交于A，B两点，P为椭圆的下顶点，AOPF2为等腰三角形，当，lx轴时，AOAB

的面积为也.

2

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)若直线/不与坐标轴垂直，线段AB的中垂线［'与y轴交于点M,若直线FiM的斜

率为右求直线/的方程.

42.己知函数/(%)=e”,5(x)=%2+ax—x4-1.

(1)当a=2时，令函数〃幻二年宗，若不等式％。)在区间［0,2］上有解，求实

数m的取值范围；

(2)令9(x)=(x-l)/(x)-ag(x)+④-a)x+a,当a>g时，若函数s(x)的极

小值为-2a,求a的值.

43.在平面直角坐标系xOy中，直线/过定点P(3,0),倾斜角为a(0<a<］),曲线C

fx=t+-

的参数方程为｛t；(t为参数)；以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，建立

(y=2-^

极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)已知直线/交曲线C于M,N两点，且|PM|•|PN|=三，求/的参数方程.

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44.已知函数/(x)=x2—a\x—1|-1,aER.

(1)当Q=2时，解不等式/(%)+/(2)>0；

(2)对任意的x6[|,+8),/■。)2叫+1|恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：；U={-1,0,1,2,3},A={0,1,2},B=[-1,0,1),

•••CM={-L3},(QA)UB={-1,0,1,3).

故选：D.

进行补集、并集的运算即可.

本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析1解：例如数列{an}以-2为首项，以视为公比的等比数列，

a2=—1，a3=A,C,。显然错误；

的•g=。叁q>0一定成立，B正确；

故选：B.

利用反例：数列{an}以-2为首项，以3为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：如图，抛物线y2=4x的焦点为FQ0),准线为

x=-1,即x+1=0.

分别过A,8作准线的垂线，垂足为C,D,

则有网=\AF\+\BF\=\AC\+\BD\=8.

过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N,

则MN为直角梯形ABDC中位线，

则|MN|=/MC|+|BC|)=4,所以M的横坐标为：3.

故选：C.

根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为

直角梯形ABQC中位线，由抛物线的定义分析可得答案.

本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，

是中档题.

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4.【答案】A

【解析】解：由--5x+6<0,解得2cx<3；

由|x-2|<l,化为：-1<乂-2<1,解得：l<x<3.

由2<x<3=l<x<3,反之不成立.

•••“/-5x+6<0”是“|x-2|<1"的充分而不必要条件，

故选：A.

利用不等式的解法分别化简“/一5方+6<0”是“卜一2|<1"，进而判断出关系.

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

5.【答案】A

【解析】解：由三视图还原原几何体如图,

该几何体为四棱锥，底面A8C。为直角梯形，AD//BC,ABVAD,

PAJL底面ABCD,且PA=AD=2,AB=BC=1,

则该几何体的体积为V=ixi(l+2)xlx2=1.

故选：4.

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCQ为直角梯形,40〃BC,4B14D,

PA，底面ABCD,且P力=AD=2,AB=BC=1,再由棱锥体积公式求解.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

6.【答案】B

【解析】解：直线y=fc(x+1)+3过定点P(-1,3),

已知点的坐标为

则以点M(L1)为圆心且与直线/相切的所有圆中，

半径最大的圆的半径为r=\PM\=V(-l-l)2+(3-l)2=2V2.

故选：B.

由直线方程求得直线所过定点坐标，再由两点间的距离公式得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，正确理解题意是关键，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：将4(2,8)代入f(x),得：2m=8,解得：m=3,

故/'(x)=炉，/'(x)=3x2>0,f(x)在R单调递增，

而10go.§3<0,2<log25<3,m=3,

故a<b<c,故选：A.

求出函数f(x)的解析式，根据函数的单调性求出a,b,c的大小关系即可.

本题考查了塞函数的定义，考查函数的单调性问题，考查函数值的大小比较,是基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意可知，。为AABC所在平面内的一点，八,

如图所示，/

则有四+瓦^①，/\\

前+方=亦②，

因为反=2而，代入①中可得存+2方=前③，

由(2)(^)可得，AD=--AB+—AC.

故选：B.

