第一章 静电场一

第一章静电场一第1页，课件共77页，创作于2023年2月第一章静电场(一)§1-1电场与电场强度§1-2电场的叠加原理§1-3电场的图示§1-4真空中的高斯通量定理§1-5电介质中的高斯通量定理§1-6电场强度的环路定理与电位函数§1-7电位梯度§1-8静电场的边界条件§1-9微分形式的高斯定理§1-10微分形式的电场强度环路定理§1-11泊松方程与拉普拉斯方程

2第2页，课件共77页，创作于2023年2月

真空中两个点电荷作用力的大小与两个点电荷的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向在两个点电荷的连线上，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引。预备知识—库仑定律(Coulomb’slaw)则库仑定律表为式中ε0为真空中的介电常数。在国际单位制下，式中q2对q1产生得静电力为：3第3页，课件共77页，创作于2023年2月§1-1电场与电场强度

带电体周围的空间，存在着一种特殊运动形态的物质——电场。当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电场给予的力。这种力，通常称之为电场力。电场能对电荷施力作功，说明电场具有能量。1.电场电荷之间的相互作用力是如何传递的？为什么要引入场的概念?两点电荷间(或两带电体间)的力，正是通过电场而进行传递的。“以太”为媒介作用②间接作用电荷→电场→电荷4第4页，课件共77页，创作于2023年2月2.电场强度（Electricfieldintensity）的定义(1-1)

——微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点电荷电量之比的极限，通常以表示式中：Δq为正的试验点电荷的电量，为正的试验点电荷所受的电场力。试证明：1V/m=1N/C作业电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，在国际单位制(SI)中场强的单位为伏特每米(V/m)。5第5页，课件共77页，创作于2023年2月3.点电荷的电场强度式中：为从点电荷q指向场中任意被研究点A的单位矢量。注意：(1)这一表达式只适用于点电荷的情况。(2)在数学中的“点”没有大小而仅有几何位置。在实际问题中，只要判定带电体的几何尺寸远小于带电体至被研究点的距离时，不管带电体的形状如何，均可认为式(1-2)成立。物理意义下的“点”是相对而言的。根据库伦定律，点电荷电场强度为(1-2)6第6页，课件共77页，创作于2023年2月§1-2电场的叠加原理1.电场的叠加原理理想媒质材料依据三条件来确定（IHL）1>、各向同性（I）Isotropic；2>、均匀(H)Homogeneous；3>、线性(L)Linear

“力”服从叠加原理。电场强度是单位正点电荷所受的电场力。在媒质电容率与场强无关的理想媒质中，电场强度亦服从叠加原理。因而在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度的矢量和(矢量叠加)。这一结论称之为场的叠加原理。7第7页，课件共77页，创作于2023年2月

图1-1分布电荷的线电荷元在空间点A产生的场强2.电荷作任意分布时电场强度的计算式中：dq为线元dl上所具有的电量。τ的单位为库仑每米(C/m)。

(1-3)(1-4)①当电荷作线状分布时，电荷线密度的定义为式中：R为线元至被研究点的距离；为线元指向被研究点方向上的单位矢量。当电荷沿空间曲线连续分布时，空间任一点的场强8第8页，课件共77页，创作于2023年2月②电荷沿空间曲面作面分布，定义电荷面密度为(1-6)(1-5)式中：dq为面元上所具有的电荷量。因而，σ的单位为库仑每平方米(C/m2)。式中：R为面元至研究点的距离；为面元指向研究点方向上的单位矢量。当电荷沿空间曲面S连续分布时，空间任一点的电场强度为图1-2面分布电荷的面电荷元在空间点A产生的场强

9第9页，课件共77页，创作于2023年2月③电荷在空间作体积分布，定义电荷体密度为(1-7)(1-8)式中：R为体积元dV至研究点的距离；为体积元dV指向研究点方向上之单位矢量。式中：ρ的单位为库伦每立方米(C/m3)。当电荷在空间作体积分布时，空间任一点的电场强度为图1-3体分布电荷的体电荷元在空间点A产生的场强

10第10页，课件共77页，创作于2023年2月解：建立一直角坐标系，如图示。取圆柱坐标系α＝0的半平面上任一点P，令其圆柱坐标为(r，0，z)。

图1-4例1-1图例1-1真空中长度为2L的均匀带电直线，它所带的电荷量为q，试确定直线外任一点处的电场强度。带电直线的线电荷密度τ为场强的z轴分量dEz和径向分量dEr为

