新412无理数指数幂及其运算性质课件3

无理数指数幂及其运算性质必备知识·自主学习1.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_______实数.

确定的【思考】为什么规定底数a>0？提示：规定底数大于零是必要的，否那么会出现，就无法确定是1还是-1.2.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____.ar+sarsarbr【思考】指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：【根底小测】1.辨析记忆(对的打“√〞，错的打“×〞)(1)是一个确定的实数. ()(2)指数幂aα的指数α只能取无理数. ()(3)=8. ()提示：(1)√.由无理数指数幂的定义知正确.(2)×.α可取任意实数.(3)√.=23=8.2.计算：=_______.

【解析】

=53=125.答案：1253.(教材二次开发：练习改编)计算：a-2π=_______.

【解析】

答案：

关键能力·合作学习类型一无理数指数幂的运算(数学运算)【题组训练】

1.计算a-π=_______.

【解析】原式==a0=1.答案：12.计算以下各式的值(1).(2)(a>0).(3).【解析】(1)原式==29×32=4608.(2)原式==a0=1.(3)原式==π.

【解题策略】关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)假设式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保存直接运算.类型二实际问题中的指数运算(数学建模)【典例】(2021·重庆高一检测)在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说〞刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字〞，因此浪费了假设干年甚至毕生的珍贵时间.例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔创造了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比方，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有64×256=16384.按照这样的方法计算16384×32768= ()A.134217728 B.268435356C.536870912 D.513765802【思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.【解析】选C.由题知，因为16384对应14，32768对应15，而14+15=29，第一行中的29，对应第二行中的536870912，所以有16384×32768=536870912.【解题策略】指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.【跟踪训练】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，那么至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

【解析】由题意，第n次操作后溶液的浓度为；令，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.答案：4【补偿训练】某林场方案第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，那么第四年造林 ()A.14400亩 B.172800亩C.20736亩 D.17280亩【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，那么y=10000×(1+20%)x-1，所以x=4时，y=17280(亩).类型三实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算)角度1求值问题

【典例】(2021·海安高一检测)xα+x-α=2，x>1，α<0，那么xα-x-α=_______.

【思路导引】利用平方关系构造x2α+x-2α，整体代入求值.【解析】由x>1，α<0，得xα<x-α，由xα+x-α=2，得x2α+2+x-2α=20，所以x2α+x-2α=18，所以xα-x-α==-4.答案：-4

【变式探究】将本例的条件变为“a+=5〞，试求a2+a-2.【解析】根据题意，a+=5，那么=a2++2=25，所以a2+a-2=a2+=25-2=23.角度2化简问题

【典例】化简：=_______.

【思路导引】将带分数化为假分数，根号化为指数后运算.【解析】

答案：2a

【解题策略】解决条件求值问题的步骤【题组训练】1.am=4，an=3，那么的值为 ()【解析】选A.2.=3，计算：【解析】由=3，得x+2+x-1=9，所以x+x-1=7，再平方，可得x2+x-2+2=49，所以x2+x-2=47.所以=4.课堂检测·素养达标1.以下能正确反映指数幂的推广过程的是 ()A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂【解析】选A.指数幂的推广过程：整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂.2.计算的结果是 (

) B. C.-π D.【解析】选D.=π-1=.3.将化为分数指数幂为 (

)

【解析】选D.4.(教材二次开发：练习改编)计算=_______.

【解析】原式==24m2=16m2.答案：16m25.计算=_______.

【解析】原式=3-