根据向量的加法法则进行求解转化即可.

本题考查了平面向量加法法则的基本运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于

基础题.

9.【答案】A

【解析】解:分别画出函数y=f(x)与3/=2丫中'一二

的图象，如图所示，//\

由图象可得不等式人口-2工>0的解集是>\

(TO)u(0,1)f/”\

故选：4-Ji------7i1工

第14页，共34页

分别画出函数y=f(x)与y=2丫的图象，由图象可得答案.

本题考查了分段函数以及函数图象的画法，考查了不等式的解集，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：设酒后经过x小时后就不构成酒驾，

•••160x(1-20%)z<20,

0.8x<0.125,

•••x>10,

故选：D.

利用题中的条件，列出血液中酒精含量与酒后时间的关系式，再利用指数不等式，即可

解出.

本题考查了函数的实际应用，指数不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：•.•集合A={La?},F={-1,0,1],A(JB=B,

.1•a2=0,解得a=0,

二月={1,0}.

••.A中元素的和为1.

故选：B.

由集合4={1,。2},B={-1,0,1),AUB=B,解得a=0,求出集合A,由此能求出

A中元素的和.

本题考查集合中元素的和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

12.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了复数的定义的理解和应用，主要考查了纯虚数和共轨复数的定义，

属于基础题.利用纯虚数的定义求出。的值，从而得到z,然后利用共筑复数的定义求

解即可.

【解答】解：因为复数z=(a-2)+ai为纯虚数，

所以a=2,贝ijz=2i,

故1-W=1+21.

故选：B.

13.【答案】C

【解析】解：由题意得，样本平均值为1x0.1+4x0.1+mxO.4+3xO.4=2.5,

故m=2,这组样本数据为1,4,2,3,从中任取两个(1,4),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),

(2,3)共6种情况，

其中和为5的有(1,4),(2,3)两种情况，

所求概率P=j=i

Oo

故选：C.

由题意先求出然后求出所以可能取值的情况，再找出和为5的情况，结合古典概率

公式可求.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

14.【答案】C

【解析】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体.

其中“0”在最里面，“高”在最外面.构成对面关系.

故选：C.

直接把正方体的展开面图复原为空间图，进一步求出结果.

本题考查的知识要点：展开图和复原图的关系，主要考查空间想象能力，属于基础题型.

15.【答案】A

【解析】解：锐角a,/?满足cosa=等,sin(a—.)=可得sina=V1—cos2a=7；

cos(a-p)=yjl-sin2(a-p)=

sin(i=sin[a—(a—/?)]=sinacos(a—/?)—cosasin^a—)3)=^x|+|x等=

故选：A.

第16页，共34页

求出角的正弦函数，利用两角和与差的三角函数化简求解即可.

本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.

16.【答案】D

【解析】,-'a+b—c=O'

.■.-^=a+b=(0,-2)+(-1,1)=(-1,-1).

•i-6+2c=(—1,1)+2(—1,-1)=(-3,-1)>

*'•\b+2c\=V10•

故选：D.

根据条件可求出=(—1,一1),然后即可得出9+2不的坐标，进而可得出13+231的值.

本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的求法，考查了计

算能力，属于基础题.

17.【答案】D

［解析］解：x+y/2y—y2=0得，/+(y—l)2=1.

•••曲线C是圆心为C(0,l),半径r=l的左半圆，

•••曲线C上的点(0,0)到直线x-y-l=0的距离d=争即为|PQ|的最小值，

故选：D.

由尤4-J2y-y2=。得，x2+(y-l)2=l(x<0),继而可得曲线C上的点(0,0)到直线

x-y—l=0的为|PQ|的最小值，从而得到答案.

本题考查圆的方程，考查分析能力与数学运算能力，得到曲线C是圆心为C(0,l),半径

r=l的左半圆是关键，是易错题，属于中档题，

18.【答案】D

【解析】解：选①时，/(an)=2"；

则/。93厮=2",所以an=32",不为等比数列;

选②时，/(an)=n；

K!Hog3an=n,整理得an=3”,为等比数列；

选③时，/(")：；，

故整理得知=3之，不为等比数列.