11第11页，课件共77页，创作于2023年2月

l、R、θ对于不同的线电荷元都是变量，可统一用一个变量θ来表示因而点P处场强的z轴分量Ez为

(1-9)场强的径向分量Er为(1-10)12第12页，课件共77页，创作于2023年2月§1-3电场的图示法拉第提出以电力线或场强线来描绘场的图形，其作法有两点：1.电力线一、电力线是空间有向曲线。曲线上每点的切线方向，应该代表该点处的电场强度方向。可见电力线在空间是不能彼此相交的。电力线只能起自正电荷而止于负电荷，它不能中断于无电荷处，也不能自行闭合。二、通过垂直于力线的微小面元单位面积上的力线数等于该面元上的电场强度的数值。这样各点电场强度的大小，就能以电力线分布的疏密程度来表示。13第13页，课件共77页，创作于2023年2月+-14第14页，课件共77页，创作于2023年2月引入电力线后，观察场所具有的规律：2.电场的形象化其二，电力线(场强矢量线)不能自行闭合，它不是旋涡矢量线，因而静电场中既没有旋涡线，也没有旋涡点，静电场为无旋涡场，或者是无旋场。其一，电力线(场强矢量线)是有源头的，电荷就是它的源头，确切地说正电荷是其正源头，负电荷是其负源头，因此，静电场(即电场强度矢量场)为有源场；这是静电场自身所具有的区别于其它场(例如磁场、流速场等等)的特点。教材P331-31-101-111-131-14作业15第15页，课件共77页，创作于2023年2月图1-5曲面法线与场强方向夹角§1-4真空中的高斯通量定理(1-11)1.电场强度通量场强通量的单位为伏特米(V·m)。通过曲面S的场强通量，即为通过曲面S上每一面元的电力线的代数和。闭合曲面S的场强通量(1-12)电场强度(矢量)沿任一有向曲面S的曲面积分，以表示16第16页，课件共77页，创作于2023年2月高斯通量定理定量揭示了穿过任意闭合曲面的场强通量与曲面内电荷(源)的关系。它说明静电场是一个有源场。2.真空中的高斯通量定理（Gauss’slaw）

静电场中，当媒质为真空时，通过任一闭合曲面S的电场强度通量，等于该曲面所包含的电荷量的代数和与真空电容率ε0之比。(1-13)注意：（1）E的通量仅与闭合面S所包围的净电荷有关。（2）S面上的E是由系统中全部电荷产生的。17第17页，课件共77页，创作于2023年2月3.高斯定理的应用利用高斯定理的解题步骤：２、选择合适的高斯面；用于求解对称分布(球、面、轴对称的电场分布以及球、面、轴对称的电场的叠加)电荷的电场强度。１、对称分析；３、利用高斯定理求电场分布。补充例1-1求电荷线密度为τ的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点——

E线皆垂直于导线，呈辐射状态；

等r处E值相等。取长为L，半径为r的封闭圆柱面为高斯面。由得18第18页，课件共77页，创作于2023年2月例1-2真空中同心球面内均匀分布着体积电荷，电荷体密度为ρ，同心球面内外半径分别为R1和R2。试求球层内外的电场强度。

场强方向沿径向解电荷分布为球对称，应用高斯定理求解R1<R<R2，R<R1R>R2球层以外的电场分布，同全部电荷量q集中于球心的点电荷的情形一样。19第19页，课件共77页，创作于2023年2月图1-6例1-3图证若将球形空腔填满体电荷ρ，可得半径为R2的球体内各点的场强例1-3真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为R2，电荷体密度为常数ρ，球内存在一个半径为R1的球形空腔，两球心距离为a，且a+R1<R2。试证明球形空腔内的电场是均匀的。分析采用高斯定理和叠加原理。单独考虑填充了-ρ的R1球体内，有球形空腔内任一点P的场强为当a+R1>R2时，就不能运用高斯定理计算。20第20页，课件共77页，创作于2023年2月§1-5电介质中的高斯通量定理

一般情况下，电场并不总是处在真空中，可能存在于各种不同媒质中。若在电容率为ε0的真空媒质中，放入其它电介质，在电场的作用下，电介质将受到极化，形成电偶极子。在不同介质的左、右两侧边缘处，则附着了过剩的或正或负的束缚电荷。1.电介质的极化无极性分子有极性分子21第21页，课件共77页，创作于2023年2月C/m2电偶极矩体密度一对相距很近带等量异性的点电荷——极化电荷体密度——极化电荷面密度2.电偶极子用电极化强度表示电介质的极化程度电偶极矩3.电极化强度22第22页，课件共77页，创作于2023年2月4.电介质边缘束缚电荷对电场的影响图1-7束缚电荷对电场的影响图1-8束缚电荷示意图

