2021年河北省承德市中考数学一模试卷（ 含解析）

2021年河北省承德市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16个小题，L10题，每题3分，11-16题，每题2分，共42分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列方程中，一元二次方程是（)

2

A.x+-i-B.ax^+bx

2

x

C.（x-1）（x+2）=1D.3A2-2xy-5/=0

2.（3分）一元二次方程4/-4x+l=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

3.（3分）已知甲、乙两地相距s（h〃），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间f

（/?）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）

4.（3分）下列各点中，在函数y=一且图象上的是（）

X

A.（-2,-4）B.（2,3）C.（-1,6）D.(-A,3)

2

5.（3分）若双曲线y上1位于第二、四象限，则％的取值范围是)

x

A.k<lB.C.k>lD.Ml

6.（3分）抛物线y=（x+5）2-1的顶点坐标是（）

A.（5,-1）B.（-5,1）C.（5,1）D.(-5,-1)

7.（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线），=3/先向右平移1个单位，再向上平移2个单

位，得到的抛物线的解析式是（）

A.y=3（x+1）2+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(X-1)2+2D.y=3(x-1)2-2

8.（3分）如图，。0的直径为10,弦AB的长为6,P为弦A5上的动点，则线段OP长的

取值范围是（)

A.3WOPW5B.4VopV5C.4WOPW5D.3VOPV5

9.（3分）如图，四边形A8C。是。。的内接四边形，ZA=60°,则NOCE的度数是（

120°C.90°D.无法确定

10.（3分）如图,在。。中，点A、B、C在O。上，且NAC8=110°,则Na=()

B.110°C.120°D.140°

11.（2分）如图,四边形ABCQ内接于AB=CD,A为BD中点，ZBDC=60°,则N

AD3等于（)

50°C.60°D.70°

12.（2分）如图，。。的半径为2,。是函数y=7的图象，C2是函数y=-7的图象，则

阴影部分的面积是（)

C.4nD.都不对

13.（2分）反比例函数），=@（机ro）的图象如图所示，以下结论：①常数巾<-1；②在

X

每个象限内，y随x的增大而增大；③若4（-1,h）,B（2,k）在图象上，则/zV%

④若P（x,y）在图象上，则P'（-X,-y）也在图象上，其中正确的是（）

C.③④D.①④

14.（2分）如图，已知双曲线y=K（k<0）经过直角三角形OA3斜边OA的中点D,且

X

与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为（-6,4）,则△AOC的面积为（)

A.12C.6D.4

15.（2分）如图是二次函数y=/+〃x+c的部分图象，yVO时自变量x的取值范围是（）

C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5

16.（2分）关于二次函数y=af-6x+〃+27,下列说法错误的是（）

4

A.若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4,5）,则-5

B.当x=12时，y有最小值a-9

C.x=2对应的函数值比最小值大7

D.当“V0时，图象与x轴有两个不同的交点

二、填空题（本大题共4个小题：17、18每小题3分，19、20每空2分，共14分把正确

答案填在横线上）

17.（3分）己知x=1是关于x的方程7+〃优+〃=0的一个根，则〃?+〃的值是.

18.（3分）抛物线丫=/+次+。经过点A（0,3）,B（2,3）,抛物线的对称轴为.

19.（4分）如图，在平面直角坐标系xO.y中，已知A（8,0）,C（0,6）,矩形0ABe的对

角线交于点P,点M在经过点尸的函数），=区&>0）的图象上运动，上的值为，

X

OM长的最小值为.

20.（4分）如图已知4,22,23,…4是x轴上的点,且041=A142=A2A3=43A4=3=

An.iAn=\,分别过点4,A2,A3,…4作x轴的垂线交二次函数产12（%>0）的图

2

象于点Pl,P2,P3,…P”,若记△OA1P1的面积为Si,过点Pi作P1B|_LA2P2于点Bi,

记△P1BIP2的面积为S2,过点P2作P2B2LA3P3于点B2,记282P3的面积为S3,…依

次进行下去，则53=,最后记1小（">1）的面积为S",则Sn=.

