Ch个体风险态度及度量

个体的风险态度及其度量2023/5/241本章教学目的和要求了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风险态度的类型；掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质；掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算方法；从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量；掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数的2023/5/242形式及其性质；6.了解不同随机占优的假设及其充分必要条件。2023/5/243一、风险态度1.问题的提出现实观察：经济行为主体对待风险的态度是存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？2023/5/244通常可以从两个方面来刻画：观察经济行为主体面对公平博彩时的行为选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性的结果。经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。2023/5/2452.公平博彩（Fair

Game）公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为 ，其期望收益为 ，我们就称其为公平博彩。当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大于零，即其收益不会是确定值零。或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当和入局费相等的博彩。2023/5/246我们将满足下式的博彩，称为一个公平博彩：2023/5/2473.风险态度的描述公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它提供了个体增加或减少原来收入的机会。风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。2023/5/248定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始禀赋，如果对于任何足的随机变量 ，有2023/5/249则称个体是（严格）风险厌恶（riskaversion）；如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好（risk

loving）；如果两边相等，则称个体是风险中性（neutral）。2023/7/2710对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U（W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率消费

，1-p的概率获得 ，因此，他的期望效用为根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌恶的经济主体而言，我们有：2023/7/2711由于所以，上述不等式可改写为：即：2023/7/2712这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为凹函数。2023/7/2713U(x)xABC风险厌恶者的效用函数2023/7/2714同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者的效用函数的特征。对于风险偏好者而言，我们有：且其效用函数为凸函数。2023/7/2715x风险偏撇好意者的永效用术函数BACU(x相)20旋23厅/5判/17问16对于风险中性者而言，我们有x其效用肯函渡数为弱线性伍效用充函数衰。U(x悄)20促23酸/5患/17和174.效用函数的凸凹性的局部性质经济行鞭为抽主体主效用健函数驻的凸毙凹性健实际漠上是一种局疲部贵性质培。即律一个峡经济涉主体营可以则在某兔些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他益们桐认为戴，效毕用函披数是房诚几个守不同瓣的部谈分组成。在人们财富较少时，部分投资者是风险20锋23维/5刻/17林18厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。20鞭23垄/5惊/17置19二、风险厌恶的度量1.确定性等价值与风险溢价确定性等价值（certaintyequivalence）是指经篇济槽行为叶主体赠对于怕某一粮博彩捷行为州的支碌付意愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值（财富价值）。风险溢价（riskpremium）是指风险厌恶者为避免丧承矿担风诞险而港愿意忍放弃虫的投细资收评益。林或让赏一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。20伤23逃/5丝式/17欠20即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益丘为ρ，则朝我们赤有：这里，ε为公平博彩的随机收益（即报酬的微

小增量），W为初始禀赋，ρ被称之为马科维兹风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而W-ρ为确定性等价收益。20法23赞/5倘/17撒21某甲拥有财富100万元，明年他有25％的可能性会丢失一辆价值20万元的小汽车，假设的效用函数为V(w)=lnw,w为他的财富总量，请解答以下问题：(1)凝不参置加明号年的泻保险策时，手他的颂期望穷效用句为多铜少?(2)如果保险公司的管理费用为零，则他为参加全额公平保险应该支付多少保险费？此时期望效用是多少?境况改善了吗?(3)免如果事参加穗保险箭，他洪最愿秧意支跪付多搜少保绑险费嗽？20四23拢/5假/17姥22（1）EU=25%·ln（100-20）+75%·ln100=ln（×）=l晌n94清.甜57（2）公平保险指的是使保险公司的期望利润为零，此时的保费率为25%。h=pl=25%×20=5即某拴甲应咳支付往的保爹险费抬为5万元正。此时的期望效用为E(U)=ln(100-5)=ln95＞ln94.57参加保险后其境况改善了。（3）设窝保险究费为R，则ln(宁1索00-锤R)=l涂n注94.揪57絮得R=5.43即最多愿意支付5.43万元的保险费。20腐23未/5图/17唤

23某某作东北亚旅行，在旅途中其所获得的效用决定

于其所花费的大小，其效用函数U（M）=log10M，今熊某某挂有10休000党元，题则：条（1）某柔某在室旅途秃中遗匹失1000元的概率为25%，求其旅途的效用期望值？（2）若某某购买支票遗失保险，其所须付的保费为250元（保1000元的金额），则某某是否会购买凉此保窝险？（3）某某最高愿意出多少保费来购买此保险？(4)设某费某购赵买保舅险后羊反而赞更粗皇心，美因此绩其遗饱失10雀00元的概率会提高至30%，则正确保费为何？此时某某是否会购买此保险？20酿23奏/5棵/17梯24（1）即某某旅途的效用期望值为3.9886。（2）恐购买弄保险缘瑞的效霉用为log错10龟(阻10使000约-筛250禽)均=lo翻g致10墨97狱50小=3杨.98敬90堆＞3.桐98氧86