故只有②符合，

所以斯=3n,

3X0-3”)_3X(3"-1)

故选：D.

直接利用已知条件和选项判断出只有②符合等比数列，进一步求出通项公式，再求出

数列的和的公式.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和公式的应用，主要考

查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

19.【答案】C

【解析】解：,函数f(x)=log4(x+k)的图象过(0,0),

•，•+k)=0nk=l,

•••f(x)=log4(x+1),

•••f(2)=log43=|log23=log2V3,

2"2)+2寸⑵=2^926+2°3-'3=+3=延，

33

故选：C.

先根据过点(0,0)求出k,再结合对数以及指数的运算性质即可求解结论.

本题考查函数值的求法，以及指数和对数函数性质的应用，是基础题.

20.【答案】A

【解析】解:由题意知,B(0,b),F2(C,0),

所以直线BF?的方程为:+/=1,

+/_］，解得％=卜，y=|b,即4(1,|6),

设直线％与x轴交于点则|FM=：c,\MA\=lb

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因为乙4&尸2=%所以|FM=|AM|,即1c=|b,所以b=2c,

所以苏—c2=b2=4c2,即Q=V5c»

所以离心率e=£=在.

a5

故选：A.

由直线的截距式写出直线BF2的方程，将其与久=：c联立，解得A的坐标，设直线x=：c

与x轴交于点M,由|FM=\MA\,可推出b=2c,再结合a2-c2-炉和e=得解.

本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法,考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

21.【答案】D

【解析】解：取OC、SC的中点G、F,连接GE,FE,

•••E是BC的中点，GE//DB,FE//SB,

又GE、FEu平面FEG,GEnFE=E,.•.平面FEG〃平

面SBD,

•：SO_L平面ABCD,ACu平面ABCD,:.SO1AC,

又四边形ABC。是菱形，・•.DB_LAC,

•••SOnOB=。，二4C_L平面SB。，则4。_1_平面或七,

故只要动点P在平面FEG内,即总保持PE1AC,

又动点尸在棱锥表面上运动，，动点P的轨迹的长即为AFEG的周长,

,••四边形ABCD为菱形，边长为6,S.Z.BAD=60°,BD=6,

则。8=OD=3,又SO=4,SB=SD=5,

故FE=FG=S,GE=3,

2

・•.△FEG的周长为8.

故选：D.

根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG,其中G、尸为中点，根据中位线定理求出EF、

GE、GF,从而求出轨迹的周长.

本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力,

计算推理能力，属于中档题.

22.【答案】A

【解析】解:/(x)=的导数为/'(%)=(%+l)ex,

可得/(%)在％=0处的切线的斜率为1,

9(乃=等的导数为。，(乃=当也，

可得g(x)在x=1处的切线的斜率为a,

由两条切线平行，可得a=l,

则九(x)=f(x)g(x)=xex1等=exlnx,

由/i(x)=0,可得x=l,

故选：A.

分别求得/(x)，g(x)的导数，可得它们在x=0处和x=1处的切线斜率，由两直线平行

的条件可得。，进而得到九(乃，令/i(x)=0,可得零点个数.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线平行的条件和函数的零点的求法，考

查方程思想和运算能力，属于基础题.

23.【答案】一2

【解析】解：因为z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数，

所以a+2=0且1―2a*0,

解得a=-2.

故答案为：一2.

先利用复数的乘法运算化简z,然后由纯虚数的定义求解即可.

本题考查了复数的运算，以及复数的基本概念的运用，考查了化简运算能力，属于基础

题.

24.【答案】巨

2

【解析】解：双曲线捺一《=1(。>02>0)的渐近线方程为'=±如,

由一条渐近线过点(2,遮)，可得"争

则eW=Rf=”1于

故答案为：与

求得双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率，再由离心率公式，计算可得所求

值.

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题.

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25.【答案】4

【解析】解：二项式(或+x)7的展开式的通项公式为C/(夜)7-上”，

当7-/c为偶数时，此时系数为有理数，

则k=7,k=5,k=3,k=1,

故系数为有理数的项的个数是4个，

故答案为:4.

写出通项公式，根据7-k为偶数求出火的值，再求出系数为有理数的项的个数.

