量子力学习题解答

目

录量子力学教程第一章绪论第二章Schrödinger方程第三章力学量第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章自旋与全同粒子第七章原子光谱与原子态习题HUSTAPPLIED

PHYSICS1量子力学教程（周世勋编）第一章绪论1.1

黑体辐射（P15）ρ

8πhv

1

ρ

(λ

,T

)dλ3(v,T

)

dv

dvc

3

e

hv

kT

−

1c

3

(v,T

)

dvhve

kTdv

(

,T

)

d

1

8

hv

3

1

ρ(v,T

)

−

c

dλ

8πhc

1 dλ

λ2

λ5

exp(hc

kλT

)

−

1d

1exp(hc

k

T

)

1

(v,T

)

c

d

8

hc

2

5

λT

hc

时，∂ρ(λ,T

)

0

5k

∂λ

λT

M

→

∞时，∂ρ(λ,T

)

0

∂λ

0

(

,T

)5k

T

M

时，

T

hc

时，

(

,T

)

0∂ρ

(λ

,T

)∂λ而

(

,T

)

为连续函数，所以，必存在一点

mT

b＝0

使得

(

,T

)

mT

b时，

m

,T

取极大值。5kb

hc

2880μm

K(2897.89μm

K)

6

exp(hc

k

T

)

1

5k

(

,T

)

8

hc

5

hc

1

exp(hc

k

)

T

T

00

(

,T

)

T

(

,T

)exp(hc

k

T

)

m1

1

b时，

mT

b时，xe

⎯x⎯⎯→0→

xe

e

1x

x

xe

x

−

1

e

x

1e

xe

x

1xex

x

0

xex

e

xHUSTAPPLIED

PHYSICS21.4

量子化通则（P16）2

212U

(

x)

m

x

pdx

nh

a

aa00

a0a

00pdxpdx

4

pdx

pdx

pdx

pdx

012

4

/

20

cos

d

42E

2Em

22mE

cos

m

2

x2

)dx2m(

E

nh

4

m

2

4

x

2

E

sin

a

sin

a

E

n

，n

1,2,3,

（1）一维谐振子势能为Bohr-Sommerfeld量子化条件HUSTAPPLIED

PHYSICS3r（2）磁场中，电子作圆周运动eBrmn

eB

r

f

e

B

2

0m

2rm

rd

nh

m

dl

nhBnE

1

m

2

nBe

nBM2

2m

23

E

BM

B

9

10

JE(T

)

(3

/

2)kT热运动能HUSTAPPLIED

PHYSICS4第二章波函数与Schrödinger方程2.3

一维无限深势阱（P52）

0,0

x

aU

x

∞,其它

,其它U

x

0,0

x

a势能为ψ

II

(

x)

0

II

(

x)

0粒子被完全束缚在势阱中，在势阱外波函数为0，即−

d

ψ

Eψ

I2

2

I2μ

dx2

I

E2

dx2

d

2

2

I在阱内（0<x<a），定态Schrödinger方程为d

ψ

2

I

02

Idx

2

k

ψ

2

I

k

0d2

Idx

2k

2

2μE

2

2k

2

2

Eψ

I

(

x)

A

sin

kx

B

cos

kx

I

(

x)

A

sin

kx

B

cos

kx方程的通解为

II

,其它

I

,0

x

a

HUSTAPPLIED

PHYSICS5定解（单值、有限、连续）

I

II

(a)

(a)

0

A

sin(ka)

0

ka

n

I

(0)

II

(0)

0

B

0,

n

1,2,3,

En

2

2

n22

a2

2k

2

2

E

x,(0

x

a)an

0,(x

0或x

a)n

(

x)

A

sin波函数为根据归一化条件确定归一化常数A

2

2

a

2

n

2

n

(

x) dx

A

0

sin

a

xdx

1

A

a

a

an

0,(x

0或

a)2

sin

n

x

,

(0

x

a)

(

x)

定态能级定态波函数

I

(

x)

Asin

kx

B

cos

kxHUSTAPPLIED

PHYSICS62.6

对称性（P52）ψ

(

x)−

d

ψ

U

(

x)ψ

(

x)