所以止某某残会购已买此蹈保险宰。（3）某某最高愿意支出的保费为R，则log10(10000-r)=3.9886解出R=259(4)杀保险插费为10瓣00唐×30馆%绩=3蛙00元此时户的效差用期狐望值色为EU=0.牲3l疾og旦1确09沟00床0+0址.主7×l举og裙1鉴01教00眼00亩=3.章9织863困某某冻最高告愿意纹支出匹的保单费为R，则log旷10擦(析10尝000俘-R)=3冶.兔98颠63得出R=310.5＞300所以某某还会投保。·20临23言/5殿/17晋252.风险涨厌恶饲系数对于风鸟险上很小梦的公拼平博朽彩行底为，艘也即丛预期疯收益吵为0且预期收耀益破的方校差很永小的默博彩井行为环，如注果效阀用函瞒数是悉二次体连续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展开。这里，联Re为高逐阶余锤项，僵由于券是风闹险很梳小的杜公平捕博彩佳，所以，Re可省略。由此，我们可以得到20昨23透/5么/17曲26由风险赏溢得价的优定义政可得拦：上式的挺右香边由深两个心部分谜构成帐：具是体碑现个体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机受益的方差，体哥现吗不确败定性破风险厨。将测随具帜体博抵彩的ε因素舍除去众，留20答23栋/5夺/17甩27下仅反那映孙个体芬主观面因素胳的部铺分，编我们奖可以包得到心一个为比风槽险溢价更宰为位一般漂的风碰险厌洒恶侧味度指塞标：经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗（Arrow,1970）分画别证具明了起在一宜定的协假设铜条件兔下，反映经济主体的效用函数特征的可以用来度量经济主体的迟风珍险厌弄恶程恐度。20谈23妈/5员/17延28因此，齿我我们将李称袖为经昆济主岩体的甚阿罗-普拉课特绝时对风险厌劳恶更系数前（Arr拍ow船-P恋r烈att云a刃b挡so脑lut尤ea兽v魔e皮rs拆ion冶）在金融胀理闪论中杆，我考们时驰常需恢要相犬对测润度量本，如擦证券触投资

者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是以多大闻概题率获膨得百纱分之厚几的贸收益绪。相挣应地火，我经们可踏以推挂导出个体例的荐相对邮风险币测度躺。事江实上凑，要惹得到粒相对虑意义骗上的千风险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初始禀赋锋即银可：20旨23付/5差/17浇29Var（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另一部分怪称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-pra晒tt省re珍lat精iv疲ea惯v投e型rs衡ion茧）。20简23欧/5叨/17恰30同样地林，沟我们阅定义冻阿罗-普拉取特绝勇对风栗险厌掘恶系数的倒节数喉为个检体的蝴风险驻容忍接系数肿（ris司kt羞钓ol犹era底n峡ce），即T（W）越劈燕大表殿示个望体能唤够容织忍的晋风险记越大毒，反择之则反。20沃23主/5饥/17悠31三、风险厌恶度量的性质绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件下，具虹有纵不同炕风险昼厌恶听程度扎的经侧济主储体的准风险可性为葡特点批。而相对尺风解险厌维恶系撒数，陕则主虎要考偿察经角济行袋为主碌体随称个人夕财富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。20腰23慢/5欣/17担321.相同孟财富神水平斑下的赤经济粒主体国风险丑厌恶狐的度或量对于具道有布相同爪财富技水平贝的经异济主跪体，托我们览可以粘用三齐种不同的伪方迷法来润比较芽两者担之间社的风度险厌谷恶程远度：（1）绝闻对风终险厌摔恶度纳量对于任夺意祝给定鹊的初扭始财匙富水妹平W，如昏果下详式成栋立，蔑则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：20纹23替/5管/17屯33（2）风吵险溢拐价度轨量对于任刃意手给定沙的初遇始财细富水伙平W，为渡避免意相同多的风忘险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主骨体i比经跪济主萍体j更厌棍恶风宣险：（3）效兔用函哲数的暖曲率从几何铃上块看，灿绝对筒风险震厌恶稍系数斩代表嘉了效等用函占数的拣曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌恶风险，20育23斗/5闷/17狮34则表明烟，塞经济战主体i有比鞋经济兄行为夏主体j更加哗凹的欢效用耻函数阀。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数是经济盈行据为主挑体j的效宜用函介数漆的一煎个凹呜变换干，即程存在一个递细增助的、明严格踢凹的邻函数G(·)，使跃得对于任廊意阁的W都成啄立。20便23呀/5她/17赏35（4）普胆拉特懒定理假设是客两垄个二忆次可摇微、膨严格摸单调兔递增摧的效用函数，则以下三种表述是等价的：对所有胆的W，有周；存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(·)，使得；任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢械价高念，即20斩23锁/5涂/17搁362.风险瓦厌恶植与财扭富水完平在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的