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

21.（8分）解方程:

(1)?-2x-15=0；

(2)4x(2x+l)=3(2x+l).

22.（6分）如图所示，点A（A,3）在双曲线），=区上，点8在双曲线y=3上，且A8〃x

3xx

轴，C,。在x轴上，若四边形A8CO为矩形，求它的面积.

23.（8分）已知二次函数的解析式是丫=/*2-3*得.

（1）用配方法将尸氏2&+|•化成y=。（…）2+%的形式，并写出该二次函数的对

称轴和顶点坐标；

（2）二次函数y=/x2-3x+1•的图象与x轴相交吗？说明理由；若相交，求出交点坐

标.

24.（8分）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定

时，矩形的面积与边长函数关系式的图象.请将他们的探究过程补充完整.

（1）列函数表达式：若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y=；

（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是；

（3）列表：

X・・0.511.522.533.5…

y・・・1.7533.7543.753m•••

写出m=；

（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该

函数的图象.

25.(8分)如图，4、B两点的坐标分别为(-2,0),(0,3),将线段AB绕点B逆时针

旋转90°得到线段BC,过点C作CCOB,垂足为。反比例函数y=K的图象经过点

X

C.

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；

(2)点P在反比例函数y=K的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标.

26.(8分)如图，△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，B。的延长交边AC于点

D.

(1)求证：ZBAC=2ZABD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求/BCD的大小.

27.(8分)如图，在△ABC中，AC=BC,。是AB上一点，00经过点4、C、D,交BC

于点E,过点。作。/〃BC,交OO于点F.

求证：(1)四边形QBCF是平行四边形；

(2)AF=EF.

28.（10分）甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一

年内可卖完.现市场上流行8品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内

只允许经销商一次性订购8品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压.因甲经销商无流

动资金，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售.经与乙

经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的

函数关系式为y=-^■x+360（1004x41200＞若甲经销商转让x套A品牌服装，—

年内所获总利润为卬（元）.

（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Qi（元）与x（套）之间的函数关系式；

（2）求8品牌服装的销售款。2（元）与x（套）之间的函数关系式；

（3）求卬（元）与x（套）之间的函数关系式，并求卬的最大值.

2021年河北省承德市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，L10题，每题3分，11-16题，每题2分，共42分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列方程中，一元二次方程是（）

A./+-1-B.ax^+hx

2

x

C.（x-1）G+2）=1D.3-5y2=0

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答

案.

【解答】解：

4、不是整式方程，故错误；方程二次项系数可能为0,故错误

B、不是方程；

C、符合一元二次方程的定义，正确；

。、方程含有两个未知数，故错误.

故选：C.

2.（3分）一元二次方程4/-4x+1=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【分析】根据根的判别式即可求出答案.

【解答】解：△=16-4X1X4=0,

故选：A.

3.（3分）已知甲、乙两地相距s（h"）,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间/

（/?）与行驶速度vCkm/h）的函数关系图象大致是（）

rhfh

【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围

即可进行判断.

【解答】解：根据题意有：v,t—s^

故V与f之间的函数图象为反比例函数，

且根据实际意义丫>0、1>0，

其图象在第一象限.

故选：C.

4.(3分)下列各点中，在函数y=一巨图象上的是()

X

A.(-2,-4)B.(2,3)C.(-1,6)D.(-A,3)

2

【分析】根据反比例函数中k=孙的特点对各选项进行分析即可.

【解答】解：A,V(-2)X(-4)=8#-6,...此点不在反比例函数的图象上，故本

选项错误；

B、：2X3=6W-6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C>V(-1)X6=-6,.•.此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

D.V(-1)X3=-与W-6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.

22

故选：C.

5.(3分)若双曲线y上L位于第二、四象限，则％的取值范围是()

X

A.&V1B.C.k>lD.g

【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出4-1V0,然后解这个不等

式就可以求出k的取值范围.