高斯定理修改如下

(1-14)q′为闭合曲面S内存在于介质交界面上的所有束缚电荷量。23第23页，课件共77页，创作于2023年2月(1-16)(1-15)(1-17)(1-18)整理后或5.电介质中的高斯定理当介质受到极化时，不同介质交界边缘处的束缚电荷用电极化强度矢量来描述。（1）推导（2）物理意义电介质中的高斯定理表明：电场中，通过某闭合曲面S的电位移矢量

的通量(电通量)，等于该闭合曲面内所包含的自由电荷量的代数和。24第24页，课件共77页，创作于2023年2月

——包括束缚电荷的全部电荷激发的电场的场强；

——电位移矢量(1-19)在各向同性线性介质中，

——电介质的相对电容率；

——电极化率；注意：在引入电位移矢量后，高斯定理在形式上撇开了电介质影响。但不能说的分布与ε无关。图1-9线的分布(a)同一介质内的线分布；(b)穿过两不同介质的线分布25第25页，课件共77页，创作于2023年2月6.微分形式的高斯通量定律——微分形式的高斯通量定律积分形式的高斯通量定律——场中任一点的散度，等于该点处的自由电荷体密度。26第26页，课件共77页，创作于2023年2月图1-10例1-4图例1-4一单芯电缆其芯线半径R1=0.5cm，外面金属皮的内半径R2=2cm，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的电荷量为τ=5.56×10-7C/m。若芯线外面紧包一层相对电容率εr1=5的固体电介质，其外半径为R0=1.25cm；而固体介质之外充满相对电容率εr2=2.5的绝缘油。求电缆内电场强度分布以及介质交界面上的极化电荷面密度。解由高斯定理，作图示高斯面27第27页，课件共77页，创作于2023年2月

设为交界面上自介质εr1的指向介质εr2的单位矢量，则交界面上极化电荷面密度为

芯线表面处的极化电荷面密度为

若内层介质也采用相对电容率为2.5的介质，可求得σ′1将由-1.42×10-5C/m2改变为-1.062×10-5C/m2。28第28页，课件共77页，创作于2023年2月补充——电场中的物质根据物质在电场中的性质可以将其分三类：1导体（conductor）：拥有大量自由电子的物质，如金属；2电介质（绝缘体，insulator）：在其晶格结构中没有或仅有少量自由电子的物质；3半导体（semi-conductor）：价电子总数的一小部分可以在晶格空间自由随机运动的物质，如硅，锗。①导体放于场中，则导体表面出现感应电荷；②导体内部产生感应电场大小相等，方向相反，达到平衡状态。则；③导体表面的与导体表面垂直；④整个导体是一个等位体，导体表面是等位面；补充——电场中的导体29第29页，课件共77页，创作于2023年2月补充例1-2一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，求空间任一点的以及束缚电荷密度。解：导体及介质结构为球对称，自由电荷及束缚电荷亦为球对称，应用高斯定理得教材P351-161-181-19作业30第30页，课件共77页，创作于2023年2月(1-20)

这一积分形式定理说明，静电场是无旋场，静电场中场强矢量线(电力线)不可能是闭合曲线或旋涡线。

静电场中，电场强度沿任意闭合环路l的有向曲线积分恒等于零。2.微分形式的环路定理

静电场的旋度恒为零，说明静电场不存在旋涡线、旋涡点，因而说静电场是无旋涡场或无旋场。§1-6电场强度的环路定理与电位函数1.静电场中电场强度的环路定理31第31页，课件共77页，创作于2023年2月补充例1-3

在坐标原点处放置一点电荷q，求在自由空间任意点（r≠0）产生的电场强度的旋度。解：32第32页，课件共77页，创作于2023年2月解：静电场的旋度恒等于零补充例1-4已知，试判断它能否表示个静电场？能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?对应静电场的基本方程，矢量可以表示一个静电场。33第33页，课件共77页，创作于2023年2月图1-11电场力作功路径图

当将单位正点电荷由点A搬移至点B时，其所作之功与作功选取的路径无关，而仅决定于A、B两点的位置。3.静电场中的电位函数取任意闭合路径AmBnA有(1-22)(1-23)（1）A、B两点间电位差或电压