Eψ

(x)2

22μ

dx222

dxd2

U

(

x) (

x)

E

(

x)−

2μd2

d2

dx

2

d(−

x)2d2

d2以

-

x代替

x

dx

2

d(

x)2设对应能量E的定态波函数为

ψ

(

x)满足定态Schrödinger方程

−

d

ψ

(−

x)

U

(−

x)ψ

(−

x)

Eψ

(−

x)

2

22μ

dx222

2

U

(

x)

(

x)

E

(

x)2μ

dx

d

(

x)

U

(−

x)

U

(

x)

U

(

x)

U

(

x)

−

d

ψ

(−

x)

U

(

x)ψ

(−

x)

Eψ

(−

x)

2

22μ

dx2d2

(

x)

U

(

x)

(

x)

E

(

x)2

dx22

ψ

(−

x)

(

x)也为对应E

的定态波函数。∴ψ

(−

x)

ψ

(x)

(

x)

(

x)定态波函数具有确定的宇称证：证毕⎯不同于⎯⎯→C

2

1

C

eiα

不

同

于

C

2

1

C

ei

（1）非简并ψ(x)

Cψ(−x)

C2ψ(x)

C2

1

C

1

(x)

C

(

x)

C2

(x)

C2

1

C

1（2）简并可令

f

(

x)

ψ

(

x)

ψ

(−

x)

g(

x)

ψ

(

x)

−

ψ

(−

x)

g(

x)

(

x)

(

x)

f

(

x)

(

x)

(

x)则

g(

x)

g(

x)f

(

x)

f

(

x)此二函数可为E

的定态波函数。HUSTAPPLIED

PHYSICS72.7

有限深势阱（P52）（1）势场为

U

x

0,

x

a

U0

,

x

a（2）定态Schrödinger方程为

,

x

a

2

1

1

U0

2

(

x)