【解答】解：•••双曲线y±l位于第二、四象限,

X

：.k-1<0,

故选：A.

6.(3分)抛物线y=(x+5)2-1的顶点坐标是()

A.(5,-1)B.(-5,1)C.(5,1)D.(-5,-1)

【分析】根据二次函数的顶点求解即可.

【解答】解：抛物线y=（x+5）2-1的顶点坐标是（-5,-1）,

故选：D.

7.（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3f先向右平移1个单位，再向上平移2个单

位，得到的抛物线的解析式是（）

A.y=3（x+1）2+2B.y=3（x+1）2-2

C.y=3（x-1）2+2D.y=3（x-1）2-2

【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3/的对称轴为直线x=0,顶点坐标为（0,

0）,则抛物线y=3/向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为

直线x=l,顶点坐标为（1,2）,然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.

【解答】解：•••抛物线y=3/的对称轴为直线x=0,顶点坐标为（0,0）,

抛物线y=3?向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线

x=\,顶点坐标为（1,2）,

平移后抛物线的解析式为），=3（x-1），2.

故选：C.

8.（3分）如图，。。的直径为10,弦A8的长为6,P为弦A8上的动点，则线段。户长的

取值范围是（)

A.3WOPW5B.4<OP<5C.4<。昨5D.3<OP<5

【分析】连接过点。作于H,根据垂径定理求出AH,根据勾股定理求出

OH,根据垂线段最短解答即可.

【解答】解：连接0A,过点。作0〃J_A8于从

则AH=H8=2AB=3,

2

由勾股定理得，。“方小-人卜%

当点尸与点A（或点8）重合时，0P最大,当点尸与得”重合时，。尸最小,

・・・线段OP长的取值范围是4WOPW5,

9.（3分）如图，四边形ABC。是O。的内接四边形，NA=60°,则NOCE的度数是（）

120°C.90°D.无法确定

【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案.

【解答】解：:四边形A3CQ为。0的内接四边形,

：.ZDCE=ZA=60°,

故选：A.

10.（3分）如图，在。。中，点A、B、C在OO上，且NACB=110°,则Na=（）

B.110°C.120°D.140°

【分析】作篇所对的圆周角/ADB,如图，利用圆内接四边形的性质得乙4。8=70°,

然后根据圆周角定理求解.

【解答】解：作AB所对的圆周角NADB,如图,

・・・NAC8+NAOB=180°,

・・・NAO3=180°-110°=70°,

AZAOB=2ZADB=140°.

故选：D.

D

11.（2分）如图，四边形ABCD内接于OO,AB=CD,4为前中点，ZBDC=60°,则N

A£>3等于（）

A

B匕-------

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】连接04、OB、OD,OC,求出AB=AD=CD，求出NAOB=NAOO=NOOC,

根据圆周角定理求出ZBOC,再求出N4OB,最后根据圆周角定理求出即可.

【解答】解：连接。4、OB、OD,OC,

VZB£)C=60°,

AZBOC=2ZBDC=\20°,

•：AB=DC,

・•・/AOB=/DOC,

TA为BD的中点，

：•AB=AD，

・・・ZAOB=ZAODf

.,.NA0B=/40£>=N£)0C=2X(3600-ZBOC)=80°,

3

."A£>B=/NAOB=40°,

故选：A.

12.(2分)如图，。。的半径为2,。是函数＞=/的图象，C2是函数y=-7的图象，则

C.4nD.都不对

【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积.

【解答】解：是函数y=/的图象，C2是函数y=的图象,

•••两函数图象关于x轴对称，

••・阴影部分面积即是半圆面积，

...阴影部分的面积5=1兀x92=2n.

2

故选：B.

13.(2分)反比例函数y=&(mWO)的图象如图所示，以下结论：①常数相＜-1；②在

X

每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(-l,h),B(2,k)在图象上，则〃〈公

④若P(x,y)在图象上，则P'(-x,-y)也在图象上，其中正确的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质

进行判断即可.