其值为将单位正点电荷从点A搬移至点B时，电场力所作之功。在国际单位制中，其单位为伏特(V)。34第34页，课件共77页，创作于2023年2月（2）点A的电位——单位正点电荷从点A搬移至参考点P时，电场力所作之功，即场中任意点A（零电位点）对参考点的电位差值。(1-24)

场中某点的电位亦是表征该点电位能的物理量，它表示单位正点电荷在电场中该点所具有的位能。(1-25)（3）点电荷电场的电位

在电荷分布于有限区域的情况下，选择无限远处为参考点，35第35页，课件共77页，创作于2023年2月（4）等位线等位线或等位面恒与电场强度E线(电力线)垂直。点电荷与接地导体的电场电偶极子的等位线和电力线36第36页，课件共77页，创作于2023年2月37第37页，课件共77页，创作于2023年2月（5）电位的相对性与绝对性

空间任意一点的电场强度，等于该点电位(函数)梯度的负值。（6）电场强度与电位的关系上式中负号代表什么意思？38第38页，课件共77页，创作于2023年2月例1-5长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。长度L远大于截面尺寸，若缆芯的外半径为R1，外皮的内半径为R2，其间绝缘介质的电容率为ε，试确定其中电场强度与电压的关系。

两柱面间的电压解作半径为R的同轴圆柱面，R1<R<R2。设缆芯单位长度上的电荷量为τ，由高斯定理，39第39页，课件共77页，创作于2023年2月设无穷远处作为电位参考点，补充例1-5一半径为b的球体内，均匀分布有体电荷ρ，求各处的电场强度与电位。解：由高斯定律得40第40页，课件共77页，创作于2023年2月(1-26)例1-6圆柱形电容器的柱面之间充满了体密度为ρ的均匀体积电荷，电容率为ε0,内、外柱面的半径分别为R1和R2，施加电压U12。求电容器内电场强度和电位函数的分布。解设其单位长度柱顶的电荷量为τ，取半径R(R1<R<R2)，高度为1个单位的同轴圆柱面，则其所包围的电荷为τ+π(R2-R21)ρ。根据高斯定理(1-27)41第41页，课件共77页，创作于2023年2月将式(1-27)代入式(1-26)中，得42第42页，课件共77页，创作于2023年2月补充例1-6已知电位函数，试求。并计算在（0，0，2）点处的值。解：43第43页，课件共77页，创作于2023年2月无旋场——有源场——小结在任何介质中，静电场满足下列等式：结构方程——补充例1-7在一无电荷区域，，求。补充例1-8在平板电容器中电位函数为，求其电场强度和电荷体密度，设板间介质电容率为。教材P361-231-271-31作业44第44页，课件共77页，创作于2023年2月例1-9

若空气中电位函数其中ρ,α,β,γ为已知，试问电荷按什么规律分布？再利用，可得电荷分布规律解场强的分布45第45页，课件共77页，创作于2023年2月1.静电场的基本方程§1-8静电场的边界条件无旋场——有源场——以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）2.分界面上的边界条件则有

根据

电介质分界面分界面两侧的的法向分量不连续。当时，的法向分量连续。(1)电位移矢量的边界条件46第46页，课件共77页，创作于2023年2月

以点P作为观察点，作一小矩形回路（）。根据则有

分界面两侧的切向分量连续。(2)电场强度的边界条件导体与电介质分界面导体与电介质的分界面上的边界条件？电介质分界面47第47页，课件共77页，创作于2023年2月在交界面上不存在时折射定律分界面上E线的折射(3)折射定律

设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，d→0因此在介质分界面上，电位是连续的。3.用电位函数表示分界面上的边界条件电位的衔接条件48第48页，课件共77页，创作于2023年2月图1-22例1-8图设例1-8如图所示，由x=0，x=3的两平面所分隔开的区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ中，分别填充相对电容率为εr1，εr2，εr3的三种介质，其中εr3=2εr2=4εr1。已知区域Ⅰ(x＜0)中均匀电场的场强为求区域Ⅱ、Ⅲ中的场强。解：法向分量切向分量49第49页，课件共77页，创作于2023年2月补充例1-9同心球电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充两种介质，上部分电容率为ε1，下部分为ε2。内外导体带电量分别为q和－q，求各部分的。解：两个极板间的场分布要同时满足介质分界面和导体表面的边界条件，因此边界条件求解的关键问题是什么？50第50页，课件共77页，创作于2023年2月§1-11泊松方程与拉普拉斯方程直角坐标系下，静电场中两个微分形式的定理为1.推导