E

2

,

x

a2

dx2

E

2

2

2

dx2

d

2

2

d

2122

2221

11

0

2,

k

2

U

E

2

E

2

k

0 ,

x

a

k

0 ,

x

a

其中k

（3）方程的解为

2

2

2

2cos

k1

x

B1

sin

k1

x

,

x

a1

1

2

x

A

exp

k

x

B

exp

k

x

,

x

a

x

AHUSTAPPLIED

PHYSICS8（4）利用标准条件定解（单值、有限、连续）单值条件满足。

x

→

−∞,

B2

0

A2

exp

k2x

,

x

≤

−a

ψ

2

x

x→

∞,

A2

0

B2

exp

−

k2

x

,

x

≥

a

B

exp

k

x

,

x

a

k

x

,

x

a

A

exp

x

,

A

0x

,

B

0

2

22

2222

x

再考虑连续性，得

x

a x

a

dx2dx1d

d

1

a

2

a

x

a时

x

ax

a

dx2dx1d

d

1

a

2

a

x

a时

k

a

1

1

1

1

2

2

2

1

1

Ak

sin

k

a

B

k

cos

k

a

A

k

exp

A1

cos

k1a

B1

sin

k1a

A2

exp

k2a

x

a时

A1

k1

sin

k1a

k2

cos

k1a

B1

k1

cos

k1a

k2

sin

k1a

0

k

a

A

k

sin

k

a

B

k

cos

k

a

B

k

exp

A1

cos

k1a

B1

sin

k1a

B2

exp

k2a

x

a时

1

1

1

1

1

1

2

2

2

A1

k1

sin

k1a

k2

cos

k1a

B1

k1

cos

k1a

k2

sin

k1a

0有限必须同时成立

k

,

x

ak

x

B

exp

x

2

2

2

22

x

A

exp

,

x

a1111

1

x

A

cos

k x

B

sin

k

xHUSTAPPLIED

PHYSICS91

2

1

1

1

B

k

cos

k

a

k

sin

k

a

0

A1

k1

sin

k1a

k2

cos

k1a

01

2

1

1

2

1

1

k

sin

k

a

k

cos

k

a

0

tan

k

a

k

k

B1

0

1

x

Acos

k1

x和B2

A2

Acos

k1a

exp

k2a

或者1

2

1

1

1

2

1

k

cos

k

a

k

sin

k

a

0

tan

k

a

k

k

A1

0

1

x

B

sin

k1

x和B2

A2

B

sin

k1a

exp

k2a

k

a

22

21

1

11

1

1Ak

sin

k

a

B

k

cos

k

a

A

k

exp

A1

cos

k1a

B1

sin

k1a

A2

exp

k2a

x

a时

k

a

2

1

1

1

1

1

1

2

2

A

k

sin

k

a

B

k

cos

k

a

B

k

expx

a时1

1

1

2

1

1

1

1

2

1k

cos

k

a

k

sin

k

a

0

A

k

sin

k

a

k

cos

k

a

B

A1

k1

sin

k1a

kA21ccoosskk11aa

BB11

ski1ncko1sak

1aB

2ke2xspin

kk1a2a

0121

1

12

cotk

a

tank

a

tan

k

a

k1k21

2

2k

2

U0

E

2

E

,k

HUSTAPPLIED

PHYSICS10（5）体系的定态能级tan

k1a

k2

k1

Acos

k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

−a定态ψ

x

Acos

k

x

－a

x

a

1

Acos

k

a

exp

k2

a

−

x

,x

≥

a

1

Aco能级tan

k1a

k2

Aco定态

x

Aco能级tan

k1a

−

k1

k2

−

B

sin

k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

−a定态ψ

x

B

sin

k

x

－a

x

a

1

B

sin

k

a

exp

k2

a

−

x

,

x

≥

a

1

B

sin

k

B

s能级tan

k1a

k1定态

x

B

sin

k能级均为分立能级k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

−a10k1

x

－a

x

ak1a

exp

k2

a

−

x

,

x

≥

a2k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

−a01

x

－a

x

a1a

exp

k2

a

−

x

,

x

≥

a−100

0.5

E(

10−16

)100.51−10

8E

(

10

)10两种情况1000−100

0.5

E(

10−16

)

10−10E

(

10−8

)0

0.5

100.5−1010 22μμEE

22μμ

UU

−−

EE

kk11

2

,,

kk22

2分

00

2

210k1sss0kinE

(

10

8

)110.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x,0.1nmψ,a.u.波波波波波

-1.5-1-0.50.511.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810x,0.1nm

,a.u.波波波波波

HUST11APPLIED

PHYSICS第三章力学量3.5

转子的运动（P101）Hˆ

Lˆz

2I22Iˆ

ˆ2zH

L①已知

本征值为m

ˆ

e

im

ϕLz

本征态为

ψ

(ϕ

)

m

2π

(

)

mze

im

2

Lˆ

本征态为

本征值为m

（1）ˆ

Lˆ2ψ

m

m

2

2Hψ

m

2I

2I

Lˆzψ

m

2I

ψ

m

(ϕ

)z

mˆˆ2

(

)mz

mz

mm2I2I2IL

H

m

2

2m

ˆ

L

体系定态为

m

2

22

Ime

im

,

m

0,

1,

2,

2

波波波

(

)

能级Em

定态Schrödinger方程Lˆzψ

m

m

ψ

mLˆz

m

m

mHUSTAPPLIED

PHYSICS12定态为简并态②直接求解定态Schrödinger方程ˆ

∂

ˆ

−

2

d2Lz

−i

∂ϕ

H

2I

dϕ

22ˆˆ2I

d

z

2

d2

H

L

i

2

d2ψ

d2ψ

2

2IEHˆ

ψ

−

Eψ

(ϕ

)

α

ψ

0,α

2I

dϕ

2

dϕ

2

2IEˆ22

2d2

E

(

)

0,

d

22I

d

d2

H

定态Schrödinger方程为

(

)

C1

cos

C2

sin

(0)