【解答】解：・・•反比例函数的图象位于一三象限，

：.m>Q

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随元的增大而减小，故②错误;

将A(-1,h),B(2,k)代入丫=典得到〃=-m,2k=m,

x

Vm>0

：.h<k

故③正确；

将P(x,y)代入)，=典得到m=冲，

x

将P(-x,-y)代入y=@得到m=xy,

x

故P(x,y)在图象上，则尸'(-X,-)，)也在图象上

故④正确，

故选：C.

14.(2分)如图，已知双曲线y=K(AVO)经过直角三角形。A8斜边0A的中点£>,且

x

与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为()

【分析】△AOC的面积=Z\A08的面积-△BOC的面积，由点A的坐标为(-6,4),

根据三角形的面积公式，可知AAOB的面积=12,由反比例函数的比例系数Z的几何意

义，可知aBOC的面积=』伙|.只需根据。4的中点。的坐标，求出火值即可.

2

【解答】解：的中点是。，点A的坐标为(-6,4),

：.D(-3,2),

,双曲线丫=区经过点D,

X

：.k=-3X2=-6,

...△80C的面积=2因=3.

2

又丁△AOB的面积=」X6X4=12,

2

.♦.△AOC的面积=Z\AOB的面积-△BOC的面积=12-3=9.

故选：B.

15.（2分）如图是二次函数y=af+6x+c的部分图象，y<0时自变量x的取值范围是（）

C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5

【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题.

【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1,0）和（5,0）,

...y<0时，x的取值范围为-1或x>5.

6x+a+27,下列说法错误的是（）

A.若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4,5）,则-5

B.当x=12时，y有最小值a-9

C.x=2对应的函数值比最小值大7

D.当“<0时，图象与x轴有两个不同的交点

【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4,5）代入，求出a即可判断4将函

数表达式化为顶点式，即可判断&求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断

C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D

【解答】解：人将二次函数丫［乂2-6*+2+27』々_12）2+2-9向上平移10个单位，

44

再向左平移2个单位后，

表达式为：y=^-(x-10)^+a+l)

若过点(4,5),

贝5=-^(4-10)2+a+l，解得：4=-5,故选项正确；

8、：y=q(x-12)2+a-9，开口向上，

.,.当x=12时，y有最小值a-9,故选项正确；

C、当x=2时，y=q+16,最小值为a-9,«+16-(a-9)=25,即x=2对应的函数值

比最小值大25,故选项错误：

D、△=(-6)2-4x1x(a+27)=9-a，当时，9-40,

即方程上x2-6x+a+27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交

4

点，故选项正确，

故选：C.

二、填空题(本大题共4个小题：17、18每小题3分，19、20每空2分，共14分把正确

答案填在横线上)

17.(3分)已知x=1是关于x的方程jr+mx+n=Q的一个根，则m+n的值是-1.

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将X=1代入一元二次方程7+〃a+〃=0,即可

求得m+n的值.

【解答】解：：x=l是一元二次方程/+〃田+"=0的一个根，

满足一元二次方程/+«7田+〃=0,

1+加+〃=0,

m+n=-1；

故答案为：-1.

18.(3分)抛物线y=，+fcr+c经过点4(0,3),B(2,3),抛物线的对称轴为直线x=

1.

【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐

标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可.

【解答】解：：抛物线丫=/+法+。经过点A(0,3)和8(2,3),

此两点关于抛物线的对称轴对称，

・

••Av—・0…+—2-—1i•

2

故答案为：直线x=l.

19.(4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知4(8,0),C(0,6),矩形OABC的对

角线交于点P，点M在经过点尸的函数y=K(x>0)的图象上运动，%的彳直为12

X

OM长的最小值为」

【分析】先根据尸(4,3),求得％=4义3=12,进而得出丁=再根据双曲线的对称

性可得，当点例在第一象限角平分线上时，OM最短，即当尤=)，时，x=22,解得x=

X

±2«,进而得到OM的最小值.