对介质均匀区域而言，媒质的电容率ε为常数，故

若在空间场点处不存在自由体积电荷，则有(1-84)泊松方程(1-85)拉氏方程2.物理意义

泊松方程与拉普拉斯方程，由静电场的基本定理和特性方程综合而成，描述了位函数在场域内部点上满足的特性。51第51页，课件共77页，创作于2023年2月图1-25例1-12图例1-12平行板电容器的极板间距离为d，所加电压U0为已知，一半空间有体电荷均匀分布，电荷密度为ρ，介质的电荷容率均为ε0。忽略边缘效应，试求电场分布。解建立直角坐标系如图所示。不考虑边缘效应，电场分布仅与x坐标有关。在0<x<d/2区域，电位函数满足泊松方程：在d/2<x<d区域，电位函数满足拉普拉斯方程：解得由给定边界条件确定上面解式中的各待定常数。52第52页，课件共77页，创作于2023年2月在的两侧电位函数满足不同微分方程，把它取作分界面两极板的电压为U0，电位函数联立求解得53第53页，课件共77页，创作于2023年2月课堂练习教材P371-381-40教材P361-251-331-34作业54第54页，课件共77页，创作于2023年2月补充例1-10如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0

,图(b)已知极板上总电荷,试分别求其中的电场强度。（a）（b）平行板电容器55第55页，课件共77页，创作于2023年2月解：忽略边缘效应图（a）图（b）56第56页，课件共77页，创作于2023年2月§1-12静电场的边值问题对于一个具体的场来说，不同的边界约束条件，就有不同的分布状态，通常将能够正确说明边界上约束情况的条件，即边界约束条件，称之为边界条件。静电场的边界，大致由三种情况的边界面组成：①导体表面②介质分界面③无限远处场的外边界给定此场域的边界形状及未知函数在边界上某种形式的值，称之为给定边界约束条件或给定边界条件。上述求解问题，称之为静电场的边值问题。57第57页，课件共77页，创作于2023年2月已知某导体i电位值Ci边值问题框图自然边界条件参考点电位边值问题微分方程边界条件导体表面边界条件分界面边界条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知某导体i表面每一点的自由电荷面密度或总电量一、二类边界条件的线性组合58第58页，课件共77页，创作于2023年2月边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图59第59页，课件共77页，创作于2023年2月第二章静电场(二)§2-1静电场的唯一性定理以及应用§2-6电容与电容的计算

§2-9带电导体系统的电场能量及其分布第60页，课件共77页，创作于2023年2月1.唯一性定理（UniqunessTheorem）§2-1唯一性定理在静电场中,满足一定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。2.唯一性定理的应用

可判断静电场问题的解的正确性：补充例2－1图示平板电容器的电位，哪个解答正确？答案：（C）平板电容器外加电源U061第61页，课件共77页，创作于2023年2月3.唯一性定理的应用——解释静电屏蔽现象图2-6例2-1图静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。62第62页，课件共77页，创作于2023年2月电容器在电子电路中几乎是不可缺少的储能元件，它具有隔断直流、连通交流、阻止低频的特性，广泛应用在耦合、隔直、旁路、滤波、调谐、能量转换和自动控制等电路中。§2-6电容与电容的计算63第63页，课件共77页，创作于2023年2月（1）双导体电容：设空间仅有两导体，若两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值Q与两导体间电压U之比。(2-28)1.电容的定义

在SI制中电容的单位为法拉(F)，常用微法(10-6F或表为μF)或皮法(10-12F或表为pF)。电容由两个金属极，中间夹有绝缘材料（介质）构成。(2-29)（2）孤立导体电容：当空间仅存有一孤立导体时，孤立导体的电容即是导体所带的电量Q与其电位之比。64第64页，课件共77页，创作于2023年2月R=6.5×106m地球的电容量如何计算？2.电容的计算方法在线性媒质中，两导体间的电容仅决定于两导体本身几何尺寸、相互位置和空间媒质的电容率的量，而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。65第65页，课件共77页，创作于2023年2月补充例1－2两间距为d板面积为S的平行导电板构成一平板电容器，导电板上面电荷密度分别为＋σ和－σ，问电容是多少？解：忽略边缘效应，认为电荷在极板上分布均匀，则两极板间的电场强度为两极板间的电位差为平板电容器的电容为66第66页，课件共77页，创作于2023年2月补充例2－3

试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为q，由高斯通量定理得同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤立导体球的电容）球形电容器67第67页，课件共77页，创作于2023年2月3.双层媒质圆