考点58-直接证明与间接证明课件

58直接证明与间接证明58直接证明与间接证明1．直接证明、间接证明直接证明间接证明综合法分析法反证法定义从①__________出发，利用已知的定义、定理、公理等经过逐步推理，最后达到待证结论的证明方法从②__________出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的证明方法由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设或某个真命题③______，从而判定綈q为假，推出q为真的证明方法已知条件待证结论矛盾1．直接证明、间接证明直接证明间接证明综合法分析法反证法定义思维过程原因⇒结果，又名“顺推证法”或

“由因导果法”由结果追溯原因，又名“逆推证法”或“执果索因法”否定—推理—否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”)步骤P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)1.分清命题的条件和结论；2.做出与命题结论相矛盾的假定；3.从假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；4.断定产生矛盾的原因，在于假定不真，于是原命题结论成立思维过程原因⇒结果，又名“顺推证法”或“由因导果法”由结果2.常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个④__________对任意x成立存在某个x不成立至多有一个⑤__________对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n＋1)个p或q⑥_________至多有n个至少有(n＋1)个p且q綈p或綈q都是⑦_______不都是都是一个都没有至少有两个綈p且綈q不都是2.常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个考向1分析法的应用

分析法是数学命题直接证明的重要方法，在高考中较少单独出现，但分析法的解题思想在高考中常常出现．考向1分析法的应用考点58-直接证明与间接证明课件考点58-直接证明与间接证明课件

分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围：①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接；②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体；③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．(2)应用分析法的关键是保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写． 分析法的适用范围及证题关键考点58-直接证明与间接证明课件考向2综合法与分析法的综合应用

分析法与综合法在高考中经常以不等式、立体几何、数列等知识为载体，结合具体问题考查学生解决问题的能力．例2(2017·江苏，19，16分)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan.对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．考向2综合法与分析法的综合应用【证明】

(1)因为{an}是等差数列，所以，当n≥4时，an－3＋an＋3＝2an，an－2＋an＋2＝2an，an－1＋an＋1＝2an，以上三式相加，得an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此，等差数列{an}是“P(3)数列”．(2)当n≥4时，因为{an}是“P(3)数列”，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ①因为{an}是“P(2)数列”，所以an－3＋an－2＋an＋an＋1＝4an－1，

②an－1＋an＋an＋2＋an＋3＝4an＋1，

③②＋③－①，得2an＝4an－1＋4an＋1－6an，即an－1＋an＋1＝2an(n≥4)．【证明】(1)因为{an}是等差数列，所以，当n≥4时，a因此，{an}从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝4a4－a3－a5－a6＝4(a3＋d)－a3－(a3＋2d)－(a3＋3d)＝a3－d.因为a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝4a3－a2－a4－a5＝4(a2＋d)－a2－(a2＋2d)－(a2＋3d)＝a2－d，所以{an}是等差数列．因此，{an}从第3项起为等差数列，设公差为d，

综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证． 综合法与分析法应用的注意点变式训练

(2016·北京，20，13分)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an，则称n是数列A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．(1)对数列A：－2，2，－1，1，3，写出G(A)的所有元素；(2)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠∅；(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2，3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.变式训练(2016·北京，20，13分)设数列A：a1，a解：(1)G(A)的元素为2和5.(2)证明：因为存在an使得an>a1，则m≥2，且对任意正整数k<m，ak≤a1<am.因此m∈G(A)．从而G(A)≠∅.(3)证明：当aN≤a1时，结论成立．以下设aN>a1.由(2)知G(A)≠∅.设G(A)＝{n1，n2，…，np}，n1<n2<…<np.解：(1)G(A)的元素为2和5.记n0＝1，则an0<an1<an2<…<anp.对i＝0，1，…，p，记Gi＝{k∈N*|ni<k≤N，ak>ani}．如果Gi≠∅，取mi＝minGi，则对任何1≤k<mi，ak≤ani<ami.从而mi∈G(A)且mi＝ni＋1.又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝∅.从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp.对i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1－1≤ani.因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.记n0＝1，则an0<an1<an2<…<anp.考向3反证法的应用

反证法是解决某些疑难问题的有力工具，体现了正难则反的思维方法，在高考中有所体现，既有小题，也有解答题，难度属中低档．(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．考向3反证法的应用(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b