【解答】解：TA(8,0),C(0,6),矩形O48C的对角线交于点P,

：.P(4,3),

代入函数y=X(x>0)可得，2=4X3=12,

x

•・»“y一--1-2,

x

•.•点M在经过点P的函数y=K(x>0)的图象上运动，

X

・・・根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，OM最短,

当x=y时，

x

解得x=±2«,

又YQ0,

，冗=2，^,

；・M(2«,2心,

OM=k2/)2+(2a)2=2册，

故答案为：12,24.

20.(4分)如图已知4,A2,A3,…4是x轴上的点，且。41=442=A2A3=A3A4=…二

分别过点A],A2,A3,…4〃作x轴的垂线交二次函数(x>0)的图

2

象于点P,尸2,P3,…P〃,若记△Q4P1的面积为Si,过点Pi作尸181L42P2于点81,

记△P/IP2的面积为S2,过点P2作P2及J_A3P3于点及，记282P3的面积为S3,…依

次进行下去，则53=5,最后记△尸”一出入1)的面积为Sn,则s”=_&±L_.

【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出Pi(1,1),则根据三角形面积公

2

式计算出3=工，同样可得S2=g;S3=5,S4=工，所有相应三角形的面积等于分母为

4444

4,分子为奇数的分式，从而得到s,=a二L.

4

【解答】解：当x=l时，y=-kr2=-l,则Pi(1,,1),所以5i=_lx1XJL=_L；

222224

当x=2时，y=^?=2,则P2(2,2),所以S2=Lx1X(2-A)=—；

-2224

当x=3时，则P3(3,9),所以53=1X1X(2-2)="，

222224

同样方法可得54=1,

4

所以S”=2n-1

4

故答案为5,2nzl.

44

三、解答题(本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

21.(8分)解方程:

(1)/-2x-15=0；

(2)4x(2x+l)=3(2x+l).

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)-2x-15=0,

(x-5)(x+3)=0,

贝25=0或x+3=0,

解得xi=5,X2=-3；

(2)V4x(2x+l)=3(2A-+1),

：.4x(2x+l)-3(2r+l)=0,

贝ij(2x+l)(4x-3)=0,

.•.2r+l=0或4x-3=0,

解得xi=-0.5,X2=0.75.

22.(6分)如图所示，点A(A,3)在双曲线y=K上，点8在双曲线y=3上，且4B〃x

3xx

轴，C,。在x轴上，若四边形ABCD为矩形，求它的面积.

【分析】由点4的坐标以及4B〃x轴，可得出点B的坐标，从而得出A。、4B的长度，

利用矩形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：(-1,3),AB〃x轴，点B在双曲线y=2•上，

：.B(1,3),

.,.AB=1--L—2.,A£)=3,

33

，S=AB・AO=2X3=2.

3

23.(8分)己知二次函数的解析式是y=/x2-3x+1".

(1)用配方法将y=/x2-3x+1•化成＞=“(x-/z)2+4的形式，并写出该二次函数的对

称轴和顶点坐标；

(2)二次函数y=/x2-3x+1•的图象与x轴相交吗？说明理由；若相交，求出交点坐

标.

【分析】(1)y=—V2-2V+-^-=—(/-6X+9)-里+5=JL(x-3)2-2,即可求解；

'222222

(2)由(1)知|〃=工＞0,顶点在第四象限，抛物线开口向上，故图象与x轴相交，令

2

2=：0

y=yX-3x+y＞解得：x=5或1,即可求解.

【解答】解：(1)1=工(/-6X+9)-9+旦=_!(x-3)2-2,

222222

故对称轴为x=3,顶点坐标为：(3,-2)；

(2)由(1)知。=工〉0,顶点在第四象限，抛物线开口向上，故图象与x轴相交，

2

2=0,

4'y=-^-x-3x+y解得：x=5或1,

故交点坐标为：(5,0)、(1,0).