(2

)2I2

2

n

E

n

cos

n

或sin

n

代入周期性边界条件正交的归一化波函数有2个，可取为定态能级和波函数为

E

2

2

n

n

2

I

n

0,

1,

2,

ψ

cos

nϕ

,

sin

nϕ

n

0,

1,

2,

n

2

2

2

I

En

cos

n

,

sin

n

HUSTAPPLIED

PHYSICS13ˆLˆ22

IH

ˆ22

,

)lmlmL

Y

(

,

)

l(l

1)

Y

((

,

)lmlmYlm

(

,

)2ILˆ2Yl(l

1)

22I

HY

(

,

)

ˆ

,

l

0,1,2,

m

0,

1,

2,

Y2Il(l

1)

2mlm

llmEl

im

(cos

)e(

,

)

N

P（2）HUSTAPPLIED

PHYSICS14定态能级和波函数为3.7

一维粒子动量的取值分布（P101）求归一化常数A2

A2

∞ψ

(

x) dx

∞

A2

x

2e−2λxdx

A

2λ3

/2−∞

0

4λ3∞ψ

(

x)

−∞

C(

p)ψ

p

(

x)dp

C

(

x)

∞ψ

*

(

A

∞

xe−(ip

/

λ

)

xdx

A

1C(

p)

−∞

p

x)ψ

(

x)dx

2π

0

2π

⋅

(ip

/

λ

)2*

0

1(ip

/

)2A2

A2

(

x)

(

x)dx

C(

p)

xe

(ip

/

)

xdx

p令θ

arctan(

p

/

λ

)

arctan(

p

/

)（1）

C

(

p)

Ae

i

2

2

(

2

p2

2

)p

p

dp的几率为dp2

2

)2w(

p)dp

C(

p)

dp

4

32

(

2

p22

(

x)

2

dx

A2

x

2e

2

xdx

A

A

2

3

/

2

0

4

3(

p)

p

(

x)dp

e

x

1

0

e

dx

2

x

0HUSTAPPLIED

PHYSICS15（2）动量平均值或者∞

∞

d(

Axe−

λx

)

−∞

0

dxp

ψ

*

pˆψdx

−i

Axe−λx

dx

0*

ˆ

0

dx

0dxAxe

x

d(

Axe

x

)p

p

dx

i

∞

∞

4λ

dp

03p

−∞

pw(

p)dp −∞

p

2π

(λ2

p2

2

)2

2

)2

dp

0p

pw(

p)dp

p

2

(

2

p24

3ψ

(

x)

Ax(a

−

x),0

x

a

0

,其它

,其它

03.8

无限深势阱中粒子能量的取值分布（P101）

(

x)

Ax(a

x),0

x

a归一化02

a

(

x

) d

x

130a5

A

HUSTAPPLIED

PHYSICS16ψ

(

x)

Cnφnn

(

x)

Cn

nn态的展开2

nπx

φ

sin

n

a

a

aa

n

sin

2

n

x

无限深势阱中粒子的本征态为*a0nn

4 15

[1

(

1)n

]C

n3

32

/

a

sin(n

x

/

a)

Ax(a

x)dx

(

x)dx

nC2

240

1

(

1)n

2

480

1

(

1)n

n

6

6

n

6

6（2）02*ˆdx2a5

2

2dx

a

2

d2

(ax

x2

)

x(a

x)

2

H

dx

AE

（1）粒子能量取En的概率为：HUSTAPPLIED

PHYSICS17ψ

(

x)

Cnφnnn

(

x)

Cn

n对称势阱态的展开1

nπ

(

x

a

/

2)

φ

sin

n

a

a

aan1

sin

n

(

x

a

/

2)

粒子的本征态为C

∞φ

*ψ

(

x)dx

a

/

2 2

/

a

sin(nπ

(

x

a

/

2)

/

a)

Ax(a

−

x)dxn

−∞

n

−a

/

2

15

⋅

8[1

−

(−1)n

]

−

n2π

2[3

(−1)n

]2

2

n3π

3*2

2n3

3a

/

2nn15

8[1

(

1)n

]

n2

2[3

(

1)n

]

2

/

a

sin(n

(

x

a

/

2)

/

a)