本题考查了二项式定理的展开式，考查了运算求解能力，属于基础题.

26.【答案】V3

【解析】解：因为△ABC的面积为2遮=\AB-BC-

sinB,AB=2,

所以2b=1x2xBCx^,可得BC=4,

所以由余弦定理可得AC=\/AB2+BC2-2AB-BC-cosB=

J22+42-2X2X4X|=273,

所以也£="=2=遍.

sinCAB2

故答案为：V3.

由已知利用三角形的面积公式可求5c的值，进而根据余弦定理可求4c的值，根据正

弦定理即可求解华的值.

sinC

本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考

查了计算能力和转化思想，属于基础题.

27.【答案】②③

【解析】解:当a=b时/(x)=aex+be~x=a(ex+e~x),函数f(x)定义为R且f(-x)=

a0+e-x)=/Q),.•.函数f(x)为偶函数.二①错误；

,:y=e*是增函数且y>0,y=e-x是减函数且y>0..♦.当a>0、b<0时函数/(x)为增

函数，当a<0、b>0时函数/(x)为减函数，.♦.②正确；

ab>0,■­.a、b同正或同负，又「e*>0且e-*>0,:/(x)一定不为零，二函数/'(x)没

有零点；.••③正确；

当a=b=-1时，/(x)=—(ex+e-z)<—2Vex-e-x=-2,有最大值一2,二④错误；

故答案为：②③.

①根据奇偶性定义可得f(x)为偶函数；

②由指数函数单调性对此题进行分析可知f(x)为单调函数；

③由1>0,er>0可知/(%)没有零点;

④当a<0且b<0时/(x)有最大值.

本题考查函数的奇偶性、单调性、函数零点、函数最值、基本不等式、分类讨论思想、

运算及推理能力，属于中档题.

28.【答案】4

【解析】解：执行如图所示的程序框图，若输入〃的值为3,

当n=3时，〃是奇数，n=3+l=4,i-2；

当n=4时，〃不是奇数，n=1=2,i-3；

当？i=2时，〃不是奇数，n=|=1,i—4；

满足退出循环的条件，则输出i的值为4.

故答案为:4.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟

程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

29.【答案】16

【解析】解：由题意

色>-1

得]a[+d<2,

(ch+2d>0

设x=y=d,

x>—1

则x+yW2,对应

,x+2y>0

的可行域如图所示的

三角形及内部，

由z=3al—a5=

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2al-4d=2x-4yf

当z=2%-4y过4(4,一2)时，z取得最大值16.

故答案为：16.

%之一1(X>—1

由题意得卜i+dW2,x="y=d,则卜+y<2,然后结合线性规划可求.

本题主要考查了等差数列的通项公式，还考查了线性规划的知识，属于基础题.

30.【答案】5

Q2n=1°。2----F。九

71+1

n+2，

Ia2n+l=~an+1。92—

所以Q2n+^2n+l=1。92号+log2.=/。。2詈，

则$61=&+(“2+。3)+(a4+。5)---(。60+。61)=1+1。。21+1。§2g-----H

1092H=1+/052(1•I-H)=1+4=5.

故答案为：5.

直接利用数列的递推关系式和叠乘法和对数的运算的应用求出结果.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，裂项相消法，叠乘法，数列的求和，对数的

运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

31.【答案】C，l)u(l,+8)

【解析】解：：fQ)的定义域为R,且/(—X)=——+恒(，乂2+1—X)=—炉—lg(x+

V%2+1)——/(%)»

••./(X)是R上的奇函数，

又/(%)在[0,+8)上是增函数，

•••f(x)是R上的增函数，

l

由|a-1|•[/(2a-3)+/(2)]>0得，5a_3)>

二居,，解得a>；,且aRI,

a的取值范围是G，1)U(1,+8).

故答案为：C，l)U(l,+8).

可得出/(x)是R上的奇函数，并且得出/(x)是R上的增函数，从而根据原不等式可得出

:干？，然后解出〃的范围即可.

12a—3>-2

本题考查了奇函数的定义，增函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，考查了

计算能力，属于中档题.