24.(8分)某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定

时，矩形的面积与边长函数关系式的图象.请将他们的探究过程补充完整.

(1)列函数表达式：若矩形的周长为8,设矩形的一边长为羽面积为y,则有

=一r+47；

(2)上述函数表达式中，自变量x的取值范围是0Vx＜4:

(3)列表：

X・・0.511.522.533.5…

y,・・1.7533.7543.753m

写出m=1,75；

(4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该

函数的图象.

【分析】根据二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：⑴由题意：y=x(4-x)=-X2+4X.

故答案为：y--7+4x；

(2)上述函数表达式中，自变量x的取值范围是0<x<4.

故答案为：0<xV4.

(3)x=3.5时，y=1.75,

/./n=1.75.

故答案为：1.75.

(4)函数图象如图所示：

25.(8分)如图，A、B两点的坐标分别为(-2,0),(0,3),将线段AB绕点8逆时针

旋转90°得到线段8C,过点C作CDLOB,垂足为反比例函数)，=区的图象经过点

X

C.

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；

(2)点P在反比例函数y=区的图象上，当△R?£)的面积为3时，求点尸的坐标.

【分析】(1)根据旋转的性质和全等三角形的性质求得C点的坐标，即可求得结论；

(2)由解析式设出P点的坐标，根据三角形面积公式得出方程，解方程可求得P点坐标.

【解答】解：(1)•・,将线段A3绕点3逆时针旋转90。得到线段3C,

：.AB=BC,NA8C=90°，

〈CD上OB,

ZCDB=ZAOB=ZABC=90°,

:./ABO+/CBD=NCBD+NDCB=90°,

・・・ZABO=ZDCBf

:・XAB（汪丛BCD（AAS）,

:・CD=0B=3,BD=0A=2,

：.0D=3-2=1,

・・・C点的坐标为（3,1）,

"=3X1=3,

・・・反比例函数的解析式为：y-i；

X

（2）设P（3,M,

m

•・・CO_Ly轴，CD=3,

由△■?£＞的面积为3得：工CD•依-1|=3,

2

.,.Ax3|m-1|=3,

2

・"-1=±2,

，加=3或tn=-1,

当〃7=3时，—=1,当机=-1时，—=-3,

mm

工点尸的坐标为（1,3）或（-3,-1）.

26.(8分)如图，ZiABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，3。的延长交边AC于点

D.

(1)求证：ZBAC=2ZABD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求N5CZ)的大小.

O

5

【分析】（1）连接0A并延长4。交BC于E,证明/BAC=2N8AE和/AB£>=NBAE

即可得结论，

（2）设NA8O为x,用x表示出有关的角，再列方程即得答案.

【解答】解（1）连接。4并延长A。交BC于E,

'：AB=AC,

...弧48=弧4（7,

过圆心。，

...AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），

；.AE平分NBAC,

：./BAC=2NBAE,

\'OA=OB,

：.ZABD=ABAE,

；.NBAC=2/ABD；

(2)设/ABO=x,

由(1)知NR4c=2/ABO=2x,

：.ZBDC^3x,

△BCD是等腰三角形，

①若BD=BC,

则/C=N8OC=3x,

\"AB=AC,

，NA8C=NC=3x,

在△ABC中，ZABC+ZC+ZBAC=180°,

・・・3x+3x+2x=180°,

解得x=22.5°,

：.ZBCD=3x=67.5°,

②若BC=CD,则N5DC=NC3O=3%,

・•・ZABC=ZACB=4x,

在△ABC中，NABC+NC+NBAC=180°,

4x+4x+2x=180°,

.'.x=18°,

；./BC£）=4x=72°,

综上所述，△BCD是等腰三角形，NBCD为67.5。或72°.

27.（8分）如图，在△ABC中，AC=BC,。是AB上一点，。。经过点A、C、D,交BC

于点E,过点。作。尸〃BC,交。。于点F.

求证：（1）四边形OB