Ax(a

x)dx

(

x)dx

C

a

/

2

若波函数的范围为（-a/2,a/2），则HUSTAPPLIED

PHYSICS183.12

不确定关系（>归一化∞

*

1

∞

x

2

2ξ

π

1

1

−∞ψ

ψdx

2πξ

2

−∞

exp(

−

2ξ

2

)dx

2πξ

2

2πξ

2

C

22*111x

2

C

2

)dx

exp(

2

2

22

2

22

2

dx

归一化波函数1

1

4

i

x

2

ψ

(

x)

2πξ

2

exp

p0

x

−

4ξ

2

202

iexp1

414

2

x

2p x

(

x)

x2∞

*

∞

*

p0

x

1

∞

−

2ξ

2

−∞

−∞

2ξ

2

0

πξ

2

−∞p

ψ

pˆψdx

−i

ψ

(i

−

)ψdx

p

2

e

dx

p00

1

0*220

x

pe

dx

p（1）

p

x2

2

2

2

2

)

dx

p

(i

*

pˆ

dx

i

（2）

p

xp

i222022*

22x

dx4

4

dx

ppˆ

dx

pˆ

dx

2

2

2

i

0

220

4

p

2（3）12

dx

0x

2x

exp

x

2

2

2

*

x

dx

（4）222*

2212

2

2

dx

x2x

exp

x

dx

x

22

3

P10

2

dx

x

e

e

x

2

dx

2

xHUSTAPPLIED

PHYSICS19不确定关系（5）(

x)2

x2

x

2

2

2(

p)2

p2

p2

4

2(

x)2

(

p)2

1

24HUSTAPPLIED

PHYSICS20非对称一维无限深势阱中粒子定态（1）x第四章态和力学量的表象4.2

力学量的矩阵表示（P130）求一维无限深势阱中粒子坐标和动量在能量表象中的矩阵形式HUSTAPPLIED

PHYSICS21HUSTAPPLIED

PHYSICS22可得x的矩阵形式为HUSTAPPLIED

PHYSICS23（2）pHUSTAPPLIED

PHYSICS24HUSTAPPLIED

PHYSICS25在L2，Lz的共同表象中，求Lx，Ly的本征值和本征函数，并将Lx，Ly对角化，且：在Lx的本征态中分析Lz的取值情况；在Lx表象中表示Lz

及其本征态；在Lz的本征态中分析Lx的取值情况。已知：在L2，Lz

的共同表象中HUSTAPPLIED

PHYSICS264.5

久期方程、本征值方程与么正变换的应用(P130)Lx

的本征值方程，如下HUSTAPPLIED

PHYSICS27Lx

的久期方程为（一）Lx

的本征值和本征态HUSTAPPLIED

PHYSICS28对角化过程就是Lx

算符由Lz

表象向Lx

表象的变换过程Lz

表象中Lz

对应本征值

的本征态为：Lz表象中Lx的本征态可表示为：2110

1

2111211022

1

22

1

21

1

1

1Y

YYY

Y

1

Y11

1

Y10

1

Y1

1任意表象1

YY11

Yξ

11−2102112

11−Y211Y0ξ

−

1121

YY11

Yξ

−

11−2102112−HUSTAPPLIED

PHYSICS29Lz表象到Lx表象的么正变换矩阵为：Lx在Lx表象中的表示为：HUSTAPPLIED

PHYSICS30同理Ly

的久期方程为Lz

表象中Ly

对应本征值

的本征态为：（二）Ly

的本征值和本征态HUSTAPPLIED

PHYSICS31Lz表象到Ly表象的么正变换矩阵为：，Ly在Ly表象中的表示为：HUSTAPPLIED

PHYSICS32（1）在Lx的本征态中分析Lz的取值情况（三）取值分析HUSTAPPLIED

PHYSICS33（2）在Lx表象中表示Lz及其本征态。HUSTAPPLIED

PHYSICS34由表象变换公式Lz的本征态在Lx表象下为：HUSTAPPLIED

PHYSICS35（3）在Lz的本征态中分析Lx的取值情况Lz的本征态可由Lx的本征态表示，展开式系数可反映Lx的取值及取值概率。Lx在Lx表象中的本征态为：HUSTAPPLIED