风险态预度膝是不杯够的杆，还炕需要鹅考察哀经济脚行为奏主体秤随个仰人初疯始财富水承平日的变跑化而扮对风弊险资社产投霉资数拐量的粗变化爸。即蚂考察育投资者是盗将触风险皂资产礼看着软是正致常品抗还是能劣等朗品。20荒23闲/5振/17篮37（1）定乐义如果经乞济答主体卷的绝峰对风宰险厌插恶系咳数抄是严哥格递即减的翠函数，即鱼购，DA秤RA则这右类经哄济行伏为主蕉体是艰递减口绝对风险厌恶的；类似地，如果，IRRA则称这类经私济辟主体伞为递齿增绝筐对风市险厌佩恶的帜。如盛果则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。20角23练/5尺/17染38（2）阿摇罗-普拉费特定第理对于递减绝对班风险陆厌恶超的经紫济主藏体，衔随着泄初始撞财富脊的增加，莫其鲜对风和险资魄产的塔投资画逐渐吊增加械，即夕他视毕风险银资产缩慧为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增认加诱，他相对风谜险资幸产的借投资太减少叉，即叼他视巷风险训资产保为劣等品缓；悬对于抗常数巩绝对糕风险肚厌恶疏的经倚济行宋为主量体，义他对找风险资产的需求与其初始财富的变化无关。20崭23乱/5晋/17枪39某客股户的都效用窜函数减为u(四w)＝lnw婆，（惯其中w是财富，并且w）0），那么风险资产对该客户而言磁（难）A．是偿正产捏品B.是次伏品C.该客樱户对骂风险锈资产便需求不随初始财富的变化而变化D.无法判断20假23杰/5暂/17种40（3）相伟对风引险厌运恶的使性质皆定理对于递左增胸相对慎风险堆厌恶取的经题济主顾体，临其风壮险资醉产的薯财富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产的财富相对于总财富的比例下降）；对于递减相对风险厌恶的经遣济苦行为拳主体增，风铃险资伐产的森财富妈需求真弹性盛大于1；对于常数横风膏险厌习恶的衬经济再行为欲主体浴，风迎险资烟产的模需求册弹性衡等于1。对于在到时宾期0具有颗初始扭财富W的经未济主捡体，渐设为他的痛风绍险资东产需滴求弹掩性，物则有进：20筒23刚/5盒/17炮4120更23琴/5冬/17谈422.假定蚁一投届资者笨具有悟如下吓形式揪的效储用函暮数：靠，其驶中是财富，并且，求：(1)a)该投资者具有非满足性偏好；b)该投资者是严格风险厌恶的。(2)求绝对风险厌恶系数和相对未风险剧厌恶缸系数早。(3)当投资者的初期财富增加，该投资者在风险资产上的投资会增加？减少？不变？(4)匙当投隙资者掉的初掩期财室富增钥加1%时，蝴该投以资者画投资或在风戒险资素产上置投资悬增加科的百技分比既是：筒大留于1%？等奇于1%？小洗于1%？20算23灶/5业/17继43解：(1)猜a)塑投资波者具撒有如斑下形钩式的困效用沙函数沉：因翁为，所有投资者具有非饱和性偏好。b)因为，所有该投资者的效用函数严格凹的，因此晶该投杆资者并是严雄格风纯险厌权恶的故。(2)凡绝对启风险突厌恶逼系数盼为：雕相对蝴风险深厌恶暗系数管为：20闭23竟/5社/17洋44(3)别因为就，其素中a是投都资者公在风伴险资阵产上隙的投龙资，因此当投资者的初期财富增加，该投资者在风

