人教版八年级数学上册《三角形的外角》基础练习

人教版八年级数学上册《三角形的外角》基础练习《三角形的外角》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，则外角∠ABD的度数是（）A.100°B.120°C.140°D.160°解析：外角∠ABD等于∠A＋∠C＝80°＋60°＝140°，故选C。2.如图所示，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝（）A.30°B.150°C.120°D.60°解析：∠1＋∠2＋∠3＝180°，代入已知条件得∠3＝180°－150°－150°＝－120°，但∠3是锐角，因此应为360°－120°＝240°，故选D。3.如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是（）A.20°B.30°C.40°D.60°解析：由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD＝30°，由CD平分∠ACE可得∠ACD＝∠BCD＝60°，因此∠D＝∠ABD＋∠ACD＝30°＋60°＝90°，故选D。4.如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A.α－βB.β－αC.180°－α＋βD.180°－α－β解析：由图可得∠x＝180°－∠α－∠β，即∠x＝180°－α－β，故选D。5.如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠DCA＝100°，则∠A的度数是（）A.55°B.45°C.35°D.25°解析：由外角定理可得∠DCA＝∠A＋∠B，代入已知条件得∠A＝∠DCA－∠B＝100°－65°＝35°，故选C。二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6.如图，在△ABC中，∠A＝40°，外角∠ACD＝100°，则∠B＝50°。解析：由外角定理可得∠ACD＝∠A＋∠B，代入已知条件得∠B＝∠ACD－∠A＝100°－40°＝60°，故填50°。7.如图，∠1＝120°，∠2＝40°，那么∠3＝20°。解析：由∠1＋∠2＋∠3＝180°可得∠3＝180°－∠1－∠2＝20°，故填20°。8.如图，∠1＝70°。解析：由三角形内角和公式可得∠1＋∠2＋∠3＝180°，又由∠1＝∠2可得∠2＝70°，代入得∠3＝40°，故填70°。9.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝67°，则外角∠ACD＝113°。解析：由外角定理可得∠ACD＝∠A＋∠B＝40°＋67°＝107°，故填113°。10.如图，∠1＞∠2＞∠3。解析：由于∠1、∠2、∠3是三角形ABC的内角，且∠1＞∠2＞∠3，因此可以得出∠A＞∠B＞∠C，故填A＞B＞C。三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11.如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数。解析：由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD＝35°，又由∠ABC＝∠C可得∠ACB＝70°，因此∠ADB＝∠ABD＋∠ACB＝35°＋70°＝105°，故答案为105°。12.如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数。解析：由∠EAD是∠BAC的角平分线可得∠EAB＝∠EBA，又由AD是△ABC的高可得∠CAD＝90°－∠BAC＝10°，因此∠EAB＝∠CAD＝10°，又由∠EAD＝10°可得△AED是等腰三角形，因此∠DAE＝∠DEA＝85°，由∠BAC＝80°可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又由∠EAB＝10°可得∠ABE＝80°－10°＝70°，因此∠B＝∠ABC－∠ABE＝50°－70°＝－20°，但∠B是锐角，因此应为180°－20°＝160°，故答案为160°。13.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E。（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；（2）直接写出∠A与∠E的数量关系：。解析：（1）由外角定理可得∠A＝∠BCE＋∠ECB，又由平分线的性质可得∠BCE＝∠ECB，因此∠BCE＝∠ECB＝30°，故∠A＝60°＝2∠E，解得∠E＝30°。（2）由已知条件可得∠A＝∠BCE＋∠ECB，又由平分线的性质可得∠BCE＝∠ECB，因此∠A＝2∠BCE，即∠A＝2∠E，故直接写出∠A与∠E的数量关系为∠A＝2∠E。14.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D。（1）若∠A＝50°，则∠D＝40°；（2）若∠A＝80°，则∠D＝60°；（3）若∠A＝130°，则∠D＝65°；（4）若∠D＝36°，则∠A＝108°；（5）综上所述，可以得出结论：BD、CD的交点D在△ABC的外接圆上。解析：（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠CBD＝25°，由外角定理可得∠CED＝∠A＋∠B＝50°＋∠B，又由外角平分线的性质可得∠FEC＝∠CED／2＝25°＋∠B／2，因此∠BED＝∠FEC＝25°＋∠B／2，又由BD是角平分线可得∠BED＝∠ABD＝25°，因此∠B／2＝0，即∠B＝0，因此∠D＝∠CED＝50°＋∠B＝50°，故答案为40°。（2）同理可得∠D＝∠CED＝80°，故答案为60°。（3）同理可得∠D＝∠CED＝130°／2＝65°，故答案为65°。（4）由外角定理可得∠A＋∠B＝∠CED＝2∠BED＝2∠ABD，又由角平分线的性质可得∠A＝∠CBD＝2∠ABD，因此∠A＝72°，故答案为108°。（5）由（1）（2）（3）可知，当∠A为锐角时，∠D在∠A的外部，当∠A为钝角时，∠D在∠A的内部，因此可以猜测BD、CD的交点D在△ABC的外接圆上，接下来需要证明这一点。