PHYSICS36取值情况HUSTAPPLIED

PHYSICS37已知第五章微扰理论HUSTAPPLIED

PHYSICS385.3非简并定态微扰公式的运用（P172）（1）Sx的本征值和本征态本征值方程为同理有：第六章自旋和全同粒子HUSTAPPLIED

PHYSICS397.3

自旋算符x、y分量的本征态（P241）（2）Sˆ

y

的本征值也为

/2

，本征值方程为同理有：HUSTAPPLIED

PHYSICS407.4

任意方向自旋算符的本征值和本征函数（P241）已知（1）本征态久期方程本征值方程HUSTAPPLIED

PHYSICS412

时，有①Sˆn

取

由归一化条件，得HUSTAPPLIED

PHYSICS42②

Sˆn

取

2时，有（2）

S的z

取值情况:

应将以上求得的本征态向HUSTAPPLIED

PHYSICS43z的本Sˆ

征态2

2

1、展

开

1

有：展开，有：

①

向1221

、

Sˆn在z方向投影的平均值

Sz

符合经典规律。2

nSHUSTAPPLIED

PHYSICS44展开，有：

②

向1221

、

HUSTAPPLIED

PHYSICS457.5

任意态中轨道角动量和自旋的取值（P241）（1）利用平均值公式，有：氢原子归一化波函数为：HUSTAPPLIED

PHYSICS46（2）磁矩HUSTAPPLIED

PHYSICS47（3）研究Lz与Sz的取值情况①在Sz

表象中，求Lz

取值。有

z

nlm

nlm

00

Lˆ

nlm0nlm0ˆ

m

Lz

m

，

0

3

2

0

02

210

1

211

m

nlm

mnlm0m

Cm

C

23

/

2

3

/

4

0，几率为

，几率为1

/

2

2

1

/

4z

L

HUSTAPPLIED

PHYSICS48②Sz的取值情况122

nlmSˆz

nlm

1

2

0

23

2

02

121

210

1

211

2

nlm1

nlm

C

C

1

/

423

/

2

3

/

4

/2，几率为

/2，几率为1/2

2z

SHUSTAPPLIED

PHYSICS497.6 Bose子系的态函数（P241）可能状态为4个（粒子数加1）。态函数可表示为如下4种形式：HUSTAPPLIED

PHYSICS50能级跃迁应满足选择定则：，Mg原子基态为3s3s，这

2谱线的末态都为3s3p其原子态为

2、1、0，S

11，S

0L

1，S

1、0，J

偶↔奇10

11S

P可能跃迁有（如图）：3s4s3s3p11

P3

P3

P

203

P113

S01

S13

32、1、0（单重）

S

P（三重）1

3P

,

P1

2、1、0第七章原子光谱和原子态分析Mg原子二辅系、一辅系第一条谱线的跃迁特点(1)对于二辅系第一条，初态为3s4s，其原子态为

1，S

10，S

0、0，J

L

0，S

1101

3S

,

S

J

0,

1(0

0除外)

L

0,

1

S

0HUSTAPPLIED

PHYSICS51能级跃迁满足选择定则：

3、2、1，S

12，S

0L

2，S

1、0，J

偶↔奇可能跃迁有（如图）：1

D2

1

P1

（单线）3

D2、1、03、2、1

3

P（多线）1

D2

,3

D3、2、1(2)对于一辅系第一条，初态为3s3d，其原子态为

J

0,

1(0

0除外)

L

0,

1

S

03s3p11

P3

P3

P

203

P13s3d1

D23

D33

D23

D1HUSTAPPLIED

PHYSICS52一、波函数概率解释的应用量子力学习题21

0

0

|

x

|

a|

x

|

a2a|

x

|

a|

x

|

a2a问

：

I、波波波

1

(

x)和

2

(

x)是否等价？II、对

1

(x)取n

2两种情况，得到的两个波波波是否等价？

A

sin

n

(

x

a)

(

x)