32.【答案】解：(I)选择①：因为/(%)=巡sin2x+Q•cos2x，

所以/(X)=V3+a2sin(2%+(p),其中tern。=而，

所以万中=2,又因为a>0,

所以Q=1.

选择②：/(1)=2A/3xlxO+a—ax2xl=-a=-1,

所以a=1.

(①1即3=2不写不扣分，②每个值计算正确各给一分)

(II)因为/(%)=y[3sin2x+cos2x=2sin(2x4-£).

所以9(%)=2s讥[2(%-£)+勺=2sin(2x->

ooo

则2k7r-Jw2x-Jw2/OT+mk&Z,

262

整理得k兀-7<x<kn+k6Z,

o3

所以函数g(x)的单调增区间为出兀一也"+"keZ).

【解析】(I)选①②时，直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一

步求出a的值；

(II)利用函数的图象的平移变换和整体思想的应用求出函数的单调区间.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象

的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

33.【答案】(I)证明：连结/(7,ME,因为M,E分别为

BC的中点，

所以ME〃81C,且ME=：BiC,

又因为N为&D的中点，所以N0=：4i。，

由题设知4BJ/OC且&Bi=DC,可得当。〃41。且

B[C=A1D,

故ME〃N。且ME=ND,因此四边形为平行四边形,

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所以MN//ED,

又MNC平面C】DE,EDu平面gOE,

所以MN〃平面C]DE；

(口)因为底面ABC。是正方形，所以CD_L力D,

又因为侧面4DD14-L底面ABCO,且侧面ADD14n底面4BCD=AD,CDu平面ABCD,

所以CO_L平面4。5人,又。5u平面40。1人,

所以COJ.DO1，又因为侧面40D14为矩形，所以4D1DD],

以点。为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，

其中。(0,0,0),Cx(0,2,4),E(l,2,0),C(0,2,0),

所以西=(0,2,4)，DE=(1,2,0)，

因为CO1•平面40CM1，所以。C_L平面BCGBi，

故方=(0,2,0)为平面GE/的一个法向量，

设记=(x,y,z)为平面DGE面的法向量，

贝喈慧｝即酷建A

令y=—2、可得记=(4,一2,1),

所以cos<DC,n>=二:=—~7==一以巴

因为二面角力-DE-当的平面角是钝角，

所以二面角A-DE-Bi的余弦值一等.

【解析】(I)连结BiC,ME,利用中位线定理可证明四边形MN£>E为平行四边形，从

而得到MN〃ED,由线面平行的判定定理证明即可；

(H)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求

出平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.

本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间

角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题

进行研究，属于中档题.

34.【答案】解：(1)(。记"在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为

事件儿

由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有10x10=100种不同方法，

其中恰好看到冰壶冰球，共有2种不同方法.

所以，恰好看到冰壶和冰球的概率P(A)=京=a•

(苴)记''在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件艮

由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6x7=42种不同方法，

其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有4x4=16.

所以P(B)=箸=/

(口)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

根据题意，P(X=1)=,=9

「7<55

_八_储G+储或+屐或+C羽_1+6+12+4_23

=，)=屏=—35—=35?

P(Y=2、=*或&=—

随机变量X的分布列是:

X123

4238

P

353535

数学期望E(X)=1x2+2x11+3x4=]

【解析】(I)(i)记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件A,

利用古典概型能求出恰好看到冰壶和冰球的概率.

(ii)记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B,利用

古典概型能求出两场决赛恰好在同一赛区的概率.

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出随机变

量X的分布列和数学期望.

本题考查概率、离散型随机事件的分布列、数学期望的运算，考查古典概型、排列组合

等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题.

35.【答案】解：(1)设切点为(与必)，：/'。)=一；+2，

・••一5+2=1,x0=1,y0=-Ini+2—2=0,

・•.切线方程为y—0=1x(%—1),即y=%—1；

(n)/(x)的定义域为(o,+8).

令,(%)=0,即一［+2=0,%=|,

令/'(%)>0,得x>令/'(%)<0,得0<%V5

故/。)在(0e)上单调递减，在G，+8)上单调递增，

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•••/(x)存在极小值/(，)=ln2+