险资廉产上顶的投犬资不睡变。(4)冻，所欢以，仇因为些投资飘者在粮风险学资产少上投恰资增樱加的百分比小于1%。20量23为/5臂/17碰45四、几种常用的效用函数金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假设。其与中下，常费用的避一个争假设裁是个槐体具奴有线瞒性的阔风险融容忍赛系数（linearrisktolerance），满足这一假设的VNM效用函垂数泉具有LRT疾形式泊：在这种匹形篇式下勾，容繁易验师证个桃体的颠风险奶容忍浅系数缠为其罗初始财富的脖线晓性函岭数。20把23泪/5咽/17滔4620猾23兆/5老/17努47从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现性关麻系苏。在上式中，当γ＞1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而膝减魂少；俘当＜1时，春个体泥的风督险容扰忍系报数随歪财富躬的增加而增星加秃。另外，艇由挠于该鉴函数须的绝克对风它险厌暖恶系蚂数为20流23奋/5掩/17方48为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对风险厌阶恶狠效用浊函数敢（hy雕pe绸rb秩oli冈ca办絮bs隐ol踏ute絮r似is煎kaversion，HARA)。20什23讽/5暗/17慢49LRT受效用剩函数较是一朗个函源数族深，在雾不同行的参仅数下陆，将隔呈现出不同夕的靠形式遍：（1）（2）20袍23桑/5速/17壮50（3）（4）20捐23活/5多/17装51（5）20射23记/5榆/17竹52不同函数的性质（1）二当次效菊用函束数拥有这攀种会效用垫函数改的个况体在尿投资礼风险振资产吩时只纱考虑乳资产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到了风险伸资戒产定仓价的莲线性寇表达沟式。但二次贯函傅数作启为效踪蝶用函勿数存渔在局熊限性检：超援过一孝定的和财富水平后，个体收入的边际效用为负值。对前述尽（2）中芽的二滨次函卫数中判的财萍富W求导秀：20兰23六/5渴/17殿53因此，秋只矮有W在[0，1/轮b]时，蓄个体继的边雁际效杜用才高会大于零过。该函数的A-P绝对风险厌恶系数为：对W求导床，20默23榨/5酸/17垂54这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。（2）负指数效用函数如果个巩体锤的效贤用函仰数为奥负指机数效淋用函辫数，列则他肌对风誓险的厌恶过程漆度与哲收入铸无关砖。因辣为，犯其绝觉对风堡险厌执恶系蜓数为匹常数：CARA这种个忠体蔑在风可险资浩产上卵的投灶资量播不受书其收敌入水粪平的驰影响。20过23严/5更/17侄55（3）幂死函数纽奉效用掠函数海的性敞质幂函数很效捏用函笼数的糕相对特风险遇厌恶微系数美为常评数。CR储RA（4）对数函数效用函数的性质对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且等于1。（除具体化计算状，各钞人自办己完可成）20找23框/5国/17肠56某客城户的励效用券函数棉为u（w）＝e（－3w），欧（其中w是财富，并且w）0），那么客户的效用函龙数是数（但）型访效用遍函数A．IA衣RAB洲捏.D害ARA治C.C艘ARA厕苍D.无法尊判断20富23作/5愉/17匠57五、随机占优1.问题腔的提府出设为我们考虑的消费计划集合，消费计划是一个异随敢机变是量。商同样递地，时我们咏可以公设J是我边们考虑的证捆券沟市场摸上的糟风险吴证券落的集格合，躺证券j∈J穴有一个随机未来收益。在人们所拥有的信息只是知道经济行为主体非

饱和或风险厌恶的情况下，人们在什么样的条件下可以言确德定地咳认为眠，某降一经蓝济行五为主烈体偏绿好某超一20狼23凑/5幻玉/17锦58消费计划而放弃另一种消费计划，或者偏好某一风险证狐券俭而放讯弃另贸一风狐险证屋券？随机占夕优脸（st岛och块a朗sti烂cd塌o抗mi贺na惯n断ce）可以用于比较消费计划集合中或者证券市场上风险

证券集合中任意两个元素的风险程度。但是，这

个概念抄并败不同李于我慌们比疼较任复何两怒种消搂费计占划或絮任何两个风勿险证赤券本浑身，道因为俭它在医消费森计划鸭集合塌或风险证券集合中并没有定义一个完全的顺序关系。20到23痕/5呼/17比592.一阶随机占优（Afirstdegreestochasticdo睛min侮at驼es忽）假设存在这样的一群经济行为主体，他们对于

财富或消费的效用函数是连续的增函数，如果所有这些行为主体对于风险资产A和B的选择都是选择A而放互弃B或者熟觉得A与B无差教异，匠那么毯，我发们可以认迈为谊，风巴险资矮产A一阶找随机快占优厉于风磨险资铺产B.我们用来表示A一阶随机占优于B。20六23采/5蚂/17宣60即对于细任留何给背定的悲收益败率水阀平，绍风险足资产A的收益率大于这个给定水平的概率至少要同风险资产检B的收锡益率际超过婆同样沫水平础的概鹿率一破样

大。这样，任何非饱和的经济行为主体将会选择A而非B。假定风险资产A和B的未来收益率落在区间[0，1]中。令分别代表风险资产A和风险资产菜B的收押益率悠的累静积分甘布函逢数。叹如果20场23暮/5畅/17岗6120宾23击/5就/17她62成立，授则殖风险兆资产A一阶塞随机叫占优泼风险尺资产B。即对于莲任班意一鲜个给探定的妻收益咐率x，风电险资隶产A的收益率小摔于跟等于x的概野率比卸风险派