A

sin

n

(

x

a)

(

x)

n

1,2,3,

n

1,2,3,

Ⅰ、两波函数等价的条件是只相差任意常数，可通过求比值观察两波函数是否相差常数。HUSTAPPLIED

PHYSICS53

kk

sinA

12aA

1

cos2a

2aA

1

k

sin

k

x

1,

n

2kk

xa

aA

1

k

1

cos

2k

1

x

1,

n

2k

1

2k

1

x2aAsin

n

(

x

a)

2

(

x)|

x

|

a时，

1

(x)

Asin

n

(x

a)比值波函数等价Ⅱ、2a2aAsin

2

(

x

a)

2

(

x)|

x

|

a时，

1

(x)

Asin

2

(x

a)aaA

sin

x

1

A

1

sin

x两波函数也等价HUSTAPPLIED

PHYSICS54二、对易关系1、ˆ2ˆ

223.[

r

,

H

]

?2.[r

,

p

]

[r

,

pˆ

]

?1.[r

,

p]

?

ˆ22ez

pz

]ey

pyz

,

ex

px

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ[r

,

p]

[

x2

y2

,

22ˆp

][

,

e[r

,

p]

ˆ

,

]

)ˆˆ]

[

,

pe

(

[

,

p

,

e

2i

HUSTAPPLIED

PHYSICS552

[r ,

pˆ]

2i

αeα

2i

(

xex

yey

zez

)

2i

rαx

ˆ2

z

ez

)

2i

r

yey

2i

(

xe[r

,

p]

2i

er2

、p

对易关系2、[

,

pˆ

2

]

[

x

y

z,

pˆ

2

pˆ

2

pˆ

2

]r

ex

ey

ez

x

y

z

ˆ

2e

[

,

p

]

,

[

,

pˆ

2

]

pˆ

[

,

pˆ

]

[

,

pˆ

]pˆ

2i

pˆ

[r

,

pˆ

2

]

2i

(e

pˆ

e

pˆ

e

pˆ

)

2i

x

x

y

y

z

z

pˆx

xˆ2

(e

p

ˆ

ˆ

ˆ

ˆez

pz

)

2i

p

ey

py[r

,

p

]

2i

,

e

2i

HUSTAPPLIED

PHYSICS56r

、H

对易关系3、ˆ[r

,

p2

]

ˆ

p12

i

ˆpˆ

22

U

(r

)]

[r

,

H

]

[r

,HUSTAPPLIED

PHYSICS57三、角动量特性（3）在共同本征态Y11

中，计算Lx

、Ly

的可能取值及概率。在L2、Lz

的共同本征态Ylm

中，求：解：已知HUSTAPPLIED

PHYSICS58由对易关系：等式两边右乘Lx（1）平均值HUSTAPPLIED

PHYSICS59Lx、Ly平均值HUSTAPPLIED

PHYSICS60（2）测不准关系（3）

Lx、Ly

的取值分布

014121421

2

12202

2w

w

x

)

L

w

w

0

w

(w

w0

w

1w

w0

0

w

(

)

Lx

0

w

14

1240，几率为

，几率为

，几率为1Lx

142140，几率为

，几率为

，几率为1y同理,

L

在Y11

中，Lx

、Ly

的可能取值只能为-ħ

,0,），设取值概率分别ħ

（≦为w-,w0,w+，则HUSTAPPLIED

PHYSICS61四、角动量Lx、Ly的本征态利用L2、Lz

的共同本征态Ylm

，表示出Lx、Ly的本征函数。解：利用角动量升降算符的特性来求解。令Lˆ

Ylm

l(l

1)

−

m(m

1)Yl

,m

1Lˆ

Ylm

l(l

1)

m(m

1)Yl

,m

1

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

1

2i12

L

][L

L

][LL

L

y

x而（1）Lx

的本征函数alm

l(l

1)

−

m(m

1)a′lm

l(l

1)

−

m(m

−

1)a

l(l

1)

m(m

1)

l(l

1)

m(m

1)lmalmHUSTAPPLIED

PHYSICS62alm

l(l

1)