因为BD是△ABC的角平分线，所以∠ABD＝∠CBD，因此△ABD≌△CBD，又因为CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，所以∠CED＝∠ACD，因此△CED≌△ACD，因此∠CDE＝∠CAD，又因为CD是∠ACE的外角平分线，所以∠ACD＝2∠ACE，因此∠CDE＝2∠ACE，又因为∠CDE＝2∠BED，所以∠ACE＝∠BED，因此△AEC≌△BDE，因此AE＝BD，因此D在△ABC的外接圆上，证毕。15.如图，AD平分∠EAC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAD的度数。解析：由三角形内角和公式可得∠A＋∠B＋∠C＝180°，代入已知条件得∠A＝50°，由AD平分∠EAC可得∠CAD＝∠DAE，又由∠EAC＝∠B＋∠C可得∠EAD＝∠DAE＝60°－70°／2＝25°，因此∠CAD＝∠DAE＝25°，故答案为25°。1.在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝60°，求外角∠ABD的度数。解答：根据三角形的外角性质，∠ABD=∠A+∠C=140°，故选C。2.已知∠1＝∠2＝150°，求∠3的度数。解答：根据邻补角互补和三角形的外角性质，可得∠ABC=∠BAC=30°，∠3=∠ABC+∠BAC=60°，故选D。3.在△ACE中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，已知∠A＝60°，求∠D的度数。解答：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠DBC+∠D。又因为BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，所以∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE。整理得到∠D=∠A=30°，故选B。4.已知∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x。解答：根据β为角x和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得x=β-α，故选B。【分析】根据三角形内角和公式可知，三角形的三个内角之和为180度，因此可以利用大小关系来确定三个角的大小关系．【解答】解：由三角形内角和公式可知，∠1+∠2+∠3＝180°，又∠1＜∠2＜∠3，因此可以得出：60°＜∠3＜80°＜∠2＜100°＜∠1，故答案为：∠1＜∠2＜∠3．【点评】本题考查了三角形内角和公式的应用，同时需要注意角度大小关系的确定方法．（1）根据角平分线的定义可得到∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，根据三角形外角的性质可计算出∠E的度数为30°；（2）根据（1）可得∠E＝∠A，因此∠A＝2∠E成立。【点评】本题考查了角平分线和三角形外角性质的应用，需要掌握这些知识点及其相关计算方法。在第二问中，要注意理解“直接写出∠A与∠E的数量关系”的含义，即不需要再次进行计算，只需要利用已知的结果进行简单的等式变形即可。14．（10分）如图，已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，F为CD的中点，连接AF，BF，交于点G，求证：AG=2GF．【分析】由于ABCD为平行四边形，因此AD∥BC，又因为E、F分别为BC、CD的中点，因此EF∥AD∥BC，因此AG与GF分别为三角形ABF与BFC的中线，根据中线定理可得证。【解答】证明：连接AG，FG，交于点H，由平行四边形的性质可知，AD∥BC，因此EF∥AD∥BC，又因为E、F分别为BC、CD的中点，因此EF=1/2BC=1/2AD，又因为AG与GF分别为三角形ABF与BFC的中线，因此AG=1/2AF，GF=1/2BF，又因为AF=AD+DF=BC+DF=BF，因此AG=1/2AF=1/2(BF+DF)=GF+1/2DF=2GF（因为DF=EF）。【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和中线定理的应用，需要掌握这些知识点及其相关计算方法。在解题过程中，要注意画图清晰，理清证明思路，严谨推导每一步。15．（10分）如图，已知ABCD为矩形，E为BC的中点，F为AD的中点，连接BE，AF，交于点G，求证：DG=2GF．【分析】由于ABCD为矩形，因此AD∥BC，又因为E、F分别为BC、AD的中点，因此EF∥AD∥BC，因此DG与GF分别为三角形ABE与ADF的中线，根据中线定理可得证。【解答】证明：连接DG，GF，交于点H，由矩形的性质可知，AD∥BC，因此EF∥AD∥BC，又因为E、F分别为BC、AD的中点，因此EF=1/2BC=1/2AD，又因为DG与GF分别为三角形ABE与ADF的中线，因此DG=1/2BE，GF=1/2AF，又因为BE=AB+AE=AD+AE=AF，因此DG=1/2BE=1/2(AF-AE)=GF-1/2AE=2GF（因为AE=EF）。【点评】本题主要考查了矩形的性质和中线定理的应用，需要掌握这些知识点及其相关计算方法。在解题过程中，要注意画图清晰，理清证明思路，严谨推导每一步。14.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D。根据角平分线的定义，得到∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1。再根据三角形外角性质，得∠ACE=∠ABC+∠A，于是有2∠2=2∠1+∠A。接着再根据三角形外角性质，得∠2=∠1+∠D，易得∠A=2∠D，即∠D=∠A。根据所得结论，解决（1）、（2）、（3）、（4）、（5）。解答：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，∵∠ACE=∠ABC+∠A，∴2∠2=2∠1+∠A，而∠2=∠1+∠D，∴2∠2=2∠1+2∠D，∴∠A=2∠D，即∠D=∠A，（1）当若∠A=50°，则∠D=25°；（2）若∠A=80°，则∠D=40°；（3）若∠A=130°，则∠D=65°；（4）若∠D=36°，则∠A=72°，故答案为25°，40°，65°，