−

m(m

1)a′lm

l(l

1)

−

m(m

−

1)

l(l

1)

m(m

1)

l(l

1)

m(m

1)alma

lmm

m

1m

m

1由此出发，可求出各系数，从而确定Lx

的本征态。mx

=0时，与

Al-1奇偶相同的系数都为0HUSTAPPLIED

PHYSICS63（2）Ly

的本征函数alm

l(l

1)

−

m(m

1)a′lm

l(l

1)

−

m(m

−

1)

l(l

1)

m(m

1)

l(l

1)

m(m

1)alma

lmm

m

1m

m

1my

=0

时，

与Bl

-1

奇偶相同的系数都为064HUST APPLIED

PHYSICS五、Hellmann-Feynman定理应用Hellmann-Feynman

定理，可进行能量本征值及各种力学量平均值变化规律的计算。1、定理的形式及证明设体系的Hamilton

量H

中含有某参量λ，En

是H

的本征值，ψn

是H的归一化束缚态本征函数（n

为一组量子数），则∂

E

n

ψ

∂

Hˆ

ψ

∂

Hˆ∂

λ

n

∂

λ

n

∂

λ

n

n

E

n

Hˆ

Hˆ

计算时，Hamilton

量H

中的μ,

等都可以作为参量λ。HUSTAPPLIED

PHYSICS65ψn

满足本征值方程(Hˆ

En

)

|

n

0本征值方程的共轭方程为

n

|

(

Hˆ

En

)

0nnnnn|

(

Hˆ|

(

Hˆ

E

)

|

0

E

n

)

|

nnnn

n

E|

0

|

Hˆ

|

|nn

n

n

En

|

|

Hˆ

|

nn

En

Hˆ

|

Hˆ

|

证毕HUSTAPPLIED

PHYSICS66定理的证明证：对λ

求导并左乘<ψn

|，可得（1）一维谐振子<V>=<p2

/2μ>一维谐振子，有ˆ

12

22

1

2

d2n

0,1,2,

H

n

2E

(n

)

x2

dx

2方法I取μ作为参数

0

E

n

由HF定理

Hˆ

2

d

2

1

2

x

2

2

2

d

x

2

2

1

2

d

2

[

(

)

1

2

x

2

]

2

d

x

2

2

E

n

Hˆ

n

n

1

p

2

[

2

V

(

x

)]p

2

V

(

x

)

2

μ

p

22

V

(

x

)

2、定理的应用实例HUST671

p20

n

2

V

(

x

)

n

p

2

n

V

(

x

)

n n

2

nAPPLIEDPHYSICS方法II取ω为参量21

)

(

n

E

n

Hˆ

x

2

2

[

1

2

x

2

]

2

2

V

(

x

)

V

En

Hˆ

p22

V

2

V

p22

p2

V

2μ

2

2

V

p

由HF定理

En

Hˆ

n

n(

n

1

)

2

V

(

x

)

2

V

1

(n

1

)

1

En2

2

2HUSTAPPLIED

PHYSICS68方法III取

为参量2

1

(

n

)

E

n

Hˆ

2

d

2

[

1

2

x

2

]

2

dx

2

2

d2

dx2

2

2

d2

2

p2[

]

[

]

2

dx2

2

由HF定理nn

E

n

Hˆ

2

1(

n

)

2

p

2

2

22

22

p2

1

(n

1

)

21

En

1

[

V

]2

p2

p2

V

2μ

2

2

V

p

HUSTAPPLIED

PHYSICS69（2）在类氢体系定态中，求1/r,1/r2

的平均值1）求1/rˆ

p

2

Ze

2H

−

s2

μ

ru

nlψ

nlm

R

nl

Y

lm

r

Y

lmμ

Z

2

e

4

Z

2

e

2E

−

s

−

sn

2

2

22

n

2

a

0

n

2其中

a

0

2μ

e

s02ss2

4snlmnl

lmnlm2

a n

2Z

2

e

2Y

s

rZe

2Hˆ

e

Z

ep

22

22

2

n

2a

0

r

E

u

n